2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)及解三角形 課后綜合提升練 1.1.2 三角恒等變換與解三角形 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)及解三角形 課后綜合提升練 1.1.2 三角恒等變換與解三角形 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若cos =-,是第三象限的角,則=()A.3B. -C.D.【解析】選B.因?yàn)閏os =-,是第三象限的角,所以sin =-,則=-.2.設(shè)a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=,則()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b 【解析】選C.因?yàn)閍=sin=sin 72°,b=cos 10°=sin 80°,c=tan 60°=,函數(shù)y=sin x在區(qū)間上是增函數(shù),所以c=<a<b.3.已知A是ABC的內(nèi)角且sin A+2cos A=-1,則tan A=()A.-B.-C.D.【解析】選A.因?yàn)閟in A+2cos A=-1,所以代入sin2A+cos2A=1中,整理得5cos2A+4cos A=0,所以cos A=0或cos A=-,當(dāng)cos A=0時(shí),sin A=-1,矛盾,所以cos A=-,sin A=,所以tan A=-.4.在ABC中,已知tan A=,tan B=,且ABC最大邊的長(zhǎng)為,則ABC的最小邊為()A.1B.C.D.3【解析】選C.設(shè)ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.在ABC中, tan(A+B)=1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=,因?yàn)閠an B>tan A,則角A所對(duì)的邊最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A·=×=.5.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面積S=c,則ab的最小值為()A.B.C.D.3【解析】選B.由題意得2sin Ccos B=2sin A+sin B2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin Bcos C=-,所以S=absin C=ab=cc=3ab.因?yàn)閏os C=,所以-=,解得ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立,即ab的最小值為.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知tan =4,則=_. 【解析】=.答案:7.若tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的兩個(gè)根,且,則+=_. 【解析】因?yàn)閠an ,tan 是方程x2+5x+6=0的兩個(gè)根,所以tan +tan =-5,tan ·tan =6,所以tan <0,tan <0,所以tan(+)= =1,又因?yàn)?所以+=-.答案:-8.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為ABC的面積,若c=2acos B, S=a2-c2,則C的大小為_(kāi). 【解析】因?yàn)閏=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所以tan A=tan B,所以A=B,又因?yàn)镾=a2-c2,所以sin C=-,由正弦定理得sin C=1-,因?yàn)锳=B,所以sin A=cos,所以sin C=cos C,所以C=.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判斷ABC的形狀并求ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閎2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsin A,由余弦定理得,cos A=sin A,所以tan A=,因?yàn)锳(0,),所以A=.(2)因?yàn)?sin Bsin C=cos A,A+B+C=,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.()當(dāng)B-C=時(shí),由第(1)問(wèn)知A=,所以B=,C=,所以ABC是等腰三角形, S=acsin B=;()當(dāng)C-B=時(shí),由第(1)問(wèn)知A=,所以C=,B=,又因?yàn)锽>A,矛盾,舍去.綜上,ABC是等腰三角形,其面積為.10.已知在ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長(zhǎng).【解析】(1)SABD=AB·ADsinBAD,SADC=AC·ADsinCAD,因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC,在ABC中,由正弦定理得:=,所以=.(2)設(shè)ADB=,則ADC=-.由(1)知=,所以c=2b,因?yàn)镃D=,所以BD=,在ACD中,由余弦定理得,b2=1+-2×1×cos(-),即b2=+cos ,在ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cos ,即c2=3-2×cos ,由得b=1,故AC=1.11.在銳角ABC中,2sincos+2cos Bsin C=.(1)求角A.(2)若BC=,AC=2,求ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)?sincos+2cos Bsin C=,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=,則sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=,由ABC為銳角三角形得A=.(2)在ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2×2c×,化簡(jiǎn)得c2-2c-3=0,解得c=3(負(fù)根舍去),所以SABC=bcsin A=.【提分備選】1.如圖所示,某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,AOB=90°.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖OMN,其中M,N都在邊AB上,且MON=30°,挖出的泥土堆放在OAM地帶上形成假山,剩下的OBN地帶開(kāi)設(shè)兒童游樂(lè)場(chǎng). 為安全起見(jiàn),需在OAN的周?chē)惭b防護(hù)網(wǎng).(1)當(dāng)AM=km時(shí),求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面積是堆假山用地OAM的面積的倍,試確定AOM的大小.(3)為節(jié)省投入資金,人工湖OMN的面積要盡可能小,問(wèn)如何設(shè)計(jì)施工方案,可使OMN的面積最小?最小面積是多少?【解析】(1)因?yàn)樵贠AB中,OA=3,OB=3,AOB=90°,所以O(shè)AB=60°,在AOM中,OA=3,AM=,OAM=60°,由余弦定理,得OM=,所以O(shè)M2+AM2=OA2,即OMAN,所以AOM=30°,所以O(shè)AN為正三角形,所以O(shè)AN的周長(zhǎng)為9,即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為9 km.(2)設(shè)AOM=(0°<<60°),因?yàn)镾OMN=SOAM,所以O(shè)N·OMsin 30°=×OA·OMsin ,即ON=6sin ,在OAN中,由=,得ON=,從而6sin =,所以sin 2=,所以=15°,即AOM=15°.(3)設(shè)AOM=(0°<<60°),由(2)知ON=,又在AOM中,由=,得OM=,所以SOMN=OM·ON·sin 30°=,所以當(dāng)且僅當(dāng)2+60°=90°,即=15°時(shí),OMN的面積取最小值為 km2.2.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B的大小.(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點(diǎn)D,使得AD=2CD=4.當(dāng)角D為何值時(shí),四邊形ABCD的面積最大?【解析】(1)因?yàn)?2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因?yàn)閟in A0,所以cos B=,所以B=.(2)因?yàn)锳B=AC,B=,所以ABC為等邊三角形,若四邊形ABCD面積最大,則ADC的面積最大,設(shè)AC=x,在ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos D=4+16-2×2×4cos D,所以cos D=,所以sin D=,當(dāng)x2=20,即x=2時(shí),-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大為1,因?yàn)镾ADC=CD·AD·sin D=4sin D,所以當(dāng)D=時(shí),SADC最大,所以當(dāng)D=時(shí),四邊形ABCD的面積最大.3.已知ABC為銳角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)與向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共線向量.(1)求角A.(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos的最大值.【解析】(1)因?yàn)閜,q共線,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),則sin2A=.又A為銳角,所以sin A=,則A=.(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B +cos 2B+sin 2B=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.因?yàn)锽,所以2B-,所以當(dāng)2B-=即B=時(shí),函數(shù)y取得最大值,ymax=2.(20分鐘20分)1.(10分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tan=2.(1)求的值.(2)若B=,a=3,求ABC的面積.【解析】(1)由tan=2,得tan A=.所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=,設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.2.(10分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且+=.(1)證明:sin AsinB=sin C.(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.【解析】(1)由正弦定理=,可知原式可以化解為+=1,因?yàn)锳和B為三角形內(nèi)角,所以sin Asin B0,則兩邊同時(shí)乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(-C)=sin C,原式得證.(2)由題b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理可知,cos A=.因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,A(0,),sin A>0,則sin A=,即=,由(1)可知+=1,所以=,所以tan B=4.