2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2

2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2學(xué)習(xí)目標1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題知識鏈接1有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？答這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對2反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形預(yù)習(xí)導(dǎo)引1間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明2反證法從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)3反證法步驟反證法的過程包括下面3個步驟：反設(shè)，歸謬，存真4反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等5反證法中常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個反設(shè)詞一個也沒有(不存在)至少有兩個至多有(n1)個至少有(n1)個結(jié)論詞只有一個對所有x成立對任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個存在某個x不成立存在某個x成立結(jié)論詞都是一定是p或qp且q反設(shè)詞不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q要點一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x，y>0，且xy>2.求證：，中至少有一個小于2.證明假設(shè)，都不小于2，即2，2.x，y>0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2與已知xy>2矛盾，中至少有一個小于2.規(guī)律方法對于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤跟蹤演練1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)證明假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.這與已知acbd>1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)要點二用反證法證明不存在、惟一性命題例2求證對于直線l：ykx1，不存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點A、B關(guān)于直線yax(a為常數(shù))對稱證明假設(shè)存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：ykx1與直線yax垂直；(2)點A、B在直線l：ykx1上；(3)線段AB的中點在直線yax上，所以由得(3k2)x22kx20.當k23時，l與雙曲線僅有一個交點，不合題意由、得a(x1x2)k(x1x2)2，由知x1x2，代入整理得：ak3，這與矛盾所以假設(shè)不成立，故不存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對稱規(guī)律方法證明“惟一性”問題的方法：“惟一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便跟蹤演練2求證：過一點只有一條直線與已知平面垂直已知：平面和一點P.求證：過點P與垂直的直線只有一條證明如圖所示，不論點P在內(nèi)還是在外，設(shè)PA，垂足為A(或P)假設(shè)過點P不止有一條直線與垂直，如還有另一條直線PB，設(shè)PA，PB確定的平面為，且a，于是在平面內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立要點三用反證法證明否定性命題例3已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(1)解設(shè)公差為d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，這與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列規(guī)律方法(1)當結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題時，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾(2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法跟蹤演練3已知f(x)ax(a>1)，證明方程f(x)0沒有負數(shù)根證明假設(shè)x0是f(x)0的負數(shù)根，則x0<0且x01且，由0<<10<<1，解得<x0<2，這與x0<0矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)0沒有負數(shù)根1用反證法證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)_答案三角形中至少有兩個直角或鈍角2用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中_答案每一個內(nèi)角都小于60°3“a<b”的反面應(yīng)是_答案ab或a>b4用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是_答案方程x3axb0沒有實根解析方程x3axb0至少有一個實根的反面是方程x3axb0沒有實根5已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)證明(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)設(shè)a2n1(nZ)，則a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)1.反證法證明的基本步驟：(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立2用反證法證題要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的(2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的一、基礎(chǔ)達標1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是_(填序號)與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實矛盾答案2否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為_答案a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”3有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有_答案解析錯：應(yīng)為ab；對；錯：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯：應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角4用反證法證明命題：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時，否定結(jié)論應(yīng)為_答案a，b，c都不是偶數(shù)解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是_答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個整數(shù)根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，當k為偶數(shù)時，顯然與式矛盾；當k為奇數(shù)時，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，b為實數(shù))”，其反設(shè)為_答案a，b不全為0解析“a，b全為0”即是“a0且b0”，因此它的反設(shè)為“a0或b0”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則下面關(guān)于三個數(shù)a，b，c的說法正確的是_都大于2；至少有一個大于2；至少有一個不小于2；至少有一個不大于2.答案解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則(a)(b)(c)<6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0，a<1或a>.2(2a)28a4a(a2)<0，2<a<0，故2<a<1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a2或a1.11已知abc>0，abbcca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由abc>0，可得c>(ab)，又ab<0，c(ab)<(ab)(ab)，abc(ab)<(ab)(ab)ab，即abbcca<a2abb2.a2>0，ab>0，b2>0，a2abb2(a2abb2)<0，即abbcca<0，這與已知abbcca>0矛盾，假設(shè)不成立a>0，b>0，c>0成立12已知a，b，c(0,1)，求證(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于，即(1a)b>，(1b)c>，(1c)a>，三式相乘得(1a)a·(1b)b·(1c)c>，又因為0<a<1，所以0<a(1a)2.同理0<b(1b)，0<c(1c)，所以(1a)a·(1b)b·(1c)c，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因為ab0，所以ab，ba，又因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，由不等式的性質(zhì)可知f(a)f(b)f(a)f(b)(2)假設(shè)ab0，則ab，ba，因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，這與已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，所以假設(shè)不正確，所以原命題成立