2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【命題意圖】本小題主要考查空間幾何體的三視圖,意在考查三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】選C.將四棱錐三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖,如圖,側(cè)面共有4個(gè)三角形,即PAB,PBC,PCD,PAD,由已知,PD平面ABCD,又AD平面ABCD,所以PDAD,同理PDCD,PDAB,所以PCD,PAD是直角三角形.因?yàn)锳BAD,PDAB,PD,AD平面PAD,PDAD=D,所以AB平面PAD,又PA平面PAD所以ABPA,PAB是直角三角形.因?yàn)锳B=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=2,PC=2PB=3,在梯形ABCD中,易知BC=,PBC三條邊長為2,3,PBC不是直角三角形.綜上,側(cè)面中直角三角形個(gè)數(shù)為3.2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.B.32C.D.【解析】選A.由三視圖可知, 該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長為4)、高為8的直三棱柱截去一個(gè)等底且高為4的三棱錐而得到的,所以該幾何體的體積V=×4×4×8-××4×4×4=.3.(2018·湖南五市十校聯(lián)考)如圖,小方格是邊長為1的正方形,一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.4+96B.(2+6)+96C.(4+4)+64D.(4+4)+96【解析】選D由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體的組合體,正方體的棱長為4,圓錐的高為4,底面半徑為2,所以該幾何體的表面積為S=6×42+×22+×2×=(4+4)+96.4.一個(gè)三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示,則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為()【解析】選D.由題圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐,其中平面ACD平面BCD,故選D.5.如圖是一正方體被過棱的中點(diǎn)M,N和頂點(diǎn)A,D,C1的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體,則該幾何體的正(主)視圖為()【解析】選B.還原正方體,如圖所示,由題意可知,該幾何體的正(主)視圖是選項(xiàng)B.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若一個(gè)幾何體的表面積和體積相同,則稱這個(gè)幾何體為“同積幾何體”.已知某幾何體為“同積幾何體”,其三視圖如圖所示,則a=_. 【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱柱,如圖所示,可得其體積為(a+2a)·a·a=a3,其表面積為·(2a+a)·a·2+a2+a2+2a·a+a·a=7a2+a2,所以7a2+a2=a3,解得a=.答案:7.(2017·全國卷)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_. 【解析】連接OB,連接OD,交BC于點(diǎn)G,由題意得,ODBC,OG=BC,設(shè)OG=x,則BC=2x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=,SABC=2x·3x·=3x2,則V=SABC·h=x2·=·,令f=25x4-10x5,x,f=100x3-50x4,令f>0,即x4-2x3<0,x<2,則ff=80,則V×=4,所以體積最大值為4 cm 3.答案:4 cm 38.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C側(cè)面ABB1A1,AC=AA1=AB,AA1C1 =60°,ABAA1,H為CC1的中點(diǎn),D為BB1的中點(diǎn).若AB=,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為_. 【解析】連接AC1,可知ACC1為正三角形,又H為棱CC1的中點(diǎn),所以AHCC1,從而AHAA1,又平面AA1C1C平面ABB1A1,平面AA1C1C平面ABB1A1=AA1,AH平面AA1C1C, 所以AH平面ABB1A1,又A1D平面ABB1A1,所以AHA1D.因?yàn)锳B=.AC=AA1=AB,所以AC=AA1=2,DB1=1,=,又DB1A1=B1A1A=90°,所以A1DB1AB1A1,所以B1AA1=DA1B1,又DA1B1+AA1D=90°,所以B1AA1+AA1D=90°,所以A1DAB1,由及AB1AH=A,可得A1D平面AB1H.取AA1的中點(diǎn)M,連接C1M,則C1MAH,所以C1M平面ABB1A1,所以=·C1M=××=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3=.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,DC=BC=AB=1,點(diǎn)M在線段EC上.(1)證明:平面BDM平面ADEF.(2)判斷點(diǎn)M的位置,使得三棱錐B -CDM的體積為.【解析】(1)因?yàn)镈C=BC=1,DCBC,所以BD=.因?yàn)锳D=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90°,所以ADBD,因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD.BD平面ABCD,所以BD平面ADEF,因?yàn)锽D平面BDM,所以平面BDM平面ADEF.(2)如圖,在平面DMC內(nèi),過M作MNDC,垂足為點(diǎn)N,又因?yàn)镋DAD,平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,所以EDCD,所以MNED,因?yàn)镋D平面ABCD,所以MN平面ABCD.因?yàn)閂B-CDM=VM-CDB=MN·SBDC=,所以××1×1×MN=,所以MN=.所以=,所以CM=CE,所以點(diǎn)M在線段CE的三等分點(diǎn)且靠近C處.10.如圖,過四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)P和下底面的對(duì)角線BD將木塊鋸開,得到截面BDFE.(1)請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過P的鋸線EF,并說明理由.(2)若該四棱柱的底面為菱形,四邊形BB1D1D是矩形,試證明:平面BDFE平面A1C1CA.【解析】(1)在上底面內(nèi)過點(diǎn)P作B1D1的平行線分別交A1D1,A1B1于F,E兩點(diǎn),則EF即為所作的鋸線.理由如下:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱BB1DD1,且BB1=DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD,平面BDFE平面A1B1C1D1=EF,所以EFBD,從而EFB1D1.(2)由于四邊形BB1D1D是矩形,所以BDB1B.又A1AB1B,所以BDA1A.又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BDAC.因?yàn)锳CA1A=A,所以BD平面A1C1CA.因?yàn)锽D平面BDFE,所以平面BDFE平面A1C1CA.11.如圖,平面PAD平面ABCD,ABCD是邊長為2的菱形,PA=PD,且APD=90°,DAB=60°.(1)若線段PC上存在一點(diǎn)M,使得直線PA平面MBD,試確定M點(diǎn)的位置,并給出證明.(2)在第(1)問的條件下,求三棱錐C - DMB的體積.【解析】(1)M為線段PC中點(diǎn).證明:取線段PC中點(diǎn)M,連接MD,MB,連接AC,BD相交于O點(diǎn),連接OM,因?yàn)锳BCD為菱形,AC交BD于O點(diǎn),所以O(shè)為AC中點(diǎn),又M為PC中點(diǎn),所以O(shè)MPA,又OM平面MBD,PA平面MBD,所以PA平面MBD.(2)因?yàn)镻A=PD,取AD的中點(diǎn)N,連接PN,所以PNAD,又平面PAD平面ABCD,所以PN平面ABCD,因?yàn)锳PD=90°,AD=2,所以PN=AD=1,又M為PC中點(diǎn),所以M到平面ABCD的距離hM=PN=.因?yàn)锳BCD是邊長為2的菱形,DAB=60°,所以SBCD=×2×2×=,所以VC-DMB=VM-BCD=SBCDhM=××=.(20分鐘20分)1.(10分)如圖所示,平行四邊形ABCD中,DAB=60°,AB=2,AD=4.將CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.(1)求證:ABDE.(2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積和體積.【解析】(1)在ABD中,因?yàn)锳B=2,AD=4,DAB=60°,所以BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以ABBD.又平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,AB平面ABD,所以AB平面EBD.又DE平面EBD,所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因?yàn)镃DAB,所以CDBD,從而DEBD.在RtDBE中,因?yàn)镈B=2,DE=DC=AB=2,所以SEDB=DB·DE=2.因?yàn)锳B平面EBD,BE平面EBD,所以ABBE.因?yàn)锽E=BC=AD=4,所以SEAB=AB·BE=4.因?yàn)镈EBD,平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,所以DE平面ABD,而AD平面ABD,所以DEAD,故SEAD=AD·DE=4.故三棱錐E-ABD的側(cè)面積S=SEDB+SEAB+SEAD=8+2.因?yàn)镈E平面ABD,且SABD=SEBD =2,DE=2,所以V三棱錐E-ABD=SABD×DE=×2×2=.2.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD平面ABCD,點(diǎn)D1為棱PD的中點(diǎn),過D1作與平面ABCD平行的平面與棱PA,PB,PC相交于點(diǎn)A1,B1,C1,BAD=60°.(1)求證:B1為PB的中點(diǎn).(2)已知棱錐的高為3,且AB=2,AC,BD的交點(diǎn)為O,連接B1O.求三棱錐B1-ABO外接球的體積.【解析】(1)連接B1D1.由題意知,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面PBD平面ABCD=BD,平面PBD平面A1B1C1D1=B1D1,則BDB1D1,即B1D1為PBD的中位線,即B1為PB的中點(diǎn).(2)由(1)可得,OB1=,AO=,BO=1,且OAOB,OAOB1,OBOB1,即三棱錐B1-ABO的外接球?yàn)橐設(shè)A,OB,OB1為長、寬、高的長方體的外接球,則該長方體的體對(duì)角線長d=,即外接球半徑R=.則三棱錐B1-ABO外接球的體積V=R3=××=.