2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問(wèn)題練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問(wèn)題練習(xí) 理一、選擇題1已知雙曲線1(b>0)的離心率等于b，則該雙曲線的焦距為()A2B2C6 D8解析：設(shè)雙曲線的焦距為2c.由已知得b，又c24b2，解得c4，則該雙曲線的焦距為8.答案：D2雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y2x，則雙曲線C的離心率是()A. B.C2 D.解析：由雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y2x，可得2，e.故選A.答案：A3(2018·合肥質(zhì)檢)若雙曲線C1：1與C2：1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b()A2 B4C6 D8解析：C1的漸近線為y±2x，即2.又2c4，c2.由c2a2b2得，20b2b2，b4.答案：B4已知拋物線y26x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PA|2，則直線AF的傾斜角為()A. B.C. D.解析：由拋物線方程得F.|PF|PA|2，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.P在拋物線上，且在第一象限，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，AF的斜率為，AF的傾斜角為，故選D.答案：D5已知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，直線yk(x2)與此拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，則()A. B1C2 D4解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可知，|FP|x12，|FQ|x22，則，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y，得k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.答案：A6若對(duì)任意kR，直線ykx10與橢圓1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,2 B1,2)C1,2)(2，) D1，)解析：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立，因?yàn)閗R，所以k20，則m10，所以m1，又m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,2)(2，)答案：C7已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)若AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)是(4,0)，則|AB|的最大值為()A2 B4C6 D10解析：因?yàn)镕(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(4,0)，由|MA|2|MB|2得(4x1)2y(4x2)2y，又y4x1，y4x2，代入中并展開得168x1xy168x2xy，即xx4x14x2，得x1x24，所以|AB|AF|BF|6，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|max6，故選C.答案：C8(2018·長(zhǎng)沙模擬)P是雙曲線C：y21右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF1|PQ|的最小值為()A1 B2C4 D21解析：設(shè)F2是雙曲線C的右焦點(diǎn)，因?yàn)閨PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，顯然當(dāng)F2，P，Q三點(diǎn)共線且P在F2，Q之間時(shí)，|PF2|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離易知l的方程為y或y，F(xiàn)2(，0)，求得F2到l的距離為1，故|PF1|PQ|的最小值為21.選D.答案：D9過(guò)橢圓C：1(ab0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若k，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)解析：由題圖可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k，所以，化簡(jiǎn)可得，從而可得e，選C.答案：C10已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)若·<0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析：由題意知a22，b21，所以c23，不妨設(shè)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以·x3y3y1<0，所以<y0<，故選A.答案：A11已知P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|PN|的最小值為()A3 B4C5 D.1解析：由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，N與F重合過(guò)圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.故選A.答案：A12(2018·南昌調(diào)研)已知圓O1：(x2)2y216與圓O2：x2y2r2(0<r<2)，動(dòng)圓M與圓O1、圓O2都相切，動(dòng)圓圓心M的軌跡為兩個(gè)橢圓，這兩個(gè)橢圓的離心率分別為e1，e2(e1>e2)，則e12e2的最小值是()A. B.C. D.解析：當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1、O2都相內(nèi)切時(shí)，|MO2|MO1|4r2a，e1.當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相內(nèi)切，與圓O2相外切時(shí)，|MO1|MO2|4r2a，e2，e12e2，令12rt(10<t<12)，e12e22×2×，故選A.答案：A二、填空題13已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：雙曲線漸近線的斜率為k，直線的斜率為k1tan 60°，故有，e2，所求雙曲線離心率的取值范圍是e2.答案：2，)14(2018·懷化模擬)已知橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得F1PF2120°，則橢圓的離心率的取值范圍是_解析：由題意可得，橢圓的上頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，所以底角小于等于30°，則， 即e，又e1，所以橢圓的離心率的取值范圍是，1)答案：，1)15(2018·合肥質(zhì)檢)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由題意知a2，e，c1，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.2x02，y0.F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.即當(dāng)x02時(shí)，·取得最大值4.答案：4B組大題規(guī)范練1已知P是拋物線E：y22px(p>0)上一點(diǎn)，P到直線xy40的距離為d1，P到E的準(zhǔn)線的距離為d2，且d1d2的最小值為3.(1)求拋物線E的方程；(2)直線l1：yk1(x1)交E于點(diǎn)A，B，直線l2：yk2(x1)交E于點(diǎn)C，D，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，若k1k22，直線MN的斜率為k，求證：直線l：kxykk1kk20恒過(guò)定點(diǎn)解析：(1)拋物線E的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義可得d2|PF|，則d1d2d1|PF|，其最小值為點(diǎn)F到直線xy40的距離，3，解得p4或p20(舍去)，拋物線E的方程為y28x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得kx2(2k8)xk0，則x1x2，所以y1y2k1(x11)k1(x21)k1(x1x2)2k12k1，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的斜率k，則k(k1k2)2，直線l的方程kxykk1kk20可化為ykxk(k1k2)，即ykx2.令x0，可得y2，直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使·恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由解析：(1)由已知可得解得a22，b21，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.設(shè)存在點(diǎn)E(0，m)，則(x1，my1)，(x2，my2)，所以·x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m·.要使得·t(t為常數(shù))，只需t，從而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，從而t，故存在定點(diǎn)E，使·恒為定值.3已知M為橢圓C：1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)P滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍解析：(1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y0.由，得(mx，y)(0，n)，則有又M(m，n)為橢圓C：1上的點(diǎn)，1，即x2y225，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2y225(y0)(2)依題意知A(5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)Q(x0，y0)，線段AB為圓E的直徑，APBP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kPA，kQFkPBkQFkQB·，點(diǎn)P不同于A，B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在，5<x0<5且x04，又y在(5，4)和(4,5)上都是減函數(shù)，(，0)，故的取值范圍是(，0).4如圖，橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，且·3.(1)求橢圓C的方程；(2)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線B2P交x軸于點(diǎn)Q，直線A1B2交直線A2P于點(diǎn)E.設(shè)直線A2P的斜率為k，直線EQ的斜率為m，試問(wèn)2mk是否為定值？并說(shuō)明理由解析：(1)因?yàn)閑，所以，由題意得A1(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以(a，b)，(a，b)又·3，所以a2b23，所以c，所以a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)2mk是定值理由如下：由(1)可知A1(2,0)，A2(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)因?yàn)橹本€A2P的斜率為k，所以直線A2P的方程為yk(x2)，其中k±，且k0，聯(lián)立，得消去y，得(14k2)x216k2x16k240.因?yàn)閤A22，所以xP，所以P，則直線B2P的方程為yx1x1，令y0，得x，所以Q.易得直線A1B2的方程為x2y20，聯(lián)立，得解得所以E，所以EQ的斜率m.所以2mk2·k，是定值