2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第一講 直線與圓學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第一講 直線與圓學(xué)案 理考點一直線的方程1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2兩個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d.(2)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d.對點訓(xùn)練1(2018·東北三校聯(lián)考)過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析當(dāng)直線過原點時，由題意可得直線方程為2x5y0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)出其截距式為1，再由過點(5,2)即可解出2xy120，故選B.答案B2直線l過點(2,2)，且點(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40解析由已知，設(shè)直線l的方程為y2k(x2)，即kxy22k0，所以，解得k3，所以直線l的方程為3xy40.故選C.答案C3(2018·湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(4,2)，(3,1)，則點C的坐標為()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對稱點為A(x，y)，則解得即A(4，2)，直線AC即BC所在直線的方程為y1(x3)，即3xy100.又知點C在直線y2x上，聯(lián)立解得則C(2,4)，故選C.答案C4(2018·湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為_解析解法一：由方程組解得即交點為，所求直線與直線3x4y70垂直，所求直線的斜率為k.由點斜式得所求直線方程為y，即4x3y90.解法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x3ym0，由方程組可解得交點為，代入4x3ym0得m9，故所求直線方程為4x3y90.解法三：由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因為所求直線與直線3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0所以2，代入式得所求直線方程為4x3y90.答案4x3y90快速審題看到直線方程的求解，想到直線方程的五種形式，想到每種形式的適用條件求直線方程的兩種方法(1)直接法：選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)考點二圓的方程1圓的標準方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點時，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0，表示以為圓心，為半徑的圓對點訓(xùn)練1(2018·福建漳州模擬)圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對稱的圓的方程為()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21解析點P(x，y)關(guān)于直線yx對稱的點為P(y，x)，(1,2)關(guān)于直線yx對稱的點為(2,1)，圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對稱的圓的方程為(x2)2(y1)21，故選A.答案A2(2018·廣東珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的標準方程為()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析由題意設(shè)圓心坐標為(a，a)，則有，即|a|a2|，解得a1.故圓心坐標為(1，1)，半徑r，所以圓C的標準方程為(x1)2(y1)22.故選B.答案B3(2018·重慶一模)若P(2,1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程為()Axy10 B2xy30Cxy30 D2xy50解析圓心C的坐標為(1,0)，所以直線PC的斜率為kPC1，所以直線AB的斜率為1，故直線AB的方程為y1(x2)，即xy30，故選C.答案C4原創(chuàng)題在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_解析解法一：由題意得：半徑等于，當(dāng)且僅當(dāng)m1時取等號，所以半徑最大為r，所求圓為(x1)2y22.解法二：直線mxy2m10過定點(2，1)，當(dāng)切點為(2，1)時圓的半徑最大，此時半徑r，故所求圓的方程為(x1)2y22.答案(x1)2y22快速審題看到圓的方程，想到圓心與半徑，看到含參數(shù)的直線方程，想到直線是否過定點求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程，一般采用待定系數(shù)法考點三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：>0相交；0相切；<0相離(2)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r相交；dr相切；d>r相離2與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則過A、B兩點的直線方程為x0xy0yr2.解析(1)由題意知：圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則AOB的邊長為2，所以AOB的高為，即圓心到直線xya0的距離為，所以，解得a±.(2)當(dāng)直線斜率不存在時，明顯滿足題意，此時直線l的方程為x1.當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y5k(x1)，再由圓心到直線的距離等于半徑，得2，解得k，所以直線l的方程為4x3y190.綜上，直線l的方程為x1或4x3y190.(3)直線l的方程為ykx1，圓心C(2,3)到直線l的距離d，由R2d22得1，解得k2或，所求直線l的方程為y2x1或yx1.答案(1)B(2)x1或4x3y190(3)y2x1或yx1探究追問1在本例(3)中若把條件“|MN|”，改為·12，其中O為坐標原點，則|MN|_.解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由題意得直線l的方程為ykx1，代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以x1x2，x1x2，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18，由題設(shè)可知812，解得k1，所以直線l的方程為yx1，故圓心C在直線l上，所以|MN|2.答案2探究追問2在本例(3)中若圓C的方程不變，且過點A(0,1)且斜率為k的直線l上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的取值范圍是_解析由題意知直線l的方程為ykx1，要使直線l上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需直線l與圓C：(x2)2(y3)24有公共點，所以2，即2，解得k0.答案0，)直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，求切線方程主要選擇點斜式(3)弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)對點訓(xùn)練1(2018·福建福州一模)已知圓O：x2y24上到直線l：xya的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A(3，3)B(，3)(3，)C(2，2)D3，3解析由圓的方程可知圓心為O(0,0)，半徑為2，因為圓上的點到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d<r121，則d<3，解得a(3，3)，故選A.答案A2已知圓C1：x2y22x10y240和圓C2：x2y22x2y80，則兩圓的公共弦長為_解析聯(lián)立兩圓的方程得兩式相減整理得x2y40，即為兩圓公共弦所在直線的方程解法一：設(shè)兩圓相交于點A，B，則A，B兩點的坐標滿足方程組解得或所以|AB|2，即公共弦長為2.解法二：由x2y22x10y240，得圓心坐標為(1，5)，半徑r5.圓心到直線x2y40的距離d3，設(shè)兩圓的公共弦長為l，由r2d22，得l222，即兩圓的公共弦長為2.答案21(2016·全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A B C. D2解析由已知可得圓的標準方程為(x1)2(y4)24，故該圓的圓心為(1,4)，由點到直線的距離公式得d1，解得a，故選A.答案A2(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析由圓(x2)2y22可得圓心坐標為(2,0)，半徑r，ABP的面積記為S，點P到直線AB的距離記為d，則有S|AB|·d，易知|AB|2，dmax3，dmin，所以2S6，故選A.答案A3(2018·北京卷)在平面直角坐標系中，記d為點P(cos，sin)到直線xmy20的距離當(dāng)，m變化時，d的最大值為()A1 B2 C3 D4解析解法一：由點到直線的距離公式得d，cosmsin，令sin，cos，cosmsinsin()，d1，當(dāng)m0時，dmax3，故選C.解法二：cos2sin21，P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又xmy20表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(1,0)到直線x2的距離即為d的最大值故選C.答案C4(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·0，則點A的橫坐標為_解析由題意易得BAD45°.設(shè)直線DB的傾斜角為，則tan，tanABOtan(45°)3，kABtanABO3.AB的方程為y3(x5)，由得xA3.答案35(2016·全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點若|AB|2，則|CD|_.解析由題意可知直線l過定點(3，)，該定點在圓x2y212上，不妨設(shè)點A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圓心到直線AB的距離為d3，又由點到直線的距離公式可得d，3，解得m，所以直線l的斜率km，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點C作CHBD，垂足為H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30°，所以|CD|4.答案41.近兩年圓的方程成為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關(guān)注此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查2直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上熱點課題14與圓有關(guān)的最值問題 感悟體驗1(2018·廈門模擬)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1 C62 D.解析兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.故選A.答案A2(2018·寧夏銀川一中檢測)過點M(1,2)的直線l與圓C：(x3)2(y4)225交于A，B兩點，C為圓心，當(dāng)ACB最小時，直線l的方程是_解析驗證得M(1,2)在圓內(nèi)，當(dāng)ACB最小時，直線l與CM垂直，又圓心為(3,4)，則kCM1，則kl1，故直線l的方程為y2(x1)，整理得xy30.答案xy30專題跟蹤訓(xùn)練(二十四)1(2018·合肥檢測)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析由直線方程可得該直線的斜率為，又1<0，所以傾斜角的取值范圍是.故選B.答案B2(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則直線l的方程為()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析由已知得，圓心為(0,3)，所求直線的斜率為1，由直線方程的斜截式得，yx3，即xy30，故選D.答案D3(2018·河北五個一聯(lián)盟聯(lián)考)已知直線l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，則“m2”是l1平行于l2的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析當(dāng)m2時，直線l1：2x2y10，直線l2：xy10，此時直線l1與l2平行，所以充分性成立；當(dāng)l1l2時，m(m1)20，即m2m20，m2或m1，經(jīng)檢驗m1時，直線l1與直線l2重合，故l1l2時，m2，故必要性成立綜上，“m2”是l1平行于l2的充分必要條件故選C.答案C4(2018·陜西西安高三質(zhì)檢)圓：x2y22x2y10上的點到直線xy2距離的最大值是()A1 B2C1 D22解析將圓的方程化為(x1)2(y1)21，即圓心坐標為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線xy2的距離d，故圓上的點到直線xy2距離的最大值為1d1，故選A.答案A5(2018·寧夏銀川質(zhì)檢)已知圓C1：x2y24，圓C2：x2y26x8y160，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是()A相離 B外切 C相交 D內(nèi)切解析易知圓C2的標準方程為(x3)2(y4)29，則圓C1與C2的圓心的距離為5，又兩圓半徑之和為235，所以圓C1與圓C2外切，故選B.答案B6(2018·遼寧第一次質(zhì)量監(jiān)測)已知直線l：yk(x)和圓C：x2(y1)21，若直線l與圓C相切，則k()A0 B. C.或0 D.或0解析因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d1，即|1k|，解得k0或k，故選D.答案D7(2018·長春二檢)圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析解法一：圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可設(shè)所求圓的圓心坐標為(a，b)，則解得所以圓(x2)2y24的圓心關(guān)于直線yx對稱的點的坐標為(1，)，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24，故選D.解法二：由于兩圓關(guān)于直線對稱，因此兩圓心的連線必與該直線垂直，則兩圓心連線的斜率為，備選項中只有選項D中的圓心與已知圓的圓心連線的斜率為，故選D.答案D8已知直線2x(y3)m40(mR)恒過定點P，若點P平分圓x2y22x4y40的弦MN，則弦MN所在直線的方程是()Axy50 Bxy30Cxy10 Dxy10解析對于直線方程2x(y3)m40(mR)，取y3，則必有x2，所以該直線恒過定點P(2,3)設(shè)圓心是C，則易知C(1,2)，所以kCP1，由垂徑定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN過點P(2,3)，故弦MN所在直線的方程為y3(x2)即xy50.答案A9(2018·福州質(zhì)檢)過點P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為()Ay ByCy Dy解析圓(x1)2y21的圓心為C(1,0)，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.故選B.答案B10(2018·河南名校第二次聯(lián)考)已知m，n，a，bR，且滿足3m4n6,3a4b1，則的最小值為()A. B. C1 D.解析此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x4y6與l2：3x4y1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|，因為l1l2，所以|AB|min1，故選C.答案C11(2018·四川成都二模)已知直線l的方程是yk(x1)2，若點P(3,0)在直線l上的射影為H，O為坐標原點，則|OH|的最大值是()A5 B32C. D.3解析因為直線l的方程是yk(x1)2，所以直線l過定點M(1，2)則點P(3,0)在直線l上的射影H在以PM為直徑的圓上|PM|2，線段PM的中點即圓心C(1，1)，則|OC|.因此，當(dāng)O，C，H三點共線時，|OH|取得最大值.答案C12(2018·安徽蕪湖六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍是()A. B0,1C. D.解析因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為|MA|2|MO|，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD|21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍為.故選A.答案A二、填空題13若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為_解析由題意，得kOP2，則該圓在點P處的切線方程的斜率為，所以所求切線方程為y2(x1)，即x2y50.答案x2y5014若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則實數(shù)m的值為_解析因為圓C2：(x3)2(y4)225m，又因為圓C1與圓C2外切，所以15，解得m9.答案915(2018·衡水中學(xué)模擬)已知直線axy10與圓C：(x1)2(ya)21相交于A，B兩點，且ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為_解析因為ABC是等腰直角三角形，所以圓心C(1，a)到直線axy10的距離drsin45°，即d，所以a±1.答案±116(2018·南寧測試)過動點M作圓：(x2)2(y2)21的切線MN，其中N為切點，若|MN|MO|(O為坐標原點)，則|MN|的最小值是_解析解法一：由題意知圓的圓心為(2,2)，半徑為1.設(shè)M(x，y)，則|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即yx，所以|MN|MO| ，當(dāng)x時，|MN|取得最小值.解法二：由題意知圓的圓心為(2,2)，半徑為1.設(shè)M(x，y)，則|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即點M的軌跡為4x4y70，則由題意知，要使|MN|取得最小值，即|MO|取得最小值，此時|MO|的最小值就是原點到直線4x4y70的距離，即，故|MN|的最小值為.答案