2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)Sn,Tn分別是等差數(shù)列an,bn的前n項和,若= (nN*),則=()A.B.C.D.【解析】選D.=.2.等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則an的前n項和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.【解析】選A.由=a2·a8得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2所以Sn=na1+d=n2+n.3.已知數(shù)列an滿足:=,且a2=2,則a4等于()A.-B.23C.12D.11【解析】選D.因為數(shù)列an滿足:=,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列an+1是等比數(shù)列,公比為2.則a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.4.已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,a2=3,且a3,a5,a8成等比數(shù)列,設(shè)bn=,則數(shù)列bn的前n項和Tn為()A. B. C. D.【解析】選B.設(shè)公差為d(d0),首項為a1,所以a1+d=3,(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,解得a1=2,d=1,所以an=n+1,bn=2,所以Tn=2+2+2=2=.5.記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12B. -10C.10D.12【解析】選B.3=2a1+d+4a1+×d9a1+9d=6a1+7d3a1+2d=06+2d=0d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若an為等比數(shù)列,an>0,且a2 018=,則+的最小值為_. 【解析】+=4答案:47.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,滿足S2=S6,-=2,則a1=_,公差d=_. 【解析】因為Sn為等差數(shù)列an的前n項和,滿足S2=S6,-=2,所以2a1+d=6a1+15d,-=2,解得a1=-14,d=4.答案:-1448.對給定的正整數(shù)n(n6),定義f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,其中a0=1,ai=2ai-1(iN*,in),則a6=_;當n=2 017時,f(2)=_. 【解析】因為a0=1,ai=2ai-1(iN*,in),所以a6=2a5=22a4=26a0=64.f(2)=20+21×2+22×22+23×23+22 017×22 017=.答案:64三、解答題(每小題10分,共30分)9.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,=9a2a6,(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an,求數(shù)列的前n項和.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由=9a2a6,得=9,所以q2=,由條件可知q>0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故數(shù)列an的通項公式為an=.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-,故=-=-2.+=-2=-.10.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列Sn的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,nN*.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求數(shù)列an的通項公式.【解析】(1)因為S1=T1=2S1-1,S1=1=a1,所以a1=1.因為S1+S2=T2=2S2-4,所以a2=4.因為S1+S2+S3=T3=2S3-9,所以a3=10.(2)因為Tn=2Sn-n2 ,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,所以-得,Sn=2an-2n+1(n2),因為S1=2a1-2×1+1,所以Sn=2an-2n+1(n1) , Sn-1=2an-1-2n+3,-得,an=2an-1+2(n2)an+2=2(an-1+2).因為a1+2=3,所以an+2是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,an+2=3×2n-1,故an=3×2n-1-2.11.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=n2-n+1,正項等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,且b2=a2,b4=a5.(1)求an和bn的通項公式.(2)數(shù)列cn中,c1=a1,且cn=cn+1-Tn,求cn的通項公式cn.【解析】(1)因為Sn=n2-n+1,所以令n=1,a1=1,an=Sn-Sn-1=2(n-1),(n2),經(jīng)檢驗a1=1不能與an(n2)合并,所以an=又因為數(shù)列bn為正項等比數(shù)列,b2=a2=2,b4=a5=8,所以=q2=4,所以q=2,所以b1=1,所以bn=2n-1.(2)Tn=2n-1,因為c2-c1=21-1,c3-c2=22-1,cn-cn-1=2n-1-1,以上各式相加得cn-c1=-(n-1),c1=a1=1,所以cn-1=2n-n-1,所以cn=2n-n.(20分鐘20分)1.(10分)已知數(shù)列an中,a2=1,前n項和為Sn,且Sn=.(1)求a1,a3.(2)求證:數(shù)列an為等差數(shù)列,并寫出其通項公式.【解析】(1)令n=1,則a1=S1=0,令n=3,則S3=,即0+1+a3=,解得a3=2.(2)由Sn=,即Sn=,得Sn+1=,-,得(n-1)an+1=nan,于是,nan+2=(n+1)an+1,-,得nan+2+nan=2nan+1,即an+2+an=2an+1,又a1=0,a2=1,a2-a1=1,所以數(shù)列an是以0為首項,1為公差的等差數(shù)列.所以an=n-1.【提分備選】已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=1,Sn+1+Sn=,數(shù)列bn滿足bn·bn+1=,且b1=1.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式.(2)記Tn=anb2+an-1b4+a1b2n,求Tn.【解析】(1)因為Sn+1+Sn=,Sn+Sn-1=(n2),-得:an+1+an=-,所以(an+1+an)(an+1-an-1)=0,因為an+1>0,an>0,所以an+1+an0,所以an+1-an=1(n2),又由S2+S1=得2a1+a2=,即-a2-2=0,所以a2=2,a2=-1(舍去),所以a2-a1=1,所以an是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=n.又因為bn·bn+1=3n,所以bn-1·bn=3n-1(n2),得:=3(n2),又由b1=1,可求b2=3,故b1,b3,b2n-1是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,b2,b4,b2n是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.所以b2n-1=3n-1,b2n=3·3n-1=3n.所以bn=(2)由(1)得:Tn=3an+32an-1+33an-2+3na1,3Tn=32an+33an-1+34an-2+3n+1a1, -得:2Tn=-3an+32(an-an-1)+33(an-1-an-2)+3n(a2-a1)+3n+1a1,由an=n,所以2Tn=-3n+32+33+3n+3n+1=-3n+=-3n-+·3n+2,所以Tn=-.2.(10分)(2018·日照一模)已知數(shù)列an前n項和Sn滿足:2Sn+an=1.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)設(shè)bn=,數(shù)列bn的前n項和為Tn,求證:Tn<.【解析】(1)因為2Sn+an=1,所以2Sn+1+an+1=1,兩式相減可得2an+1+an+1-an=0,即3an+1=an,即=,又2S1+a1=1,所以a1=,所以數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列.故an=·=,數(shù)列an的通項公式為an=. (2)因為bn=,所以bn=-所以Tn=b1+b2+bn=+-=-<.所以Tn<.