（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第2講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想學(xué)案 文 新人教A版

第2講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想函數(shù)思想是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得到解決的思想方程思想就是建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得到解決的思想函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的，函數(shù)思想重在對問題進(jìn)行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系構(gòu)建“函數(shù)關(guān)系”解決問題典型例題 已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，bn，若對任意的nN*，不等式bnk恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值【解】(1)因?yàn)閍12，aa2(a41)，又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，所以公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1)，則.所以bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時(shí)，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實(shí)數(shù)k的最小值為.數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式都具有隱含的函數(shù)關(guān)系，都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，在解等差數(shù)列、等比數(shù)列問題時(shí)，有意識地發(fā)現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系，從而用函數(shù)思想或函數(shù)方法研究、解決問題，不僅能獲得簡便的解法，而且能促進(jìn)科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維的水平 對點(diǎn)訓(xùn)練1對于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2px>4xp3成立的x的取值范圍是_解析：設(shè)f(p)(x1)px24x3，則當(dāng)x1時(shí)，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4時(shí)恒為正，等價(jià)于即解得x>3或x<1.故x的取值范圍為(，1)(3，)答案：(，1)(3，)2(2018·高考北京卷)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_解析：ABC的面積Sacsin B(a2c2b2)×2accos B，所以tan B，因?yàn)?°<B<180°，所以B60°.因?yàn)镃為鈍角，所以0°<A<30°，所以0<tan A<，所以>2，故的取值范圍為(2，)答案：60°(2，)3已知a，b，c為空間中的三個(gè)向量，又a，b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，向量c滿足|c|3，c·a2，c·b1，則對于任意實(shí)數(shù)x，y，|cxayb|的最小值為_解析：由題意可知|a|b|1，a·b0，又|c|3，c·a2，c·b1，所以|cxayb|2|c|2x2|a|2y2|b|22xc·a2yc·b2xya·b9x2y24x2y(x2)2(y1)24，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y1時(shí)，(|cxayb|2)min4，所以|cxayb|的最小值為2.答案：2組建“方程形式”解決問題 典型例題 (一題多解)已知sin()，sin ()，求的值【解】法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得所以sin cos ，cos sin .從而.法二：令x.因?yàn)椋?所以得到方程，解這個(gè)方程得x.運(yùn)用方程的思想，把已知條件通過變形看作關(guān)于sin cos 與cos sin 的方程來求解，從而獲得欲求的三角表達(dá)式的值 對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)非零向量a，b，c滿足abc0，|a|2，b，c120°，則|b|的最大值為_解析：因?yàn)閍bc0，所以a(bc)，所以|a|2|b|22|b|c|cos 120°|c|2，即|c|2|b|c|b|240，所以|b|24(|b|24)0，解得0<|b|，即|b|的最大值為.答案：2(2018·高考全國卷)已知點(diǎn)M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_解析：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24，由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.答案：2二數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段、數(shù)作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的的解決問題的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合巧用數(shù)形結(jié)合思想解決問題 典型例題 已知函數(shù)g(x)ax22x，f(x)且函數(shù)yf(x)x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】f(x)yf(x)x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于yf(x)與yx有三個(gè)不同的交點(diǎn)，試想將曲線f(x)上下平移使之與yx有三個(gè)交點(diǎn)是何等的復(fù)雜，故可變形再結(jié)合圖象求解由f(x)x可得f(x)xa所以yf(x)x有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a有三個(gè)根令h(x)畫出yh(x)的圖象如圖所示，將水平直線ya從上向下平移，當(dāng)a0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，再向下平移，有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，再向下就只有兩個(gè)交點(diǎn)了，因此a1，0)【答案】1，0)利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性、否則會得到錯(cuò)解(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合 對點(diǎn)訓(xùn)練1若存在實(shí)數(shù)a，對任意的x0，m，都有(sin xa)(cos xa)0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()A.B.C. D.解析：選C.在同一坐標(biāo)系中，作出ysin x和ycos x的圖象，當(dāng)m時(shí)，要使不等式恒成立，只有a，當(dāng)m>時(shí)，在x0，m上，必須要求ysin x和ycos x的圖象不在ya的同一側(cè)，所以m的最大值是.2已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是_解析：因?yàn)?ac)·(bc)0，所以(ac)(bc)如圖所示設(shè)c，a，b，ac，bc，即，又所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，且最大值為.答案：一、選擇題1已知向量a(，1)，b(2，1)，若|ab|ab|，則實(shí)數(shù)的值為()A1B2C1 D2解析：選A.法一：由|ab|ab|，可得a2b22a·ba2b22a·b，所以a·b0，故a·b(，1)·(2，1)2210，解得1.法二：ab(22，2)，ab(2，0)由|ab|ab|，可得(22)244，解得1.2(2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S40，a55，則()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：選A.法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)樗越獾盟詀na1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故選A.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)樗越獾眠x項(xiàng)A，a12×153；選項(xiàng)B，a13×1107，排除B；選項(xiàng)C，S1286，排除C；選項(xiàng)D，S12，排除D.故選A.3已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(1，) B(1，3)C(，1) D(2，4)解析：選A.畫出f(x)圖象，如圖所示，則由方程有且僅有一個(gè)實(shí)根可得f(x)的圖象與直線yxa的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，首先讓直線過(0，1)(這是我們所說的初始位置，因?yàn)楫?dāng)直線向下平移時(shí)你會發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn))，由圖可知，只有向上平移才能滿足f(x)圖象與直線yxa只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是(1，)4(2018·高考全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D. 解析：選C.不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.5已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正棱柱的體積取最大值時(shí)，其高的值為()A3 B.C2 D2解析：選D.設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則可得a29，即a29，那么正六棱柱的體積V×hh，令y9h，則y9，令y0，解得h2，易知當(dāng)h2時(shí)，y取最大值，即正六棱柱的體積最大6設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x)，對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)f(x)2x2，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)1<2x，若f(a1)f(a)2a1，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A B1C D2解析：選A.設(shè)g(x)f(x)x2，則g(x)g(x)0，所以g(x)為R上的奇函數(shù)當(dāng)x<0時(shí)，g(x)f(x)2x<1<0，所以g(x)在(，0)上單調(diào)遞減，所以g(x)在R上單調(diào)遞減因?yàn)閒(a1)f(a)2a1，所以f(a1)(a1)2f(a)(a)2，即g(a1)g(a)，所以a1a，解得a，所以實(shí)數(shù)a的最小值為.二、填空題7已知等差數(shù)列an滿足3a47a7，a1>0，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sn取得最大值時(shí)n_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)?a47a7，所以3(a13d)7(a16d)，所以4a133d.因?yàn)閍1>0，所以d<0，Snna1dnd，所以n9時(shí)，Sn取得最大值答案：98如圖，設(shè)直線m，n相交于點(diǎn)O，且夾角為30°，點(diǎn)P是直線m上的動點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線n上的定點(diǎn)若|2，則·的最小值是_解析：以O(shè)B所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則A(2，0)，B(4，0)，設(shè)P，則，所以·(2a)(4a)a2a26a8，所以·的最小值為.答案：9若不等式k(x2)的解集為區(qū)間a，b，且ba2，則k_解析：如圖，分別作出直線yk(x2)與半圓y.由題意，知直線在半圓的上方，由ba2，可知b3，a1，所以直線yk(x2)過點(diǎn)(1，2)，則k.答案：三、解答題10已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a481，且a2，a3的等差中項(xiàng)為(a1a2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog3a2n1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列cn滿足cn，Tn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意，得解得所以ana1qn13n，(2)由(1)得bnlog332n12n1，又bn1bn2，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)b11、公差為2的等差數(shù)列，所以其前n項(xiàng)和Snn2.所以cn，所以Tn.11已知函數(shù)f(x)ex2x2a，xR，aR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時(shí)，ex>x22ax1.解：(1)由f(x)ex2x2a，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.令x<ln 2時(shí)，f(x)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(，ln 2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln 2時(shí)，f(x)>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2，)上單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1(x0)，則g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又a>ln 21，則g(x)min>0.于是對xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增于是對x>0，都有g(shù)(x)>g(0)0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.12已知橢圓C的離心率為，過上頂點(diǎn)(0，1)和左焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，直線l過點(diǎn)E(1，0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)AOB的面積是否有最大值？若有，求出此最大值；若沒有，請說明理由解：(1)因?yàn)閑，b1，所以a2，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)因?yàn)橹本€l過點(diǎn)E(1，0)，所以可設(shè)直線l的方程為xmy1或y0(舍去)聯(lián)立消去x并整理，得(m24)y22my30，(2m)212(m24)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，則y1y2，y1y2，所以|y2y1|，所以SAOB|OE|y2y1|.設(shè)t，則g(t)t，t，所以g(t)1>0，所以g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以g(t)，所以SAOB，當(dāng)且僅當(dāng)m0時(shí)等號成立所以AOB的面積存在最大值，最大值為.- 12 -