（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 教材知識(shí) 重點(diǎn)再現(xiàn) 回顧8 解析幾何學(xué)案 文 新人教A版

回顧8解析幾何必記知識(shí) 直線方程的五種形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)(x0，y0)是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)kxbk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式1a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式AxByC0(A，B不同時(shí)為零)A，B都不為零時(shí)，斜率為，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為任何位置的直線 圓的四種方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r>0)(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)(3)圓的參數(shù)方程：(為參數(shù))(4)圓的直徑式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2) 直線與圓的位置關(guān)系直線l：AxByC0和圓C：(xa)2(yb)2r2(r>0)有相交、相離、相切三種情況可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：>0相交；<0相離；0相切(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r相交；d>r相離；dr相切 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)，則其位置關(guān)系的判斷方法如下表：方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法公切線的條數(shù)圓心距d與r1，r2的關(guān)系聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1r2無(wú)解4外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解3相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解2內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解1內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無(wú)解0 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值：e(0，1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|a，yR|y|a，xR對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)幾何性質(zhì)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比值：e(1，)漸近線y±xy±xa，b，c的關(guān)系a2c2b2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0，0)焦點(diǎn)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR離心率e1必會(huì)結(jié)論 常見的直線系方程(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程：A(xx0)B(yy0)0(A2B20)，還可以表示為yy0k(xx0)(斜率不存在時(shí)可為xx0)(2)平行于直線AxByC0的直線系方程：AxBy0(C)(3)垂直于直線AxByC0的直線系方程：BxAy0.(4)過(guò)兩條已知直線A1xB1yC10，A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直線A2xB2yC20) 與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過(guò)圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.(2)過(guò)圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過(guò)圓x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程為x0xy0yr2.(4)若圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線長(zhǎng)d. 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1)若雙曲線的方程為1，則漸近線的方程為0，即y±x.(2)若漸近線的方程為y±x，即±0，則雙曲線的方程可設(shè)為.(3)若所求雙曲線與雙曲線1有公共漸近線，其方程可設(shè)為(>0，焦點(diǎn)在x軸上；<0，焦點(diǎn)在y軸上)(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是b. 拋物線焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，為直線AB的傾斜角，則(1)焦半徑|AF|x1，|BF|x2.(2)x1x2，y1y2p2.(3)弦長(zhǎng)|AB|x1x2p.(4).(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(6)SOAB(O為拋物線的頂點(diǎn))必練習(xí)題1(一題多解)(2019·高考北京卷)已知雙曲線y21(a0)的離心率是，則a()A.B. 4C. 2 D.解析：選D.通解：由雙曲線方程可知b21，所以c，所以e，解得a，故選D.優(yōu)解：由e，e21，b21，得51，得a，故選D.2(一題多解)(2019·石家莊市模擬(一)已知圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，且圓C過(guò)點(diǎn)(1，0)和(2，3)，則圓C的半徑為()A8 B2C5 D.解析：選D.通解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)和(2，3)，所以，所以ab20，又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，所以|a|b|，由得ab1，所以圓C的半徑為，故選D.優(yōu)解：設(shè)圓C過(guò)點(diǎn)M(1，0)和N(2，3)，所以圓心C在線段MN的垂直平分線yx2上，又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，所以圓心C到兩坐標(biāo)的距離相等，所以圓心在直線y±x上，因?yàn)橹本€yx和直線yx2平行，所以圓心C為直線yx和直線yx2的交點(diǎn)(1，1)，所以圓C的半徑為，故選D.3(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y2x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，4)，則雙曲線的方程是()A.1 B.1C.1 Dx21解析：選C.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y2x，所以2.又雙曲線過(guò)點(diǎn)P(，4)，所以1.聯(lián)立，解得a，b2，所以雙曲線的方程為1，故選C.4(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知aR且為常數(shù)，圓C：x22xy22ay0，過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)(1，2)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)當(dāng)ACB最小時(shí)，直線l的方程為2xy0，則a的值為()A2 B3C4 D5解析：選B.圓的方程配方，得(x1)2(ya)21a2，圓心為C(1，a)，當(dāng)弦AB長(zhǎng)度最短時(shí)，ACB最小，此時(shí)圓心C與定點(diǎn)(1，2)的連線和直線2xy0垂直，所以×21，a3.5(2019·武漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖，拋物線E：x24y與M：x2(y1)216交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于y軸的直線PN交拋物線E于點(diǎn)N，則PMN的周長(zhǎng)的取值范圍是()A(6，12) B(8，10)C(6，10) D(8，12)解析：選B.由題意可得拋物線E的焦點(diǎn)為(0，1)，圓M的圓心為(0，1)，半徑為4，所以圓心M(0，1)為拋物線的焦點(diǎn)，故|NM|等于點(diǎn)N到準(zhǔn)線y1的距離，又PNy軸，故|PN|NM|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線y1的距離由，得y3，又點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線y1的距離的取值范圍是(4，6)，又|PM|4，所以PMN的周長(zhǎng)的取值范圍是(8，10)，故選B.6(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_解析：通解：由橢圓C：1，得c4，不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則由題意知|MF1|F1F2|2c8，于是由橢圓的定義得|MF1|MF2|12，所以|MF2|12|MF1|4，易知MF1F2的底邊MF2上的高h(yuǎn)2，所以|MF2|·h|F1F2|·yM，即×4×2×8×yM，解得yM，代入橢圓方程得xM3(舍去)或xM3，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)優(yōu)解：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則由題意，得|MF1|F1F2|8，由橢圓的焦半徑公式得|MF1|exM6xM68，解得xM3，代入橢圓方程得yM，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)答案：(3，)7雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a_.解析：雙曲線1的漸近線方程為y±x，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對(duì)稱性可得1.又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：28(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的折線距離為d(A，B)|x1x2|y1y2|.已知點(diǎn)O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)1，則的取值范圍是_解析：根據(jù)定義有：d(O，C)|0x|0y|1，即|x|y|1，該方程等價(jià)于或或或，畫出圖形如圖所示，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0，0)的距離，所以.答案：9(2019·高考天津卷)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上若|ON|OF|(O為原點(diǎn))，且OPMN，求直線PB的斜率解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以橢圓的方程為1.(2)由題意，設(shè)P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)設(shè)直線PB的斜率為k(k0)，又B(0，2)，則直線PB的方程為ykx2，與橢圓方程聯(lián)立得整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，進(jìn)而直線OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由題意得N(0，1)，所以直線MN的斜率為.由OPMN，得·1，化簡(jiǎn)得k2，從而k±.所以，直線PB的斜率為或.10(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知橢圓：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且右焦點(diǎn)F(，0)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)N(1，0)且斜率存在的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，記t·，若t的最大值和最小值分別為t1，t2，求t1t2的值解：(1)由橢圓1的右焦點(diǎn)為(，0)，知a2b23，即b2a23，則1，a2>3.又橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，1)，所以1，又a2>3，所以a26.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260，因?yàn)辄c(diǎn)N(1，0)在橢圓內(nèi)部，所以>0，所以，則t·(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5，將代入得，t(1k2)·(2k2k)·k22k5，所以t，所以(152t)k22k1t0，kR，則1224(152t)(1t)0，所以(2t15)(t1)10，即2t213t160，由題意知t1，t2是2t213t160的兩根，所以t1t2.- 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