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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量學(xué)案 理

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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量學(xué)案 理考點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算1在平面向量的化簡或運(yùn)算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所在的向量;在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·全國卷)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則()A. B.C. D.解析E是AD的中點(diǎn),又D為BC的中點(diǎn),(),因此(),故選A.答案A2(2018·河北三市聯(lián)考)已知e1,e2是不共線向量,ame12e2,bne1e2,且mn0,若ab,則等于()A B. C2 D2解析ab,ab,即me12e2(ne1e2),則故2.答案C3(2018·河南鄭州質(zhì)檢)已知P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為AB的中點(diǎn),若2(1),且PBA與PBC的面積相等,則實(shí)數(shù)的值為_解析D為AB的中點(diǎn),2,又2(1).(1),又PBA與PBC的面積相等,P為AC的中點(diǎn),1.答案14(2018·鹽城一模)在ABC中,A60°,A的平分線交BC于點(diǎn)D,若AB4,且(R),則AD的長為_解析因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線,所以1,解得,如圖,過點(diǎn)D分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,則,經(jīng)計(jì)算得ANAM3,AD3.答案3快速審題(1)看到向量的線性運(yùn)算,想到三角形和平行四邊形法則(2)看到向量平行,想到向量平行的條件平面向量線性運(yùn)算的2種技巧(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題,要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則,緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算(2)在證明兩向量平行時(shí),若已知兩向量的坐標(biāo)形式,常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷;若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的,常利用共線向量定理(當(dāng)b0時(shí),ab存在唯一實(shí)數(shù),使得ab)來判斷考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積有兩種運(yùn)算形式(1)數(shù)量積的定義:a·b|a|b|cos(其中為向量a,b的夾角)(2)坐標(biāo)運(yùn)算:a(x1,y1),b(x2,y2)時(shí),a·bx1x2y1y2.2投影向量a在向量b方向上的投影為|a|cos(為向量a,b的夾角)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知|a|1,b(1,1)且a(ab),則向量a與向量b的夾角為()A. B. C. D.解析設(shè)向量a與向量b的夾角為,因?yàn)閍(ab),所以a·(ab)0,即|a|2a·b1|a|b|cos1cos0,cos,故選D.答案D2(2018·陜西西安八校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),則向量在方向上的投影是()A3 B C3 D.解析依題意得,(2,1),(5,5),·(2,1)·(5,5)15,|,因此向量在方向上的投影是3,選A.答案A3已知向量a(1,2),b(3,6),若向量c滿足c與b的夾角為120°,c·(4ab)5,則|c|()A1 B. C2 D2解析依題意可得|a|,|b|3,ab.由c·(4ab)5,可得4a·cb·c5.由c與b的夾角為120°,可得c與a的夾角為60°,則有b·c|b|c|cos120°|c|×3×|c|,a·c|a|c|cos60°|c|××|c|,所以4×|c|c|5,解得|c|2,故選D.答案D4如圖所示,在梯形ABCD中,ABCD,CD2,BAD,若·2·,則·_.解析因?yàn)?#183;2·,所以···,所以··.因?yàn)锳BCD,CD2,BAD,所以2|cos,化簡得|2.故··()|2·(2)22×2cos12.答案12快速審題(1)看到向量垂直,想到其數(shù)量積為零(2)看到向量的模與夾角,想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)依據(jù)模和夾角計(jì)算,要注意確定這兩個(gè)向量的夾角,如夾角不易求或者不可求,可通過選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)利用坐標(biāo)來計(jì)算,向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式,從而應(yīng)用方程思想解決問題,化形為數(shù),使向量問題數(shù)量化考點(diǎn)三平面向量在幾何中的應(yīng)用用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法(1)基向量法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算;(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算一般地,存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法解析(1)解法一:,|1,|.設(shè)()與的夾角為,則()·()2()··1cos,又0,cos1,1,()·()1cos1,1,()·()的最大值為1,故選A.解法二:以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(取的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向),則A(1,0),B(0,1)設(shè)C(cos,sin)(0,2),(cos1,sin),(cos,sin1),()·()cos(cos1)sin(sin1)cos2sin2(sincos)1sin,0,2),sin1,1,()·()的最大值為1,故選A.(2)解法一:因?yàn)?,所以E為BC中點(diǎn)設(shè)正方形的邊長為2,則|,|2,··()|2|2·×22222,所以cos.解法二:因?yàn)?,所以E為BC中點(diǎn)設(shè)正方形的邊長為2,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy,則點(diǎn)A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1),所以(2,1),(2,2),所以·2×(2)1×22,故cos.答案(1)A(2)解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問題的策略(1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底,用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個(gè)向量,結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律求解(2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標(biāo)系的條件,可建立直角坐標(biāo)系將向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在ABC中,點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn),AM1,點(diǎn)P在AM上且滿足2,則·()等于()A. B. C D解析由點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn),得2.·()2.又2,|.2|2.故選A.答案A2(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則·()的最小值是()A2 B C D1解析解法一:設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AD的中點(diǎn)為E,則有2,則·()2·2()·()2(22)而22,當(dāng)P與E重合時(shí),2有最小值0,故此時(shí)·()取最小值,最小值為222×.解法二:以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(1,0),B(1,0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D.·()2·2(1x,y)·22.因此,當(dāng)x,y時(shí),·()取得最小值,為2×,故選B.答案B1(2018·全國卷)已知向量a,b滿足|a|1,a·b1,則a·(2ab)()A4 B3 C2 D0解析因?yàn)閨a|1,a·b1,所以a·(2ab)2|a|2a·b2×12(1)3.故選B.答案B2(2017·全國卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若,則的最大值為()A3 B2 C. D2解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1)點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P.則(0,1),(2,0),.又,sin1,cos1,2sincos2sin(),其中tan,()max3.答案A3(2018·全國卷)已知向量a(1,2),b(2,2),c(1,)若c(2ab),則_.解析由已知得2ab(4,2)又c(1,),c(2ab),所以420,解得.答案4(2018·上海卷)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|2,則·的最小值為_解析設(shè)E(0,m),F(xiàn)(0,n),又A(1,0),B(2,0),(1,m),(2,n)·2mn,又知|2,|mn|2.當(dāng)mn2時(shí),·mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1,即E的坐標(biāo)為(0,1),F(xiàn)的坐標(biāo)為(0,1)時(shí),·取得最小值3.當(dāng)mn2時(shí),·mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1,即E的坐標(biāo)為(0,1),F(xiàn)的坐標(biāo)為(0,1)時(shí),·取得最小值3.綜上可知,·的最小值為3.答案35(2017·天津卷)在ABC中,A60°,AB3,AC2.若2,(R),且·4,則的值為_解析解法一:如圖,由2得,所以··()·22·,又·3×2×cos60°3,29,24,所以·3254,解得.解法二:以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,因?yàn)锳B3,AC2,A60°,所以B(3,0),C(1,),又2,所以D,所以,而(1,)(3,0)(3,),因此·(3)×54,解得.答案1.平面向量是高考必考內(nèi)容,每年每卷均有一個(gè)小題(選擇題或填空題),一般出現(xiàn)在第37或第1315題的位置上,難度較低主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等,數(shù)量積是其考查的熱點(diǎn)2有時(shí)也會(huì)以平面向量為載體,與三角函數(shù)、解析幾何等其他知識(shí)相交匯綜合命題,難度中等熱點(diǎn)課題9坐標(biāo)法在平面向量中的運(yùn)用感悟體驗(yàn)1(2018·湖南長郡中學(xué)一模)若等邊三角形ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足,則·的值為()A2 B C. D2解析如圖所示,點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C,(3,0)(3,0),·1××2.故選A.答案A2(2018·河南開封質(zhì)檢)已知ABC為等邊三角形,AB2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足,(1),R.若·,則的值為_解析如圖,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,過點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)A(0,0),B(2,0),C(1,),則(2,0),(1,),P(2,0),Q(1,(1)·,(1,(1)·(21,),化簡得42410,.答案專題跟蹤訓(xùn)練(十六)一、選擇題1(2018·昆明模擬)在ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且2,3,若a,b,則()A.ab B.abCab Dab解析()ab,故選C.答案C2(2018·吉林白城模擬)已知向量a(2,3),b(1,2),若manb與a2b共線,則()A. B2 C D2解析由向量a(2,3),b(1,2),得manb(2mn,3m2n),a2b(4,1)由manb與a2b共線,得,所以,故選C.答案C3已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為,則“a·b>0”是“為銳角”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由a·b>0,可得到,不能得到;而由,可以得到a·b>0.故選B.答案B4(2018·鄭州一中高三測試)已知向量a,b均為單位向量,若它們的夾角為60°,則|a3b|等于()A. B. C. D4解析依題意得a·b,|a3b|,故選C.答案C5已知ABC是邊長為1的等邊三角形,則(2)·(34)()A BC6 D6解析(2)·(34)3·624·8·3|·|·cos120°6|24|·|cos120°8|·|·cos120°3×1×1×6×124×1×1×8×1×1×624,故選B.答案B6(2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖所示,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn),若(,為實(shí)數(shù)),則22()A. B. C1 D.解析(),所以,故22,故選A.答案A7(2018·山西四校聯(lián)考)如圖,在直角梯形ABCD中,AB2AD2DC,E為BC邊上一點(diǎn),3,F(xiàn)為AE的中點(diǎn),則()A. B.C D解析解法一:如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG、CG,則易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以,于是,故選C.解法二:().答案C8(2018·河南鄭州二模)已知平面向量a,b,c滿足|a|b|c|1,若a·b,則(ab)·(2bc)的最小值為()A2 B3 C1 D0解析由|a|b|1,a·b,可得a,b,令a,b,以的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則a(1,0),b,設(shè)c(cos,sin)(0<2),則(ab)·(2bc)2a·ba·c2b2b·c33sin,則(ab)·(2bc)的最小值為3,故選B.答案B9(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知ABC中,AB6,AC3,N是邊BC上的點(diǎn),且2,O為ABC的外心,則·的值為()A8 B10 C18 D9解析由于2,則,取AB的中點(diǎn)為E,連接OE,由于O為ABC的外心,則,··2×6218,同理可得·2×32,所以····×18×639,故選D.答案D10(2018·山西太原模擬)已知DEF的外接圓的圓心為O,半徑R4,如果0,且|,則向量在方向上的投影為()A6 B6 C2 D2解析由0得,.DO經(jīng)過EF的中點(diǎn),DOEF.連接OF,|4,DOF為等邊三角形,ODF60°.DFE30°,且EF4×sin60°×24.向量在方向上的投影為|·cos,4cos150°6,故選B.答案B11(2018·湖北黃岡二模)已知平面向量a,b,c滿足|a|b|1,a(a2b),(c2a)·(cb)0,則|c|的最大值與最小值的和為()A0 B. C. D.解析a(a2b),a·(a2b)0,即a22a·b,又|a|b|1,a·b,a與b的夾角為60°.設(shè)a,b,c,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則a,b(1,0)設(shè)c(x,y),則c2a(x1,y),cb(x1,y)又(c2a)·(cb)0,(x1)2y(y)0.即(x1)22,點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)M為圓心,為半徑的圓又|c|表示圓M上的點(diǎn)與原點(diǎn)O(0,0)之間的距離,所以|c|max|OM|,|c|min|OM|,|c|max|c|min2|OM|2× ,故選D.答案D12(2018·廣東七校聯(lián)考)在等腰直角ABC中,ABC90°,ABBC2,M,N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M,N不與A,C重合),且滿足|,則·的取值范圍為()A. B.C. D.解析不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A,點(diǎn)N靠近點(diǎn)C,以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(0,0),A(0,2),C(2,0),線段AC的方程為xy20(0x2)設(shè)M(a,2a),N(a1,1a)(由題意可知0<a<1),(a,2a),(a1,1a),·a(a1)(2a)(1a)2a22a222,0<a<1,由二次函數(shù)的知識(shí)可得·.答案C二、填空題13(2017·全國卷)已知向量a,b的夾角為60°,|a|2,|b|1,則|a2b|_.解析由題意知a·b|a|·|b|cos60°2×1×1,則|a2b|2(a2b)2|a|24|b|24a·b44412.所以|a2b|2.答案214(2017·山東卷)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若e1e2與e1e2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)的值是_解析(e1e2)·(e1e2)ee1·e2e1·e2e,|e1e2|2,|e1e2|,2××cos60°,解得.答案15在ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合),若x(1x),則x的取值范圍是_解析依題意,設(shè),其中1<<,則有 ()(1).又x(1x),且,不共線,于是有x1,由,知x,即x的取值范圍是.答案16(2018·河北衡水二中模擬)已知在直角梯形ABCD中,ABAD2CD2,ABCD,ADC90°,若點(diǎn)M在線段AC上,則|的最小值為_解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),設(shè)(01),則M(,2),故(,22),(2,2),則(22,24),|,當(dāng)時(shí),|取得最小值為.答案

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