高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類(lèi)題庫(kù) 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解13高考題）

高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類(lèi)題庫(kù) 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解，13高考題） 1.（xx·北京高考理科·20）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，的最小值記為Bn，dn=AnBn(1)若an為2，1，4，3，2，1，4，3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意nN*，)，寫(xiě)出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，則an的項(xiàng)只能是1或2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1【解題指南】(1)根據(jù)dn的定義求.(2)充分性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.(3)可通過(guò)取特殊值和反證法進(jìn)行證明.【解析】（1），。（2） 充分性：若為公差為的等差數(shù)列，則.因?yàn)槭欠秦?fù)整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.，(n=1,2,3,).必要性：若，假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，則，這與矛盾.所以是不減數(shù)列.，即，是公差為的等差數(shù)列.（3）首先中的項(xiàng)不能是0，否則，與已知矛盾.中的項(xiàng)不能超過(guò)2，用反證法證明如下：若中有超過(guò)2的項(xiàng)，設(shè)是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，中一定存在項(xiàng)為1，否則與矛盾.當(dāng)時(shí)，否則與矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，此時(shí)，矛盾.綜上中沒(méi)有超過(guò)2的項(xiàng).綜合，中的項(xiàng)只能是1或2.下面證明1有無(wú)數(shù)個(gè)，用反證法證明如下：若為最后一個(gè)1，則，矛盾.因此1有無(wú)數(shù)個(gè). 2.（xx·北京高考文科·20）給定數(shù)列a1，a2，an。對(duì)i=1，2，n-l，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n-i項(xiàng)ai+1，ai+2，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi.（1）設(shè)數(shù)列an為3，4，7，1，寫(xiě)出d1，d2，d3的值.（2）設(shè)a1，a2，an（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10.證明：d1，d2，dn-1是等比數(shù)列。（3）設(shè)d1，d2，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an-1是等差數(shù)列?！窘忸}指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通項(xiàng),再利用等比數(shù)列的定義證明dn是等比數(shù)列.(3)先證明an是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列an的最小項(xiàng),最后證明an是等差數(shù)列.【解析】（1），。（2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a10，可得的通項(xiàng)為且為單調(diào)遞增數(shù)列。于是當(dāng)時(shí)，為定值。因此d1，d2，dn-1構(gòu)成首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。（3）若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0<d1<d2<<dn-1,先證明a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列,否則,設(shè)ak是第一個(gè)使得akak-1成立的項(xiàng),則Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列.再證明an為數(shù)列an中的最小項(xiàng),否則設(shè)ak<an(k=1,2,n-1),顯然k1,否則d1=A1-B1=a1-B1a1-a1=0,與di>0矛盾.因而k2,此時(shí)考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.因此,an為數(shù)列an中的最小項(xiàng).綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,從而a1,a2,an-1是等差數(shù)列.