2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練18 直線與圓錐曲線 理

2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練18 直線與圓錐曲線 理1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A.B.C.D.2.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為,則拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是()A.B.C.D.3.如果與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是A和B,那么過A,B兩點(diǎn)的最小圓截拋物線y2=8x的準(zhǔn)線所得的弦長為()A.4B.2C.2D.4.(2018全國,理11)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.B.3C.2D.45.平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn),則C1的離心率為. 6.(2018全國,理19)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB.7.如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A,B,拋物線上的點(diǎn)P(x,y).過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.8.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:|AN|·|BM|為定值.9.(2018全國,理19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.二、思維提升訓(xùn)練10.(2018全國,理16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若AMB=90°,則k=. 11.定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P滿足=2. (1)求點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程; (2)若過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求的最大值.12.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.13.(2018全國,理20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).(1)證明:k<-;(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且=0.證明:|,|,|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.專題能力訓(xùn)練18直線與圓錐曲線一、能力突破訓(xùn)練1.A解析 由題意,不妨設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),k>0,分別令x=-c與x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.設(shè)OE的中點(diǎn)為G,由OBGFBM,得,即,整理,得,故橢圓的離心率e=,故選A.2.B解析 拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為(0,1),雙曲線=1 (a>0,b>0)的離心率為,所以=2,雙曲線的漸近線為y=±x=±2x,則拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是故選B.3.C解析 設(shè)直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因?yàn)橹本€與拋物線相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點(diǎn)的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,此時(shí)圓心(-1,-1)到準(zhǔn)線的距離為1,故所截弦長為2=2.4.B解析 由條件知F(2,0),漸近線方程為y=±x,所以NOF=MOF=30°,MON=60°90°.不妨設(shè)OMN=90°,則|MN|=|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30°=,所以|MN|=3.5解析 雙曲線的漸近線為y=±x.由得A由得BF為OAB的垂心,kAF·kOB=-1.即=-1,解得,即可得e=6.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為所以AM的方程為y=-x+或y=x-(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),OMA=OMB=0°,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<,x2<,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=將y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0.從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),所以O(shè)MA=OMB.綜上,OMA=OMB.7.解 (1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x-,因?yàn)?<x<,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ=因?yàn)閨PA|=(k+1),|PQ|=(xQ-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因?yàn)閒'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k=時(shí),|PA|·|PQ|取得最大值8.(1)解 由題意得解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明 由(1)知,A(2,0),B(0,1).設(shè)P(x0,y0),則+4=4.當(dāng)x00時(shí),直線PA的方程為y=(x-2).令x=0,得yM=-,從而|BM|=|1-yM|=直線PB的方程為y=x+1.令y=0,得xN=-,從而|AN|=|2-xN|=所以|AN|·|BM|=4.當(dāng)x0=0時(shí),y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.綜上,|AN|·|BM|為定值.9.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則解得因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.二、思維提升訓(xùn)練10.2解析 設(shè)直線AB:x=my+1,聯(lián)立y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90°,=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=k=2.11.解 (1)設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由=2得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即因?yàn)?9,所以+(3y)2=9,化簡,得+y2=1,所以點(diǎn)P的軌跡方程為+y2=1.(2)當(dāng)過點(diǎn)(1,0)的直線為y=0時(shí),=(2,0)·(-2,0)=-4,當(dāng)過點(diǎn)(1,0)的直線不為y=0時(shí),可設(shè)為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立并化簡,得(t2+4)y2+2ty-3=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=-,y1y2=-,=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)+t+1=-4+又由=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以tR,對于上式,當(dāng)t=0時(shí),()max=綜上所述,的最大值為12.解 (1)因?yàn)閨AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為=1(y0).(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-(x-1),A到m的距離為,所以|PQ|=2=4故四邊形MPNQ的面積S=|MN|PQ|=12可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8).當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8).13.解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=1.兩式相減,并由=k得k=0.由題設(shè)知=1,=m,于是k=-由題設(shè)得0<m<,故k<-(2)由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點(diǎn)P在C上,所以m=,從而P,|=于是|=2-同理|=2-所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|,則|,|,|成等差數(shù)列,設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2|d|=|-|=|x1-x2|=將m=代入得k=-1.所以l的方程為y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入解得|d|=所以該數(shù)列的公差為或-