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2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 橢圓檢測(cè) 理 新人教A版

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2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 橢圓檢測(cè) 理 新人教A版

2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 橢圓檢測(cè) 理 新人教A版1(2018·太原一模)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為()A(3,0)B(4,0)C(10,0) D(5,0)解析:選D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21,圓心坐標(biāo)為(3,0),c3.又b4,a5.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的左頂點(diǎn)為(5,0)2(2018·湖北武漢模擬)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸長是8,離心率是,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B1或1C.1 D1或1解析:選B.因?yàn)閍4,e,所以c3,所以b2a2c21697.因?yàn)榻裹c(diǎn)的位置不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.3(2018·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,則的值為()A. BC. D解析:選B.由題意知a3,b,c2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M,則有OMPF2,因?yàn)镺MF1F2,所以PF2F1F2,所以|PF2|.又因?yàn)閨PF1|PF2|2a6,所以|PF1|2a|PF2|,所以×,故選B.4(2018·湖南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切,且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)若四邊形FAMN是平行四邊形,則該橢圓的離心率為()A. BC. D解析:選A.因?yàn)閳AO與直線BF相切,所以圓O的半徑為,即OC,因?yàn)樗倪呅蜦AMN是平行四邊形,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,代入橢圓方程得1,所以5e22e30,又0e1,所以e.故選A.5(2018·四川涼山州模擬)以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的長軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),則該橢圓的離心率是()A. BC. D解析:選D.不妨令橢圓方程為1(ab0)因?yàn)橐詸E圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的長軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以2b,即a3b,則c2b,則該橢圓的離心率e.故選D.6(2018·貴陽模擬)若橢圓1(ab0)的離心率為,短軸長為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析:由題意可知e,2b4,得b2,所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案:17設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|PF2|43,則PF1F2的面積為_解析:因?yàn)閨PF1|PF2|14,又|PF1|PF2|43,所以|PF1|8,|PF2|6.因?yàn)閨F1F2|10,所以PF1PF2.所以SPF1F2|PF1|·|PF2|×8×624.答案:248(2018·海南??谀M)已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(c,0),右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,現(xiàn)過A點(diǎn)作直線F1B的垂線,垂足為T,若直線OT(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為,則該橢圓的離心率為_解析:因?yàn)闄E圓1(ab0),A,B和F1點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a,0),(0,b),(c,0),所以直線BF1的方程是yxb,OT的方程是yx.聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AT的斜率為.由ATBF1得,×1,3b24acc2,3(a2c2)4acc2,4e24e30,又0e1,所以e.答案:9分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過點(diǎn)(2,);(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3,過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)解:(1)由題意,設(shè)所求橢圓的方程為t1或t2(t1,t20),因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(2,),所以t12,或t2.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)由于焦點(diǎn)的位置不確定,所以設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0),由已知條件得解得a4,c2,所以b212.故橢圓方程為1或1.10(2018·蘭州市診斷考試)已知橢圓C:1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),且離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為.若動(dòng)點(diǎn)P滿足2,求點(diǎn)P的軌跡方程解:(1)因?yàn)閑,所以,又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(,1),所以1,解得a24,b22,所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由2得xx12x2,yy12y2,因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓1上,所以x2y4,x2y4,故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM,kON分別為直線OM與ON的斜率,由題意知,kOM·kON,因此x1x22y1y20,所以x22y220,故點(diǎn)P的軌跡方程為1.B級(jí)能力提升練11(2018·湖北八校第一次聯(lián)考)如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(xiàn)(5,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|OF|且|PF|6,則橢圓C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析:選C.由題意可得c5,設(shè)右焦點(diǎn)為F,連接PF,由|OP|OF|OF|知,PFFFPO,OFPOPF,PFFOFPFPOOPF,F(xiàn)POOPF90°,即PFPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|8,由橢圓定義,得|PF|PF|2a6814,從而a7,得a249,于是b2a2c2725224,所以橢圓C的方程為1,故選C.12(2018·河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))橢圓1的左焦點(diǎn)為F,直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)FMN的周長最大時(shí),F(xiàn)MN的面積是()A. BC. D解析:選C.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,由橢圓的定義知FMN的周長為L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因?yàn)閨ME|NE|MN|,所以|MN|ME|NE|0,當(dāng)直線MN過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào),所以L4|MN|ME|NE|4,即直線xa過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí),F(xiàn)MN的周長最大,此時(shí)SFMN×|MN|×|EF|××2,故選C.13(2018·陜西部分學(xué)校一檢)已知P為橢圓1(ab0)上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn),F(xiàn)1PF2取最大值時(shí),cosF1PF2,則橢圓的離心率為_解析:易知F1PF2取最大值時(shí),點(diǎn)P為橢圓1與y軸的交點(diǎn),由余弦定理及橢圓的定義得2a24c2,即ac,所以橢圓的離心率e.答案:14(2018·河南師大附中模擬)橢圓C:1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,若F關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn),則橢圓C的離心率為_解析:設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn),則AFAF,AFF,|AF|AF|,|FF|2|AF|,因此橢圓C的離心率為1.答案:115已知A(x0,0),B(0,y0)兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng),且|AB|1,若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l:xty1與曲線C交于A,B兩點(diǎn),E(1,0),試問:當(dāng)t變化時(shí),是否存在一條直線l,使ABE的面積為2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由解:(1)因?yàn)?,即(x,y)2(x0,0)(0,y0)(2x0,y0),所以x2x0,yy0,所以x0x,y0y,又|AB|1,所以xy1,即1,即1,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由方程組得(3t24)y26ty90,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2,y1y20,所以|y1y2|.因?yàn)橹本€xty1過點(diǎn)F(1,0),所以SABE|EF|y1y2|×2×,令2,則t2,不成立,故不存在滿足題意的直線l.16(2018·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,左焦點(diǎn)為F(1,0),過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)在y軸上,是否存在定點(diǎn)E,使·恒為定值?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值;若不存在,說明理由解:(1)由已知可得可得a22,b21,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為ykx2,由消去y整理得(12k2)x28kx60,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4,y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.設(shè)存在點(diǎn)E(0,m),則(x1,my1),(x2,my2),所以·x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m×.要使·t(t為常數(shù)),只需t,從而(2m222t)k2m24m10t0,即解得m,從而t,故存在定點(diǎn)E,使·恒為定值.C級(jí)素養(yǎng)加強(qiáng)練17已知橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4),離心率e,直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn)(1)若直線l的方程為yx4,求弦MN的長;(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F,求直線l方程的一般式解:(1)由已知得b4,且,即,解得a220,橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立,消去y得9x240x0,x10,x2,所求弦長|MN|x2x1|.(2)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),線段MN的中點(diǎn)為Q(x0,y0),由三角形重心的性質(zhì)知2,又B(0,4),(2,4)2(x02,y0),故得x03,y02,即得Q的坐標(biāo)為(3,2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x26,y1y24,且1,1,以上兩式相減得0,kMN·×,故直線MN的方程為y2(x3),即6x5y280.

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