2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第五講 導數(shù)的應用（一）教案 理

2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第五講 導數(shù)的應用（一）教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學科素養(yǎng)2018卷函數(shù)的奇偶性應用及切線方程求法·T5命題分析(1)高考對導數(shù)的幾何意義的考查，多在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度較小，有時出現(xiàn)在解答題第一問(2)高考重點考查導數(shù)的應用，即利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn)，難度中等有時出現(xiàn)在解答題第一問學科素養(yǎng)導數(shù)的應用主要是通過利用導數(shù)研究單調(diào)性解決最值、不等式、函數(shù)零點等問題，著重考查邏輯推理與數(shù)學運算這兩大核心素養(yǎng)與分析問題解決問題的能力.卷切線方程求法·T13卷切線方程求法·T142017卷利用導數(shù)求三棱錐的體積·T16卷函數(shù)圖象的極小值求法·T112016卷利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)·T7利用導數(shù)研究函數(shù)零點、不等式證明·T21卷曲線的切線方程·T16利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式、求函數(shù)的最值問題·T21卷導數(shù)的幾何意義、切線方程·T15導數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應用·T21悟通方法結(jié)論1導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)是曲線f(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，曲線f(x)在點P處的切線的斜率kf(x0)，相應的切線方程為yf(x0)f(x0)·(xx0)2四個易誤導數(shù)公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a>0)；(4)(logax)(a>0，且a1)全練快速解答1若直線yax是曲線y2ln x1的一條切線，則實數(shù)a的值為()A BCD解析：依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切點的橫坐標為x0，則有y|xx0，于是有解得答案：B2(2018·高考全國卷)設(shè)函數(shù)(x)x3(a1)x2ax，若(x)為奇函數(shù)，則曲線y(x)在點(0,0)處的切線方程為()Ay2xByxCy2xDyx解析：法一：(x)x3(a1)x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)為奇函數(shù)，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲線y(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.法二：(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，(x)3x22(a1)xa為偶函數(shù)，a1，即(x)3x21，(0)1，曲線y(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.答案：D3(2018·山東四市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2ax1的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)aln x在點(b，g(b)處的切線的斜率的最小值是_解析：由題意，f(x)x2bxa，根據(jù)f(x)的圖象的極大值點、極小值點均大于零，可得b>0，a>0，又g(x)，則g(b)2，當且僅當ab時取等號，所以切線斜率的最小值為2.答案：2求曲線yf(x)的切線方程的3種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求切線方程求出切線的斜率f(x0)，由點斜式寫出方程；(2)已知切線的斜率k，求切線方程設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；(3)已知切線上一點(非切點)，求切線方程設(shè)切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性授課提示：對應學生用書第12頁悟通方法結(jié)論導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性(2017·高考全國卷)(12分)已知函數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍學審題條件信息想到方法注意什么信息：已知f(x)的解析式可求導函數(shù)f(x)(1)要討論函數(shù)的單調(diào)性，必須先求出函數(shù)定義域(2)對于含參數(shù)的問題，要根據(jù)不同情況對參數(shù)進行分類討論信息：f(x)0函數(shù)的最小值f(x)min0規(guī)范解答(1)函數(shù)f(x)的定義域為(，)， (1分)f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增若a>0，則由f(x)0，得xln a.當x(，ln a)時，f(x)<0；當x(ln a，)時，f(x)>0.故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增 (3分)若a<0，則由f(x)0，得xln.當x時，f(x)<0；當x時，f(x)>0；故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 (6分)(2)若a0，則f(x)e2x，所以f(x)0. (7分)若a>0，則由(1)得，當xln a時，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a2ln a.從而當且僅當a2ln a0，即0<a1時，f(x)0. (9分)若a<0，則由(1)得，當xln時，f(x)取得最小值，最小值為fa2.從而當且僅當a20，即2ea<0時，f(x)0. (11分)綜上，a的取值范圍是2e，1 (12分)1.求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的解題策略討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：(1)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時，依據(jù)根的大小進行分類討論(2)在不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論2討論函數(shù)的單調(diào)性重點考查學科核心素養(yǎng)中的邏輯推理與數(shù)學運算，體現(xiàn)了分類討論思想及分析問題解決問題的能力.練通即學即用1已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，2B.C2，)D5，)解析：由題意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立，g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立，a2240或2a2或即a2.答案：C2(2018·荊州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x(ln xa)(1)當x1時，對任意實數(shù)b，直線yxb與函數(shù)f(x)的圖象都不相切，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a1時，討論f(x)在區(qū)間t，te(t>0)上的單調(diào)性；(3)證明：當a1時，對任意的x>0，都有·f(x)>成立解析：(1)由f(x)x(ln xa)(x1)，得f(x)ln xa1， 因為對任意實數(shù)b，直線yxb與函數(shù)f(x)的圖象都不相切，所以f(x)ln xa11，即aln x2.而函數(shù)yln x2在1，)上單調(diào)遞增，所以ln x2ln 122，故a<2.(2)當a1時，f(x)x(ln x1)，f(x)ln x2，由f(x)0得x.當0<t<時，在t，)上，f(x)<0，在(，te上，f(x)>0，因此f(x)在t，)上單調(diào)遞減，在(，te上單調(diào)遞增當t時，在t，te上，f(x)0恒成立，所以f(x)在t，te上單調(diào)遞增綜上所述，當0<t<時，f(x)在t，)上單調(diào)遞減，在(，te上單調(diào)遞增；當t時，f(x)在t，te上單調(diào)遞增(3)證明：問題等價于證明當a1時，f(x)>對任意的x>0恒成立由(2)知當a1時，f(x)xln xx在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minf().設(shè)g(x)(x>0)，則g(x)，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1).從而當a1時，對任意的x>0，都有f(x)g(x)(等號不同時取到)，所以f(x)>成立，即對任意的x>0，都有f(x)>成立利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值授課提示：對應學生用書第12頁悟通方法結(jié)論1若在x0附近左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得(2018·高考全國卷)(12分)已知函數(shù)f(x)(1) ；(2) ，證明： 學審題條件信息想到方法注意什么信息：已知f(x)的解析式先求定義域，再求導函數(shù)，變形(1)易忽視定義域求法及參數(shù)對單調(diào)性的影響(2)與極值點有關(guān)的雙變量不等式證明，要明確消元、構(gòu)造法信息：討論單調(diào)性參數(shù)分類標準的確立及用導數(shù)判斷單調(diào)性方法信息：兩極值點x1、x2極值點的定義及應用信息：雙變量不等式的證明雙變量不等式證明，利用極值點消元、構(gòu)造規(guī)范解答(1)(x)的定義域為(0，)，(x)1. (2分)若a2，則(x)0，當且僅當a2，x1時，(x)0，所以(x)在(0，)上單調(diào)遞減 (4分)若a2，令(x)0，得x或x.當x時，(x)0；當x時，(x)0.所以(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 (6分)(2)證明：由(1)知，(x)存在兩個極值點當且僅當a2.由于(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21. (8分)由于1a2a2a，所以a2等價于x22ln x20. (10分)設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又g(1)0，從而當x(1，)時，g(x)0.所以x22ln x20，即a2. (12分)利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值練通即學即用1(2017·高考全國卷)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為()A1B2e3C5e3D1解析：因為f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因為x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)>0，解得x<2或x>1，令f(x)<0，解得2<x<1，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以當x1時，f(x)取得極小值，且f(x)極小值f(1)1.答案：A2(2018·江西八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0)B.C(0,1)D(0，)解析：f(x)ln x2ax1(x>0)，故f(x)在(0，)上有兩個不同的零點，令f(x)0，則2a，設(shè)g(x)，則g(x)，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，又當x0時，g(x)，當x時，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需0<2a<1，即0<a<.答案：B3(2018·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ln x2mx2n(m，nR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有最大值ln 2，求mn的最小值解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)4mx，當m0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當m>0時，令f(x)>0得0<x<，令f(x)<0得x>，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當m>0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減f(x)maxf()ln 2m·nln 2ln mnln 2，nln m，mnmln m，令h(x)xln x(x>0)，則h(x)1，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，h(x)minh()ln 2，mn的最小值為ln 2.授課提示：對應學生用書第119頁一、選擇題1曲線yex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為()A.e2B2e2Ce2D.解析：由題意可得yex，則所求切線的斜率ke2，則所求切線方程為ye2e2(x2)即ye2xe2，S×1×e2.答案：D2(2018·西寧一檢)設(shè)曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a()A2B2CD.解析：由y得曲線在點(3,2)處的切線斜率為，又切線與直線axy10垂直，則a2.答案：A3(2018·北京模擬)曲線f(x)xln x在點(1，f(1)處的切線的傾斜角為()A.B.C.D.解析：因為f(x)xln x，所以f(x)ln xx·ln x1，所以f(1)1，所以曲線f(x)xln x在點(1，f(1)處的切線的傾斜角為.答案：B4已知函數(shù)f(x)x25x2ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.和(1，)B(0,1)和(2，)C.和(2，)D(1,2)解析：函數(shù)f(x)x25x2ln x的定義域是(0，)，令f(x)2x5>0，解得0<x<或x>2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，)答案：C5函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導，若f(x)f(2x)，且當x(，1)時，(x1)f(x)<0，設(shè)af(0)，bf，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<c<a解析：因為當x(，1)時，(x1)f(x)<0，所以f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(，1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以af(0)<fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)<f(0)a，所以c<a<b，故選C.答案：C6已知函數(shù)f(x)x33x29x1，若f(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，則實數(shù)k的取值范圍為()A3，)B(3，)C(，3)D(，3解析：由題意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，所以k3.答案：D7已知函數(shù)f(x)k，若x2是函數(shù)f(x)的唯一一個極值點，則實數(shù)k的取值范圍為()A(，eB0，eC(，e)D0，e)解析：f(x)k(x>0)設(shè)g(x)，則g(x)，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增g(x)在(0，)上有最小值，為g(1)e，結(jié)合g(x)與yk的圖象可知，要滿足題意，只需ke.答案：A8已知函數(shù)f(x)ln xnx(n>0)的最大值為g(n)，則使g(n)n2>0成立的n的取值范圍為()A(0,1)B(0，)C.D.解析：易知f(x)的定義域為(0，)，f(x)n(x>0，n>0)，當x時，f(x)>0；當x時，f(x)<0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.設(shè)h(n)g(n)n2ln nn1.因為h(n)1<0，所以h(n)在(0，)上單調(diào)遞減又h(1)0，所以當0<n<1時，h(n)>h(1)0，故使g(n)n2>0成立的n的取值范圍為(0,1)，故選A.答案：A二、填空題9(2018·高考全國卷)曲線y2ln(x1)在點(0,0)處的切線方程為_解析：y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切線的幾何意義得切線斜率為2，又切線過點(0,0)，切線方程為y2x.答案：y2x10(2016·高考全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是_解析：設(shè)x>0，則x<0，f(x)ex1x.f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)ex1x.當x>0時，f(x)ex11，f(1)e111112.曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即2xy0.答案：2xy011(2018·太原二模)若函數(shù)f(x)sin xax為R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)cos xa，由題意可知，f(x)0對任意的xR都成立，a1，故實數(shù)a的取值范圍是(，1答案：(，112(2018·新鄉(xiāng)一模)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)x32ax2a2x的兩個極值點，若x1<2<x2，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得f(x)3x24axa2的兩個零點x1，x2滿足x1<2<x2，所以f(2)128aa2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)三、解答題13已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解析：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當a0時，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當a>0時，令f(x)0，得exa，即xln ax(，ln a)時，f(x)<0；x(ln a，)時，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值14(2018·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)f(x)2x在區(qū)間1，e上的最小值h(a)解析：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2xa，因為x3是f(x)的極值點，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以當0<x<或x>3時，f(x)>0；當<x<3時，f(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(3，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)g(x)aln xx2ax2x，則g(x)2.令g(x)0，得x或x1.當1，即a2時，g(x)在1，e上為增函數(shù)，h(a)ming(1)a1；當1<<e，即2<a<2e時，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，h(a)mingaln a2a；當e，即a2e時，g(x)在1，e上為減函數(shù)，h(a)ming(e)(1e)ae22e.綜上，h(a)min