2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋物線y=x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為()A.B.C.1D.【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y=x2的焦點(diǎn)為(0,1),雙曲線y2-=1的漸近線的方程為y=±x,即±x-y=0,所以拋物線y=x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為d=.2.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m等于()A.2B.2或C.2或6D.2或8【解析】選D.焦點(diǎn)在x軸時(shí),a2=,b2=,根據(jù)e=,即=m=2,焦點(diǎn)在y軸時(shí),a2=,b2=,即=m=8,所以m等于2或8.3.設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),B為虛軸的上端點(diǎn),若直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,則C的離心率為()A.B.C.-1D.【解析】選B.因?yàn)橹本€FB的斜率為-,雙曲線C的一條漸近線的斜率為,又因?yàn)橹本€FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,所以·=-1,所以c2-a2=b2=ac,兩邊都除以a2,得e2-e-1=0,因?yàn)閑>1,所以e=.4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選D.由已知可得c=2,雙曲線漸近線方程為y=±x,即ay±bx=0,a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圓心為(2,0),半徑r=,若雙曲線漸近線與圓方程相切,則d=,所以b=,所以b2=6,c2=8,a2=2,所以雙曲線方程為-=1.5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P是拋物線C上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作l的垂線,垂足為A,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)設(shè)為B,若BAF=30°,且APF的面積為12,則以PF為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-2)2+(y+3)2=12或(x-2)2+(y-3)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12或(x-3)2+(y-2)2=12C.(x-2)2+(y+3)2=8或(x-2)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y+2)2=8或(x-3)2+(y-2)2=8【解析】選A.作出輔助圖形如圖所示,因?yàn)锽AF=30°,故AFB=60°=PAF,由拋物線的定義可知|PA|=|PF|,故APF為等邊三角形,因?yàn)锳PF的面積為12,故|PF|=|PA|=|AF|=4,而|BF|=|AF|=2=p,故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為|PA|-=3,代入y2=4x中,解得y=±6,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y±3)2=12.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知點(diǎn)F是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),若橢圓C上存在兩點(diǎn)P,Q滿足=2,則橢圓C的離心率的取值范圍是_. 【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直線PF:y=k(x+c).因?yàn)镻,Q滿足=2,所以y1=-2y2.由得(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2=,y1y2=,由得y1=,y2=,代入得b2+a2k2=8c28c2b2=a2-c29c2a2,所以橢圓C的離心率的取值范圍是.答案:7.設(shè)F1,F2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為_. 【解析】由題意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由橢圓的定義知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,聯(lián)立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,所以=|AB|AF2|sin 60°=4,所以a=3,|F1F2|=|AB|=2,所以c=,所以b2=a2-c2=6,所以橢圓C的方程為+=1.答案:+=18.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8,則線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為_. 【解析】分別過(guò)點(diǎn)M,N作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,由拋物線的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8.線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為梯形MNQP的中位線的長(zhǎng)度,即×(|MP|+|NQ|)=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,|AB|=,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓交于另外一點(diǎn)C,求ABC面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)由題意得解得所以,橢圓方程為+y2=1.(2)kAB=-,設(shè)與AB平行的橢圓的切線方程為y=-x+m,聯(lián)立方程組得消去y得x2-2mx+2m2-2=0,=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=±.因?yàn)閗>0,所以m=-.代入到中得x=-,代入到y(tǒng)=-x-得y=-,所以當(dāng)取C的坐標(biāo)是時(shí),ABC的面積最大.此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離為d=,SABC=××=+1.此時(shí),直線l的方程是y=x-+1.10.已知點(diǎn)M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為.(1)求m的值.(2)若直線y=kx+2與x軸交于點(diǎn)N,與拋物線C交于A,B,且=2,求k的值.【解析】(1)由已知:1+=,所以p=3.所以拋物線方程:y2=6x,把M(1,m)代入,得:m=±.(2)由已知k0,N,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立消去x,得:ky2-6y+12=0,由=36-48k>0,得k<且k0,且y1+y2=,y1·y2=,因?yàn)?2,所以=.即y1=2y2由聯(lián)立可得:k=,滿足k<且k0,所以,k=.11.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率.(2)若直線l:x=ty-1交橢圓C于P(x1,y1),Q(x2,y2).求證:y1y2=-;若APQ的面積為,求t的值.【解析】(1)由題意得:a=2,又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),所以+=1,所以b=1.因?yàn)閏2=a2-b2,所以c=,所以離心率e=,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)由題意,聯(lián)立整理得:(t2+4)y-2ty-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,所以y1y2=-成立.由題意得,直線l:x=ty-1恒過(guò)(-1,0).設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M,則M(-1,0),所以|AM|=1.因?yàn)閨y1-y2|=,所以SAPQ=|AM|·|y1-y2|=,所以4t4+7t2-11=0,所以t2=1,或t2=-(舍),所以t=±1.(20分鐘20分)1.(10分)雙曲線x2-=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過(guò)F2且與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)(1)若l的傾斜角為,F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程.(2)設(shè)b=,若l的斜率存在,且(+)·=0,求l的斜率.【解析】(1)方法一:設(shè)A(xA,yA).由題意,F2(c,0),c=,=b2(c2-1)=b4,因?yàn)镕1AB是等邊三角形,所以2c=|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故雙曲線的漸近線方程為y=±x.方法二:由題可知A(c,b2),因?yàn)镕1AB是等邊三角形,所以tan 30°=.即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故雙曲線的漸近線方程為y=±x.(2)由已知,b=,所以c2=1+b2=4,所以F1(-2,0),F2(2,0).由題意可得,直線l的方程為y=k(x-2),顯然k0.由得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因?yàn)閘與雙曲線交于兩點(diǎn),所以k2-30,且=36(1+k2)>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.方法一:設(shè)AB的中點(diǎn)為M(xM,yM).由(+)·=0,即·=0,知F1MAB,故·k=-1.而xM=,yM=k(xM-2)=,=,所以·k=-1,得k2=,顯然符合題意,故l的斜率為±.方法二:因?yàn)?(x1+2,y1),=(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1)由(+)·=0得(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,即20k2=12 所以k2=,顯然符合題意,故l的斜率為±.2.(10分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2.(1)求橢圓C的方程.(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k,證明為定值.求直線AB的斜率的最小值.【解題指南】(1)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,可得a=2,c=,方程易得.(2)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),易得點(diǎn)Q坐標(biāo),表示出直線PM,QM的斜率分別為k與k,它們之比易得;借助上述關(guān)系可以方便計(jì)算直線AB的斜率,此外理清直線截距與斜率k之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的又一關(guān)鍵.【解析】(1)由題意a=2,c=,所以b2=2,所以橢圓方程為+=1.(2)由題意,設(shè)P,則Q(p,-2m),直線PA的斜率 k=,其中0<m2<,所以k>0.將直線y=Kx+m與橢圓方程聯(lián)立,可得,x2+4Kmx+2m2-4=0.設(shè)A,B,直線PA:y=kx+m,直線QB:y=-3kx+m,分別令K=k,K=-3k可得:x1p=,x2p=,所以,kAB=(當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào)).所以,直線AB的斜率的最小值為.