2022屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 專題四 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列限時訓練 理

2022屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 專題四 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列限時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算1,2,3,4,5,7,8等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)9,10等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明11,12等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合6,11,12一、選擇題1.(2018·吉林省百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若2a11=a9+7,則S25等于(D)(A)(B)145(C)(D)175解析:由題意可得2a11=a9+a13,所以a13=7,所以S25=×25=×25=25a13=25×7=175.選D.2.(2018·天津南開中學模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則等于(D)(A)4n-1(B)4n-1(C)2n-1(D)2n-1解析:設等比數(shù)列an的公比為q,所以q=,所以a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+)=,解得a1=2,an=2×()n-1=()n-2,Sn=4(1-),所以=2n-1.故選D.3.(2018·淄博二模)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則等于(A)(A)或(B)或3(C)(D)或解析:設等比數(shù)列an的公比為q,由題意得4a5=a2+3a8,即4a1q4=a1q+3a1q7,可得3q6-4q3+1=0,解得q3=1或q3=,所以=或=.故選A.4.(2018·遼寧大連八中模擬)若記等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=2,S3=6,則S4等于(C)(A)10或8(B)-10(C)-10或8(D)-10或-8解析:由等比數(shù)列求和公式,當q1時得S3=6,所以q2+q-2=0,所以q=-2或q=1(舍去),當q=-2時,S4=-10,當q=1時,S4=4a1=8.故選C.5.(2018·云南玉溪高三適應性訓練)程大位算法統(tǒng)宗里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996斤棉花,分別贈送給8個子女做旅費,從第一個開始,以后每人依次多17斤,直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數(shù)為(B)(A)65斤(B)184斤(C)183斤(D)176斤解析:由題意可得,8個孩子所得的棉花構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列,且前8項和為996,設首項為a1,結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式有S8=8a1+d=8a1+28×17=996.解得a1=65,則a8=a1+7d=65+7×17=184(斤).即第八個孩子分得斤數(shù)為184斤.故選B.6.(2018·安徽江南十校二模)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,=a2+a2 017且=d,則S2 018等于(B)(A)0(B)1 009(C)2 017(D)2 018解析:因為=d,所以-=d(-),即=(1+d)-d,又=a2+a2 017,所以所以所以S2 018=1 009(1+1+2 017d)=1 009.故選B.7.(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作九章算術(shù)有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,10),且a1<a2<<a10,若48aj=5M,則j等于(C)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:由題意知,由細到粗每段的重量成等差數(shù)列,記為an,設公差為d,則解得a1=,d=,所以該金杖的總重量M=10×+×=15,因為48aj=5M,所以48+(j-1)×=75,即39+6j=75,解得j=6.二、填空題8.(2018·陜西西工大附中八模)若等比數(shù)列an的前n項和Sn=3n+a,則a的值為. 解析:因為Sn=3n+a,所以a1=S1=3+a,a2=S2-S1=(9+a)-(3+a)=6,a3=S3-S2=(27+a)-(9+a)=18,因為=,所以a=-1.答案:-19.(2018·通州區(qū)三模)等差數(shù)列an滿足a1=1,a3=5,若a2,a5,am成等比數(shù)列,則m=. 解析:等差數(shù)列an滿足a1=1,a3=5,所以d=2,a2=3,可得a5=9,由a2,a5,am成等比數(shù)列,可得92=3·am,所以am=27,27=1+(m-1)×2,解得m=14.答案:1410.(2018·福建廈門二檢)已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(nN,n3),a2n-1是遞增數(shù)列,a2n是遞減數(shù)列,則a2 018=. 解析:因為a2n-1是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-1>0,所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0,因為2n+1>2n,所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|,所以a2n+1-a2n>0(n2),又a3-a1=5>0,所以a2n+1-a2n>0(n1)成立,由a2n是遞減數(shù)列,所以a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n1),所以所以a2n+2-a2n=-1,所以a2n是首項為3,公差為-1的等差數(shù)列.故a2 018=3+(1 009-1)×(-1)=-1 005.答案:-1 005三、解答題11.(2018·安徽馬鞍山一檢)已知數(shù)列an的首項為a1=1,且(an+1)·an+1=an,nN*.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設bn=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.(1)證明:an+1=+1-=1,故數(shù)列是以=1為首項,以1為公差的等差數(shù)列.(2)解:由(1)可知,=n,an=,bn=-,Tn=b1+b2+b3+bn=(1-)+(-)+(-)+(-)=1-=1-.12.(2018·青海西寧二模)已知數(shù)列an滿足a1=2,an=2an-1+2n(n2).(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求an的通項公式;(2)數(shù)列bn滿足bn=log2,記數(shù)列的前n項和為Tn,設角B是ABC的內(nèi)角,若2sin B>Tn對于任意的nN*恒成立,求角B的取值范圍.解:(1)因為an=2an-1+2n,兩邊同時除以2n,可得=+1,所以-=1,又=1,所以數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列;所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n·2n.(2)由(1)知,an=n·2n,則bn=log2=n,所以=-,所以Tn=1-+-+-+-=1-<1,又因為2sin B>Tn對于任意nN*恒成立,所以2sin B1,即sin B,又B(0,),所以B,所以B,.