（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7講 拋物線學(xué)案

第7講拋物線板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)必備知識考點1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|d(其中d為點M到準(zhǔn)線的距離)考點2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 必會結(jié)論拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p.考點自測 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切()(3)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(5)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)22018·江西八校聯(lián)考已知拋物線yax2(a>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則a()A4 B2 C. D.答案C解析化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2y，據(jù)題意2×2，a.3課本改編設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A4 B6 C8 D12答案B解析拋物線準(zhǔn)線方程x2，點P到準(zhǔn)線的距離為6，P到焦點的距離也為6，選B.4課本改編已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是()Ay2±2x By2±2xCy2±4x Dy2±4x答案D解析由已知知雙曲線的焦點為(，0)，(，0)設(shè)拋物線方程為y2±2px(p>0)，則，所以p2，所以拋物線方程為y2±4x.故選D.5已知AB是拋物線y22x的一條焦點弦，|AB|4，則AB中點C的橫坐標(biāo)是()A2 B. C. D.答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p4，又p1，x1x23，點C的橫坐標(biāo)是.故選C.62018·唐山模擬若拋物線x2ay過點A，則點A到此拋物線的焦點的距離為_答案解析由題意可知，點A在拋物線x2ay上，所以1a，解得a4，得x24y.由拋物線的定義可知點A到焦點的距離等于點A到準(zhǔn)線的距離，所以點A到拋物線的焦點的距離為yA11.板塊二典例探究·考向突破考向拋物線的方程及幾何性質(zhì) 例1(1)2016·全國卷設(shè)F為拋物線C：y24x 的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k()A. B1 C. D2答案D解析易知拋物線的焦點為F(1,0)，設(shè)P(xP，yP)，由PFx軸，可得xP1，代入拋物線方程，得yP2(2舍去)，把P(1,2)代入曲線y(k>0)，得k2.(2)已知過拋物線y22px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|9.求該拋物線的方程；O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若，求的值解由題意得直線AB的方程為y2，與y22px聯(lián)立，消去y有4x25pxp20，所以x1x2.由拋物線定義得|AB|x1x2pp9，所以p4，從而該拋物線的方程為y28x.由得4x25pxp20，即x25x40，則x11，x24，于是y12，y24，從而A(1，2)，B(4，4)設(shè)C(x3，y3)，則(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.觸類旁通求拋物線方程的三個注意點(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時，要注意根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來解決問題【變式訓(xùn)練1】(1)已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1 Bx2Cx1 Dx2答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y，與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得：x23px0，可得x1x23p.根據(jù)中點坐標(biāo)公式，有3，p2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x1.(2)過拋物線C：y24x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則|AB|_.答案解析設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，y24x，拋物線的準(zhǔn)線為x1，F(xiàn)(1,0)，又A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，xA14，xA3，xAxB1，xB，|AB|xAxBp32.考向拋物線定義及應(yīng)用命題角度1到焦點與到定點距離之和最小問題 例22018·贛州模擬若點A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y22x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)答案D解析過M點作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|MA|MN|MA|，當(dāng)A，M，N三點共線時，|MF|MA|取得最小值，此時M(2,2)命題角度2到點與準(zhǔn)線的距離之和最小問題 例32018·邢臺模擬已知M是拋物線x24y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x1)2(y5)21上，則|MA|MF|的最小值是_答案5解析依題意，由點M向拋物線x24y的準(zhǔn)線l：y1引垂線，垂足為M1，則有|MA|MF|MA|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|MM1|的最小值等于圓心C(1,5)到y(tǒng)1的距離再減去圓C的半徑，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5.命題角度3到定直線的距離最小問題例4已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A. B2 C. D3答案B解析由題可知l2：x1是拋物線y24x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點為F(1,0)，則動點P到l2的距離等于|PF|，則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點F到直線l1：4x3y60的距離，所以最小值是2.命題角度4焦點弦中距離之和最小問題例5已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，且|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()A. B1 C. D.答案C解析如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，AB的中點為M，作AA1l于A1，BB1l于B1，MM1l于M1，由拋物線的定義知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，則點M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|(|AA1|BB1|).觸類旁通與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略(1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決考向拋物線在實際生活中的應(yīng)用例6一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成，尺寸(單位：m)如圖所示，一輛卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3 m，車與箱共高4.5 m，此車能否通過隧道？說明理由解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形的邊與拋物線的接點為A，B，則A(3，3)，B(3，3)設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，將B點坐標(biāo)代入得92p·(3)，所以p.所以拋物線方程為x23y(3y0)因為車與箱共高4.5 m，所以集裝箱上表面距拋物線隧道拱頂0.5 m.設(shè)拋物線上點D的坐標(biāo)為(x0，0.5)，則x，所以|x0|，所以2|x0|<3.此車不能通過隧道觸類旁通與拋物線有關(guān)的橋的跨度、隧道高低等問題，通常建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決，注意建立直角坐標(biāo)系后坐標(biāo)的正負(fù)及其實際意義考向直線與拋物線的綜合問題例72017·全國卷設(shè)A，B為曲線C：y上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24，于是直線AB的斜率k1.(2)由y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點為N(2,2m)，|MN|m1|.將yxm代入y得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時，x1,22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.觸類旁通求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應(yīng)用(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦點在x軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式【變式訓(xùn)練2】2016·江蘇高考如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p>0)(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證：線段PQ的中點坐標(biāo)為(2p，p)；求p的取值范圍解(1)拋物線C：y22px(p>0)的焦點為，由點在直線l：xy20上，得020，即p4，所以拋物線C的方程為y28x.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)因為點P和Q關(guān)于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為1，則可設(shè)其方程為yxb.證明：由消去x，得y22py2pb0.因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1y2，從而(2p)24×(2pb)>0，化簡得p2b>0.方程y22py2pb0的兩根為y1,2p±，從而y0p.因為M(x0，y0)在直線l上，所以x02p.因此，線段PQ的中點坐標(biāo)為(2p，p)因為M(2p，p)在直線yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b>0，于是p2(22p)>0，所以p<.因此，p的取值范圍是.核心規(guī)律認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分yax2與y22px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2mx或x2my(m0)滿分策略1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般要用待定系數(shù)法求出p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程2.求過焦點的弦或與焦點有關(guān)的距離問題，要多從拋物線的定義入手，這樣可以簡化問題3.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗證判別式.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列 9化歸轉(zhuǎn)化法解決拋物中的比值問題 (1)2018·溫州十校聯(lián)考已知點A(0,2)，拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，若，則p的值等于()A. B. C2 D4解題視點由四點共線得出斜率相等，進(jìn)而得出M點的坐標(biāo)解析設(shè)M(xM，yM)，N，由，知，所以yN(1)yM；由kFAkFN知，所以yN4，所以yM；又，所以xM，所以xM，將(xM，yM)代入y22px，得22p×，解得p2.故選C.答案C(2)過拋物線y22px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A，B，若SOAF4SOBF，則直線AB的斜率為()A± B± C± D±解題視點將已知中的比值轉(zhuǎn)化為相關(guān)點的坐標(biāo)比值解析根據(jù)題意設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)由SOAF4SOBF，得|AF|4|BF|，4，得4，故y14y2，即4.設(shè)直線AB的方程為yk，聯(lián)立消元得ky22pykp20，故y1y2，y1y2p2，則2，解得k±，即直線AB的斜率為±.故選D.答案D答題啟示圓錐曲線中存在線段比值問題，應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或有關(guān)點的坐標(biāo)關(guān)系，有時還利用相似比或三角函數(shù)求解.跟蹤訓(xùn)練過拋物線y24x的焦點F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點(xA>xB)，則()A. B. C3 D2答案D解析設(shè)直線方程為y2(x1)與y24x聯(lián)立得：2x25x20，(2x1)(x2)0，x1，x22xA>xB，xA2，xB.2.故選D.板塊四模擬演練·提能增分 A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1若拋物線y22px上一點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay24x By26xCy28x Dy210x答案C解析拋物線y22px，準(zhǔn)線為x.點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4.4.p4，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.2已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A1 B2 C4 D8答案A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.故選A.32016·全國卷以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4 C6 D8答案B解析由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，設(shè)O為坐標(biāo)原點，由|OA|OD|，得85，得p4.故選B.42018·運城模擬已知拋物線x2ay與直線y2x2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線方程為()Ax2y Bx26yCx23y Dx23y答案D解析設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的拋物線方程是x23y.5已知直線axy10經(jīng)過拋物線y24x的焦點，則直線與拋物線相交弦的弦長為()A6 B7 C8 D9答案C解析拋物線y24x的焦點F(1,0)，點F在直線axy10上，a10，即a1，直線方程為xy10.聯(lián)立得x26x10.設(shè)直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x26，|AB|x1x2p628.62018·鄭州模擬已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，若|AF|BF|5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義可得|AF|BF|5，即x1x25，解得x1x2，所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離.72017·河北六校模擬拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，點O是坐標(biāo)原點，過點O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則拋物線的方程為_答案y216x解析設(shè)滿足題意的圓的圓心為M.根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上又圓的面積為36，圓的半徑為6，則|MF|xM6，即xM6.又由題意可知xM，6，解得p8.拋物線方程為y216x.82017·天津高考設(shè)拋物線y24x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若FAC120°，則圓的方程為_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得點F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標(biāo)為1，圓的半徑為1，CAO90°.又因為FAC120°，所以O(shè)AF30°，所以|OA|，所以點C的縱坐標(biāo)為.所以圓的方程為(x1)2(y)21.9.如圖，點O為坐標(biāo)原點，直線l經(jīng)過拋物線C：y24x的焦點F.設(shè)點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點以點F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點為點B，與拋物線C在第四象限的交點為點D.(1)若點O到直線l的距離為，求直線l的方程；(2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明解(1)由題易知，拋物線C的焦點為F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，即x1，不符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k±.即直線l的方程為y±(x1)(2)直線AB與拋物線C相切，證明如下：設(shè)A(x0，y0)，則y4x0.因為|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直線AB的方程為：y(xx0)，整理得，xx0，把上式代入y24x得y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直線AB與拋物線C相切102018·湖南模擬已知過A(0,2)的動圓恒與x軸相切，設(shè)切點為B，AC是該圓的直徑(1)求C點軌跡E的方程；(2)當(dāng)AC不在y軸上時，設(shè)直線AC與曲線E交于另一點P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點求證：PQC恒為直角三角形解(1)設(shè)C(x，y)，A(0,2)，則圓心坐標(biāo)為，又因為圓與x軸切于B點，所以B點坐標(biāo)為，圓的半徑為.根據(jù)AC是圓的直徑得，|AC|y2|，即|y2|，兩邊平方整理得x28y，所以C點的軌跡E的方程為x28y.(2)證明：設(shè)AC所在直線的方程為ykx2，與曲線E聯(lián)立得x28kx160，設(shè)C(x1，y1)，P(x2，y2)，則x1·x216.曲線E：x28y在點P(x2，y2)處切線的斜率為k1xx2，且B，直線BC的斜率為k2，所以k1·k2 ×1，所以PQBC，即PQC為直角三角形B級知能提升1已知拋物線C：y28x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|()A. B. C3 D2答案C解析過點Q作QQl交l于點Q，因為4，所以|PQ|PF|34，又焦點F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|QQ|3.22018·安徽模擬過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點若|AF|3，則AOB的面積為()A. B. C. D2答案C解析焦點F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，則點A到準(zhǔn)線l：x1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2，AB的方程為y2(x1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x25x20，所以B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，SAOB×1×(2).32017·山東高考在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_答案y±x解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24×，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為y±x.4設(shè)A，B為拋物線y2x上相異兩點，其縱坐標(biāo)分別為1，2，分別以A，B為切點作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點P.(1)求點P的坐標(biāo)；(2)M為A，B間拋物線段上任意一點，設(shè)，試判斷是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請說明理由解(1)知A(1,1)，B(4，2)，設(shè)點P坐標(biāo)為(xp，yp)，切線l1：y1k(x1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k，即l1：yx，同理l2：yx1，聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點P的坐標(biāo)為.(2)設(shè)M(y，y0)，且2y01，由得，即解得則1，即為定值1.52018·合肥模擬已知拋物線C1：y24x和C2：x22py(p>0)的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(1，1)，且F1F2OP(O為坐標(biāo)原點)(1)求拋物線C2的方程；(2)過點O的直線交C1的下半部分于點M，交C2的左半部分于點N，求PMN面積的最小值解(1)F1(1,0)，F(xiàn)2，.··(1，1)10，p2，C2的方程為x24y.(2)設(shè)過點O的直線為ykx，聯(lián)立得M，聯(lián)立得N(4k,4k2)(k<0)，從而|MN|，點P到直線MN的距離d，進(jìn)而SPMN··2.令tk(t2)，有SPMN2(t2)(t1)，當(dāng)t2時，SPMN有最小值8，此時k1.即當(dāng)過原點的直線為yx時，PMN的面積取得最小值8.18