2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.【重點難點】 1.教學(xué)重點:掌握確定圓的幾何要素及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;2.教學(xué)難點:學(xué)會對知識進行整理達到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力;【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二:考綱傳真:1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.真題再現(xiàn);1.(xx·全國,14)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析由題意知圓過(4,0),(0,2),(0,2)三點,(4,0),(0,2)兩點的垂直平分線方程為y12(x2),令y0,解得x,圓心為,半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.答案y22.(xx·全國,4)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1,則a()A. B. C. D.2解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1,4),由點到直線的距離公式得d1,解之得a. 答案A3.(xx·全國,7)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圓交y軸于M、N兩點,則|MN|()A.2 B.8 C.4 D.10解析由已知,得(3,1),(3,9),則·3×(3)(1)×(9)0,所以,即ABBC,故過三點A、B、C的圓以AC為直徑,得其方程為(x1)2(y2)225,令x0得(y2)224,解得y122,y222,所以|MN|y1y2|4,選C. 答案C知識梳理:知識點圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a,b)半徑為r一般x2y2DxEyF0充要條件:D2E24F>0圓心坐標(biāo):半徑r1必會結(jié)論點M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0a)2(y0b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0a)2(y0b)2<r2.2必清誤區(qū)方程x2y2DxEyF0,當(dāng)D2E24F<0時,不表示任何圖形,當(dāng)D2E24F0時,表示點,當(dāng)D2E24F>0時,表示圓,因此在求參數(shù)的值或范圍時,應(yīng)注意條件的使用考點分項突破考點一:求圓的方程1若圓C經(jīng)過(1,0),(3,0)兩點,且與y軸相切,則圓C的方程為()A(x2)2(y±2)23 B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24【解析】因為圓C經(jīng)過(1,0),(3,0)兩點,所以圓心在直線x2上,又圓C與y軸相切,所以圓的半徑r2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,b),則(12)2b24,b23,b±.故選D.【答案】D2(xx·山東高考)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】因圓C的圓心在直線x2y0上,且與y軸的正半軸相切,所以設(shè)圓心C(2b,b)(b>0),半徑r2b.又圓C截x軸所得弦的長為2,圓心C到x軸的距離為b,所以由勾股定理,解得b1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)243圓心在直線y4x上,且與直線l:xy10相切于點P(3,2)的圓的方程為_【解析】由題意設(shè)圓的方程為(xa)2(y4a)2r2(r>0),由圓與直線l:xy10相切于點P(3,2)得解得故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.【答案】(x1)2(y4)28歸納;1求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進而求出D,E,F(xiàn)的值2確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線考點二: 與圓有關(guān)的軌跡問題(1)已知點A(1,0),點B(2,0),動點C滿足|AC|AB|,則點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程為_(2)(xx·全國卷)已知點P(2,2),圓C:x2y28y0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點求M的軌跡方程;當(dāng)|OP|OM|時,求l的方程及POM的面積【解析】(1)由題意|AC|AB|3,則動點C的軌跡方程為(x1)2y29,設(shè)C(x0,y0),M(x,y),則即又(x01)2y9,所以4x2(2y4)29.即x2(y2)2.【答案】x2(y2)2(2)圓C的方程可化為x2(y4)216,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則(x,y4),(2x,2y)由題設(shè)知·0,故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.由可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓由于|OP|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上又P在圓N上,從而ONPM.因為ON的斜率為3,所以l的斜率為,故l的方程為yx.又|OM|OP|2,O到l的距離為,|PM|,所以POM的面積為.跟蹤訓(xùn)練:1.設(shè)定點M(3,4),動點N在圓x2y24上運動,以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標(biāo)原點),求點P的軌跡【解】設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則(x,y),(x0,y0),(3,4),由得;(x,y)(3,4)(x0,y0),所以所以又xy4,所以(x3)2(y4)24.所以點P的軌跡是以(3,4)為圓心,2為半徑的圓,因為O,M,P三點不共線,所以應(yīng)除去兩點和.歸納:求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法| |考點三: 與圓有關(guān)的最值問題1.已知實數(shù)x,y滿足方程x2y24x10.求:(1)的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最小值【解】(1)如圖,方程x2y24x10表示以點(2,0)為圓心,以為半徑的圓設(shè)k,即ykx,則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑時直線與圓相切,斜率取得最大、最小值由,解得k23,kmax,kmin.(2)設(shè)yxb,則yxb,僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時,截距b取最小值,由點到直線的距離公式,得,即b2±,故(yx)min2.(3)x2y2是圓上點與原點的距離的平方,故連接OC,與圓交于B點,并延長交圓于C,則(x2y2)max|OC|2(2)274,(x2y2)min|OB|2(2)274.跟蹤訓(xùn)練:1設(shè)P(x,y)是圓(x2)2y21上的任意一點,則(x5)2(y4)2的最大值為()A6 B25 C26 D36【解析】(x5)2(y4)2表示點P(x,y)到點(5,4)的距離的平方點(5,4)到圓心(2,0)的距離d5.則點P(x,y)到點(5,4)的距離最大值為6,從而(x5)2(y4)2的最大值為36,故選D.【答案】D2已知兩點A(1,0),B(0,2),點P是圓(x1)2y21上任意一點,則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2,(4) B.(4),(4)C.,4 D.(2),(2)【解析】直線AB的方程為1,即2xy20,圓心(1,0)到直線AB的距離d,則點P到直線AB的距離最大值為1,最小值為1,又|AB|,則PAB面積的最大值Smax××(4),PAB面積的最小值Smin××(4),故選B.【答案】B歸納:與圓有關(guān)的最值問題的常見解法1形如形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題2形如taxby形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題3形如(xa)2(yb)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題。學(xué)生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描,來澄清概念,加強理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題,教師及時點撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理,加強理解記憶,提高解題技能。環(huán)節(jié)三:課堂小結(jié):1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.學(xué)生回顧,總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四:課后作業(yè):學(xué)生版練與測學(xué)生通過作業(yè)進行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。