（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版

第3講導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用做真題題型一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1(2018·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為()Ay2xByxCy2x Dyx解析：選D法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因?yàn)閤R，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為yx.故選D法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為yx.故選D2(2019·高考全國(guó)卷)已知曲線yaexxln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y2xb，則()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析：選D因?yàn)閥aexln x1，所以y|x1ae1，所以曲線在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以解得3(2018·高考全國(guó)卷)曲線y2ln(x1)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)解析：因?yàn)閥2ln(x1)，所以y.當(dāng)x0時(shí)，y2，所以曲線y2ln(x1)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y02(x0)，即y2x.答案：y2x4(2016·高考全國(guó)卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_解析：設(shè)ykxb與yln x2和yln(x1)的切點(diǎn)分別為(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)則切線分別為yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化簡(jiǎn)得yxln x11，yxln(x21)，依題意，解得x1，從而bln x111ln 2.答案：1ln 2題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值1(2017·高考全國(guó)卷)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A1 B2e3C5e3 D1解析：選A因?yàn)閒(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因?yàn)閤2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)>0，解得x<2或x>1，令f(x)<0，解得2<x<1，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極小值，且f(x)極小值f(1)1，選擇A2(一題多解)(2018·高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_解析：法一：因?yàn)閒(x)2sin xsin 2x，所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x24(cos x1)，由f(x)0得cos x1，即2kx2k，kZ，由f(x)0得1cos x，即2kx2k或2kx2k，kZ，所以當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值，且f(x)minf2sinsin 2.法二：因?yàn)閒(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)4sin cos ·2cos28sin cos3 ，所以f(x)2×3sin2cos6 ·，當(dāng)且僅當(dāng)3sin2cos2，即sin2時(shí)取等號(hào)，所以0f(x)2，所以f(x)，所以f(x)的最小值為.答案：明考情1此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較小2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題有時(shí)也常在解答題的第一問(wèn)中考查，難度一般導(dǎo)數(shù)的幾何意義典型例題 (1)(2019·高考全國(guó)卷)曲線y2sin xcos x在點(diǎn)(，1)處的切線方程為()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10(2)曲線f(x)x3x3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y2x1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(3)(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)若過(guò)點(diǎn)A(a，0)作曲線C：yxex的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】(1)依題意得y2cos xsin x，y|x(2cos xsin x)|x2cos sin 2，因此所求的切線方程為y12(x)，即2xy210，故選C(2)f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，所以P(1，3)或(1，3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1，3)，(1，3)均不在直線y2x1上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0ex0)，y(x1)ex，y|xx0(x01)ex0，所以切線方程為yx0ex0(x01)ex0(xx0)，將點(diǎn)A(a，0)代入可得x0ex0(x01)ex0(ax0)，化簡(jiǎn)，得xax0a0，過(guò)點(diǎn)A(a，0)作曲線C的切線有且僅有兩條，即方程xax0a0有兩個(gè)解，則有a24a>0，解得a>0或a<4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，4)(0，)【答案】(1)C(2)(1，3)或(1，3)(3)(，4)(0，)(1)求曲線yf(x)的切線方程的3種類型及方法類型方法已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求切線方程求出切線的斜率f(x0)，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程已知切線的斜率k，求切線方程設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過(guò)方程kf(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求切線方程設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程(2)由曲線的切線求參數(shù)值或范圍的2種類型及解題關(guān)鍵類型解題關(guān)鍵已知曲線在某點(diǎn)處的切線求參數(shù)關(guān)鍵是用“方程思想”來(lái)破解，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程求出參數(shù)的值已知曲線的切線方程，求含有雙參數(shù)的代數(shù)式的取值范圍關(guān)鍵是過(guò)好“雙關(guān)”；一是轉(zhuǎn)化關(guān)，即把所求的含雙參數(shù)的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的代數(shù)式，此時(shí)需利用已知切線方程，尋找雙參數(shù)的關(guān)系式；二是求最值關(guān)，常利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等方法求最值，從而得所求代數(shù)式的取值范圍對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·武漢調(diào)研)設(shè)曲線C：y3x42x39x24，在曲線C上一點(diǎn)M(1，4)處的切線記為l，則切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選Cy12x36x218x，所以切線l的斜率ky，所以切線l的方程為12xy80.聯(lián)立方程得消去y，得3x42x39x212x40，所以(x2)(3x2)(x1)20，所以x12，x2，x31，所以切線l與曲線C有3個(gè)公共點(diǎn)故選C2(2019·成都第二次診斷性檢測(cè))已知直線l既是曲線C1：yex的切線，又是曲線C2：ye2x2的切線，則直線l在x軸上的截距為()A2 B1Ce2 De2解析：選B設(shè)直線l與曲線C1：yex的切點(diǎn)為A(x1，ex1)，與曲線C2：ye2x2的切點(diǎn)為B.由yex，得yex，所以曲線C1在點(diǎn)A處的切線方程為yex1ex1(xx1)，即yex1xex1(x11).由ye2x2，得ye2x，所以曲線C2在點(diǎn)B處的切線方程為ye2xe2x2(xx2)，即ye2x2xe2x.因?yàn)楸硎镜那芯€為同一直線，所以解得所以直線l的方程為ye2xe2，令y0，可得直線l在x上的截距為1，故選B3(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)若函數(shù)f(x)ax的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2，4)，則a_解析：f(x)a，f(1)a3，f(1)a3，故f(x)的圖象在點(diǎn)(1，a3)處的切線方程為y(a3)(a3)(x1)，又切線過(guò)點(diǎn)(2，4)，所以4(a3)a3，解得a2.答案：2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性典型例題命題角度一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性 已知函數(shù)f(x)ln(x1)，且1<a<2，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性【解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，)，f(x)，x>1.當(dāng)1<2a3<0，即1<a<時(shí)，當(dāng)1<x<2a3或x>0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2a3<x<0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減當(dāng)2a30，即a時(shí)，f(x)0，則f(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)2a3>0，即<a<2時(shí)，當(dāng)1<x<0或x>2a3時(shí)，f(x)>0，則f(x)在(1，0)，(2a3，)上單調(diào)遞增當(dāng)0<x<2a3時(shí)，f(x)<0，則f(x)在(0，2a3)上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)1<a<時(shí)，f(x)在(1，2a3)，(0，)上單調(diào)遞增，在(2a3，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<a<2時(shí)，f(x)在(1，0)，(2a3，)上單調(diào)遞增，在(0，2a3)上單調(diào)遞減利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的三種方法(1)當(dāng)不等式f(x)0或f(x)0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解不等式f(x)0或f(x)0求出單調(diào)區(qū)間(2)當(dāng)方程f(x)0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程f(x)0，求出實(shí)數(shù)根，把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起來(lái)，把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間(3)不等式f(x)0或f(x)0及方程f(x)0均不可解時(shí)求導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，根據(jù)f(x)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)的基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定f(x)的符號(hào)，得單調(diào)區(qū)間 命題角度二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx2x，其定義域?yàn)?0，)，所以f(x)2x1，令f(x)0，則x1(負(fù)值舍去)當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(2)法一：f(x)2a2xa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)，不合題意；當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)<0，得x>.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a1；當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)<0，得x>.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)法二：f(x)2a2xa.由f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)，可得g(x)2a2x2ax10在區(qū)間(1，)上恒成立當(dāng)a0時(shí)，10不合題意；當(dāng)a0時(shí)，可得即所以所以a1或a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上有解 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)(xa)ex在區(qū)間(0，)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：f(x)ex(xa1)，由題意，知方程ex(xa1)0在(0，)上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即xa1>0，解得a<1.答案：(，1)2已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，討論f(x)的單調(diào)性解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增若a>0，則由f(x)0，得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增若a<0，則由f(x)0，得xln.當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)問(wèn)題典型例題命題角度一求已知函數(shù)的極值(最值) 已知函數(shù)f(x)1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間m，2m上的最大值【解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)，由得0<x<e；由得x>e.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)(2)當(dāng)即0<m時(shí)，(m，2m)(0，e)，函數(shù)f(x)在區(qū)間m，2m上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(2m)1；當(dāng)m<e<2m，即<m<e時(shí)，(m，e)(0，e)，(e，2m)(e，)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m，e)上單調(diào)遞增，在(e，2m)上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(e)11；當(dāng)me時(shí)，(m，2m)(e，)，函數(shù)f(x)在區(qū)間m，2m上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(m)1.綜上所述，當(dāng)0<m時(shí)，f(x)max1；當(dāng)<m<e時(shí)，f(x)max1；當(dāng)me時(shí)，f(x)max1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來(lái)求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時(shí)，在求得極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 命題角度二已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù) (2019·高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2x3ax2b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間0，1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由【解】(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a>0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a0，f(x)在(，)單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在，(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在(i)當(dāng)a0時(shí)，由(1)知，f(x)在0，1單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1的最小值為f(0)b，最大值為f(1)2ab.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b1，2ab1，即a0，b1.(ii)當(dāng)a3時(shí)，由(1)知，f(x)在0，1單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0，1的最大值為f(0)b，最小值為f(1)2ab.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab1，b1，即a4，b1.(iii)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知，f(x)在0，1的最小值為fb，最大值為b或2ab.若b1，b1，則a3，與0<a<3矛盾若b1，2ab1，則a3或a3或a0，與0<a<3矛盾綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a0，b1或a4，b1時(shí)，f(x)在0，1的最小值為1，最大值為1.已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的方法列式根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，再利用待定系數(shù)法求解驗(yàn)證因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019·長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)(一)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x(其中常數(shù)a0)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，且在(0，e上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx23x，x>0，f(x)2x3，令f(x)0，解得x1，x21，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)<x<1時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)f(x)，令f(x)0，得x11，x2，因?yàn)閒(x)在x1處取得極值，所以x2x11，當(dāng)<0時(shí)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，e上的最大值為f(1)，令f(1)1，解得a2.當(dāng)0<<1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1，e上單調(diào)遞增，所以最大值1可能在x或xe處取得，而fln a(2a1)×ln 1<0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a.當(dāng)1<<e時(shí)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最大值1可能在x1或xe處取得，而f(1)ln 1a(2a1)<0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，與1<<e矛盾當(dāng)e時(shí)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以最大值1在x1處取得，而f(1)ln 1a(2a1)<0，不符合題意綜上所述，a或a2.一、選擇題1已知直線2xy10與曲線yaexx相切(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a的值是()AB1C2 De解析：選B由題意知yaex12，則a>0，xln a，代入曲線方程得y1ln a，所以切線方程為y(1ln a)2(xln a)，即y2xln a12x1a1.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處的極值為10，則數(shù)對(duì)(a，b)為()A(3，3) B(11，4)C(4，11) D(3，3)或(4，11)解析：選Cf(x)3x22axb，依題意可得即消去b可得a2a120，解得a3或a4，故或當(dāng)時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，這時(shí)f(x)無(wú)極值，不合題意，舍去，故選C3(2019·南昌市第一次模擬測(cè)試)已知f(x)在R上連續(xù)可導(dǎo)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)exexf(1)x·(exex)，則f(2)f(2)f(0)f(1)()A4e24e2 B4e24e2C0 D4e2解析：選C由題意，得f(x)exexf(1) exexx(exex)，所以f(0)e0e0f(1)e0e00·(e0e0)0，f(2)f(2)0，所以f(2)f(2)f(0)f(1)0，故選C4已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，2 BC2，) D5，)解析：選C由題意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a2，故選C5函數(shù)f(x)(x>0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若xf(x)f(x)ex，且f(1)e，則()Af(x)的最小值為e Bf(x)的最大值為eCf(x)的最小值為 Df(x)的最大值為解析：選A設(shè)g(x)xf(x)ex，所以g(x)f(x)xf(x)ex0，所以g(x)xf(x)ex為常數(shù)函數(shù)因?yàn)間(1)1×f(1)e0，所以g(x)xf(x)exg(1)0，所以f(x)，f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，所以f(x)f(1)e.6若函數(shù)f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A(e2，e) BC D(，e1)解析：選D由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ex(m1)0在(0，)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以m1在(0，)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令g(x)，則g(x)，所以函數(shù)g(x)在，上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，其圖象如圖所示，要使m1在(0，)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m1<g(1)，即m1<e，m<e1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，e1)故選D二、填空題7(2019·高考全國(guó)卷)曲線y3(x2x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)解析：因?yàn)閥3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線的斜率ky|x03，所以所求的切線方程為y3x.答案：y3x8函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)x2ln x(x>0)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)>0，則x>；令f(x)<0，則0<x<.所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值(也是最小值)為ln .答案：9若函數(shù)f(x)x24exax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)x24exax，所以f(x)2x4exa.由題意，f(x)2x4exa>0，即a<2x4ex有解，即a<(2x4ex)max即可令g(x)2x4ex，則g(x)24ex.令g(x)0，解得xln 2.當(dāng)x(，ln 2)時(shí)，函數(shù)g(x)2x4ex單調(diào)遞增；當(dāng)x(ln 2，)時(shí)，函數(shù)g(x)2x4ex單調(diào)遞減所以當(dāng)xln 2時(shí)，g(x)2x4ex取得最大值22ln 2，所以a<22ln 2.答案：(，22ln 2)三、解答題10已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程；(2)討論f(x)的單調(diào)性解：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ln xx, f(e)e1，f(x)1，f(e)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為y(e1)(xe)，即yx.(2)f(x)2ax1，x>0，當(dāng)a0時(shí)，顯然f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，則2ax2x10，易知其判別式為正，設(shè)方程的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則x1x2<0，所以x1<0<x2，所以f(x)，x>0.令f(x)>0，得x(0，x2)，令f(x)<0得x(x2，)，其中x2.所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減11已知常數(shù)a0，f(x)aln x2x.(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于a時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2.當(dāng)a4時(shí)，f(x).所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增所以f(x)只有極小值，且在x2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)44ln 2.所以當(dāng)a4時(shí)，f(x)只有極小值44ln 2.(2)因?yàn)閒(x)，所以當(dāng)a>0，x(0，)時(shí)，f(x)>0，即f(x)在x(0，)上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)>0得，x>，所以f(x)在上單調(diào)遞增；由f(x)<0得，x<，所以f(x)在上單調(diào)遞減所以當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的最小值為極小值，即falna.根據(jù)題意得falnaa，即aln(a)ln 20.因?yàn)閍<0，所以ln(a)ln 20，解得a2，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，0)12(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)已知函數(shù)f(x)xexa(ln xx)(1)若ae，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<0時(shí)，記f(x)的最小值為m，求證：m1.解：(1)當(dāng)ae時(shí)，f(x)xexe(ln xx)，f(x)的定義域是(0，)f(x)(x1)exe(xexe)當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(2)證明：f(x)的定義域是(0，)，f(x)(xexa)，令g(x)xexa，則g(x)(x1)ex>0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增因?yàn)閍<0，所以g(0)a<0，g(a)aeaa>aa0，故存在x0(0，a)，使得g(x0)x0ex0a0.當(dāng)x(0，x0)時(shí)，g(x)<0，f(x)(xexa)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(x)>0，f(x)(xexa)>0，f(x)單調(diào)遞增故xx0時(shí)，f(x)取得最小值，即mf(x0)x0ex0a(ln x0x0)由x0ex0a0得mx0ex0a ln(x0ex0)aa ln(a)，令xa>0，h(x)xx ln x，則h(x)1(1ln x)ln x，當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)ln x>0，h(x)xxln x單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)ln x<0，h(x)xxln x單調(diào)遞減，故x1，即a1時(shí)，h(x)xx ln x取得最大值1，故m1.- 17 -