（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列學(xué)案 理

第八單元 數(shù) 列教材復(fù)習(xí)課“數(shù)列”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過數(shù)列的有關(guān)概念過雙基1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列an的第n項an通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項和2an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項和為Sn，則an1數(shù)列an滿足anan1(nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項和，則S21的值為()A5B.C. D.解析：選Banan1，a22，anS2111×10×2.2數(shù)列an滿足a13，an1(nN*)，則a2 018()A. B3C D.解析：選D由a13，an1，得a2，a3，a43，由上可得，數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，故a2 018a672×32a2.3已知數(shù)列an滿足an(nN*)，前n項的和為Sn，則關(guān)于an，Sn的敘述正確的是()Aan，Sn都有最小值 Ban，Sn都沒有最小值Can，Sn都有最大值 Dan，Sn都沒有最大值解析：選Aan，當(dāng)n5時，an<0且單調(diào)遞減；當(dāng)n6時，an>0，且單調(diào)遞減故當(dāng)n5時，a53為an的最小值；由的分析可知：當(dāng)n5時，an<0；當(dāng)n6時，an>0.故可得S5為Sn的最小值綜上可知，an，Sn都有最小值4已知數(shù)列an中，a11，an1an2n1(nN*)，則a5_.解析：依題意得an1an2n1，a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1357925.答案：25清易錯1易混項與項數(shù)，它們是兩個不同的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號2在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項公式寫成anSnSn1的形式，但它只適用于n2的情形1已知數(shù)列的通項公式為ann28n15，則()A3不是數(shù)列an中的項B3只是數(shù)列an中的第2項C3只是數(shù)列an中的第6項D3是數(shù)列an中的第2項或第6項解析：選D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an中的第2項或第6項2已知數(shù)列an的前n項和為Sn32n，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n1時，a1S1325；當(dāng)n2時，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因為當(dāng)n1時，不符合an2n1，所以數(shù)列an的通項公式為an答案：an等差數(shù)列過雙基1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：Snna1d.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列1在等差數(shù)列an中，已知a2與a4是方程x26x80的兩個根，若a4>a2，則a2 018()A2 018 B2 017C2 016 D2 015解析：選A因為a2與a4是方程x26x80的兩個根，且a4>a2，所以a22，a44，則公差d1，所以a11，則a2 0182 018.2在等差數(shù)列an中，a2a3a43，Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則S5()A3 B4C5 D6解析：選C等差數(shù)列an中，a2a3a43，Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a2a3a43a33，解得a31，S5(a1a5)5a35.3.正項等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a4a10a150，則S13()A39 B5C39 D65解析：選D正項等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a4a10a150，a2a7150，解得a75或a73(舍去)，S13(a1a7)13a713×565.4已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且3a3a64.若S5<10，則a2的取值范圍是()A(，2) B(，0)C(1，) D(0,2)解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，3a3a64，3(a2d)a24d4，可得d2a24.S5<10，5(3a24)<10，解得a2<2.a2的取值范圍是(，2)5在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前 n項和為Sn ，當(dāng)且僅當(dāng)n8 時Sn 取得最大值，則d 的取值范圍為_解析：由當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn有最大值，可得即解得1<d<.答案：清易錯1求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件2注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別1(2018·武昌聯(lián)考)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n項和為Sn，則使得Sn達到最大的n的值為()A18 B19C20 D21解析：選C由a1a3a5105a335，a2a4a699a433，則an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此當(dāng)Sn取得最大值時，n20.2在數(shù)列an中，若a12，且對任意的nN*，有2an112an，則數(shù)列an前10項的和為()A2 B10C. D.解析：選C由2an112an，可得an1an，即數(shù)列an是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，則an，所以數(shù)列an的前10項的和S10.等比數(shù)列過雙基1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為q.(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么叫做a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1.(2)前n項和公式：Sn3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則am·anap·aqa；(3)若數(shù)列an，bn(項數(shù)相同)都是等比數(shù)列，則an，a，an·bn，(0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.1(2017·全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13.2設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若3，則()A2 B.C. D1或2解析：選B設(shè)S2k，則S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，.3設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q2，前n項和為Sn，則的值為()A. B.C. D.解析：選A根據(jù)等比數(shù)列的公式，得.4已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a58，a2a616，則數(shù)列an的前2 018項的和為()A8 064 B4C4 D0解析：選D等比數(shù)列an的公比q1，且a3a58，a2a616，a3a5a2a616，a3，a5是方程x28x160的兩個根，解得a3a54，4q24，q1，q1，a14，數(shù)列an的前2 018項的和為S2 0180.5(2018·信陽調(diào)研)已知等比數(shù)列an的公比q>0，且a5·a74a，a21，則a1()A. B.C. D2解析：選B因為an是等比數(shù)列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q>0，所以q，a1.清易錯1Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q1且n為偶數(shù)時，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q1或q1且n為奇數(shù)時，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列)，但等式(S2nSn)2Sn·(S3nS2n)總成立2在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤1設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，前n項和為Sn，已知S38，S67，則a7a8a9等于()A. BC. D.解析：選A因為a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即8，1，S9S6成等比數(shù)列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.2設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，前n項和為Sn，若S33a3，則公比q_.解析：當(dāng)q1時，由題意，3a1q2，即1q33q23q3，整理得2q33q210，解得q.當(dāng)q1時，S33a3，顯然成立故q或1.答案：或1一、選擇題1(2017·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4 D8解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得即解得d4.2(2018·江西六校聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，若a3a5a73，則a2a8()A3 B.C9 D13解析：選A由a3a5a73，得a3，即a5，故a2a8a3.3在數(shù)列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的個位數(shù)，則a2 018()A8 B6C4 D2解析：選D由題意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以數(shù)列中的項從第3項開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 018a335×68a82.4已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2，nN*)，則a7()A53 B54C55 D109解析：選Ca2a12×2，a3a22×3，a7a62×7，各式相加得a7a12(2347)55.5設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，an13Sn(nN*)，則S6()A44 B45C.×(461) D.×(451)解析：選B由an13Sn，得a23S13.當(dāng)n2時，an3Sn1，則an1an3an，n2，即an14an，n2，則數(shù)列an從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，所以S645.6等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn，Tn，對一切自然數(shù)n，都有，則等于()A. B.C. D.解析：選CS99a5，T99b5，.7已知數(shù)列an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，若5S2S4，則log4a3的值為()A1 B2C0或1 D0或2解析：選C由題意得，等比數(shù)列an中，5S2S4，a11，所以5(a1a2)a1a2a3a4，即5(1q)1qq2q3，q3q24q40，即(q1)(q24)0，解得q1或±2，當(dāng)q1時，a31，log4a30.當(dāng)q±2時，a34，log4a31.綜上所述，log4a3的值為0或1.8設(shè)數(shù)列an是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13()A75 B90C105 D120解析：選C由a1a2a315得3a215，解得a25，由a1a2a380，得(a2d)a2(a2d)80，將a25代入，得d3(d3舍去)，從而a11a12a133a123(a210d)3×(530)105.二、填空題9若數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n2時，由a13a232a33n1an，得a13a232a33n2an1，兩式相減得3n1an，則an.當(dāng)n1時，a1滿足an，所以an.答案：an10數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn2an1，則an_.解析：Sn2an1，Sn12an11(n2)，得an2an2an1，即an2an1.S1a12a11，即a11，數(shù)列an為首項是1，公比是2的等比數(shù)列，故an2n1.答案：2n111已知數(shù)列an中，a2na2n1(1)n，a2n1a2nn，a11，則a20_.解析：由a2na2n1(1)n，得a2na2n1(1)n，由a2n1a2nn，得a2n1a2nn，故a2a11，a4a31，a6a51，a20a191.a3a21，a5a42，a7a63，a19a189.又a11，累加得：a2046.答案：4612數(shù)列an為正項等比數(shù)列，若a33，且an12an3an1(n2，nN*)，則此數(shù)列的前5項和S5_.解析：設(shè)公比為q(q>0)，由an12an3an1，可得q22q3，所以q3，又a33，則a1，所以此數(shù)列的前5項和S5.答案：三、解答題13已知在等差數(shù)列an中，a35，a1a1918.(1)求公差d及通項an；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn及使得Sn取得最大值時n的值解：(1)a35，a1a1918，an112n.(2)由(1)知，Snn210n(n5)225，n5時，Sn取得最大值14已知數(shù)列an滿足n2n.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)n2n，當(dāng)n2時，(n1)2n1，兩式相減得2n(n2)，ann·2n1(n2)又當(dāng)n1時，11，a14，滿足ann·2n1.ann·2n1.(2)bnn(2)n，Sn1×(2)12×(2)23×(2)3n×(2)n.2Sn1×(2)22×(2)33×(2)4(n1)×(2)nn(2)n1，兩式相減得3Sn(2)(2)2(2)3(2)4(2)nn(2)n1n(2)n1n(2)n1，Sn.高考研究課(一) 等差數(shù)列的3考點求項、求和及判定全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度等差數(shù)列通項5年4考求通項或某一項等差數(shù)列前n項和5年4考求項數(shù)、求和等差數(shù)列的判定5年1考判斷數(shù)列成等差數(shù)列等差數(shù)列基本量的運算典例(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，則n()A5B5C7 D8(2)(2016·全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.求b1，b11，b101；求數(shù)列bn的前1 000項和解析(1)法一：由等差數(shù)列前n項和公式可得Sn2Sn(n2)a1d2a1(2n1)d24n236，解得n8.法二：由Sn2Snan2an1a1a2n236，因此a2n2a1(2n1)d35，解得n8.答案：D(2)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由已知得721d28，解得d1.所以數(shù)列an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1×902×9003×11 893.方法技巧等差數(shù)列運算的解題思路由等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三個便可求出其余兩個，即“知三求二”，“知三求二”的實質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解即時演練1已知數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，若S64S3，則a10()A. B.C. D.解析：選BS64S3，公差d1.6a1×14×，解得a1.a109×1.2已知公差不為0的等差數(shù)列an滿足a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，則的值為()A2 B3C2 D3解析：選D設(shè)an的公差為d，因為a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以(a12d)2a1(a13d)，可得a14d，所以3.3(2018·大連聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項和為Sn，a11，S2·S336.(1)求d及Sn; (2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解：(1)由題意知(2a1d)(3a13d)36，將a11代入上式解得d2或d5.因為d>0，所以d2.從而an2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k1>1，故解得即所求m的值為5，k的值為4.等差數(shù)列的判定與證明典例(2017·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿足：ankank1an1an1ank1ank2kan，對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列思路點撥(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)“ankank2an”，構(gòu)造出an是“P(3)數(shù)列”需要滿足的條件即可證明；(2)根據(jù)等差數(shù)列定義、通項公式、中項公式即可證明an為等差數(shù)列證明(1)因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)將代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.在中，取n4，則a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，則a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以數(shù)列an是等差數(shù)列方法技巧等差數(shù)列判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法對于n2的任意自然數(shù)，anan1為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項公式法anpnq(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法驗證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列即時演練1(2016·浙江高考)如圖，點列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列 BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列 Dd是等差數(shù)列解析：選A由題意，過點A1，A2，A3，An，An1，分別作直線B1Bn1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，hn，hn1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，hn，hn1，成等差數(shù)列，又Sn×|BnBn1|×hn，|BnBn1|為定值，所以Sn是等差數(shù)列故選A.2(2017·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和已知S22，S36.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解：(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)典例(1)已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m的值為()A8 B12C6 D4(2)已知數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，前n項和分別為Sn，Tn，若，則()A. B.C. D.(3)(2018·天水模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.解析(1)由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，得4a832，即a88，m8.(2)因為an，bn為等差數(shù)列，且，所以.(3)S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案(1)A(2)A(3)60方法技巧等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.即時演練1(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A95 B100C135 D80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)403×20100.2(2018·廣州模擬)已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()A. B.C. D.解析：選A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，所以.3若兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別是Sn，Tn，已知，則_.解析：數(shù)列an和bn都是等差數(shù)列，.答案：等差數(shù)列前n項和的最值等差數(shù)列的通項an及前n項和Sn均為n的函數(shù)，通常利用函數(shù)法或通項變號法解決等差數(shù)列前n項和Sn的最值問題典例等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1>0，S3S11，當(dāng)Sn取得最大值時，n的值為_解析法一：用“函數(shù)法”解題由S3S11，可得3a1d11a1d，即da1.從而Snn2n(n7)2a1，因為a1>0，所以<0.故當(dāng)n7時，Sn最大法二：用“通項變號法”解題由法一可知，da1.要使Sn最大，則有即解得6.5n7.5，故當(dāng)n7時，Sn最大答案7方法技巧求等差數(shù)列前n項和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)通項變號法當(dāng)a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.即時演練1(2018·濰坊模擬)在等差數(shù)列an中，a129，S10S20，則數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為()AS15 BS16CS15或S16 DS17解析：選Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n×(2)n230n(n15)2225.當(dāng)n15時，Sn取得最大值2已知an是等差數(shù)列，a126，a8a135，當(dāng)an的前n項和Sn取最小值時，n的值為()A8 B9C10 D11解析：選B設(shè)數(shù)列an的公差為d，a126，a8a135，267d2612d5，解得d3，Sn26n×3n2n2，an的前n項和Sn取最小值時，n9.3已知an是各項不為零的等差數(shù)列，其中a1>0，公差d<0，若S100，則數(shù)列an的前n項和取最大值時，n_.解析：由S105(a5a6)0，可得a5a60，a5>0，a6<0，即數(shù)列an的前5項和為最大值，n5.答案：51(2017·全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為()A24 B3C3 D8解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項的和S66×1×(2)24.2(2016·全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D97解析：選C法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.3(2014·全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解：(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11.兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列4(2013·全國卷)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)設(shè)an的公差為d.由題意，aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首項為25，公差為6的等差數(shù)列從而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.一、選擇題1(2018·廈門一中測試)已知數(shù)列an中，a2，a5，且是等差數(shù)列，則a7()A.B.C. D.解析：選D設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則3d，即3d，解得d2，所以5d12，解得a7.2我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為()A6斤 B9斤C9.5斤 D12斤解析：選A依題意，金箠由粗到細各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項a14，則a52.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2a4a1a56，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤3(2018·銀川一中月考)在等差數(shù)列an中，首項a1>0，公差d0，前n項和為Sn(nN*)，有下列命題：若S3S11，則必有S140；若S3S11，則必有S7是Sn中的最大項；若S7>S8，則必有S8>S9；若S7>S8，則必有S6>S9.其中正確命題的個數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選D對于，若S11S34(a1a14)0，即a1a140，則S140，所以正確；對于，當(dāng)S3S11時，易知a7a80，又a1>0，d0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大項，所以正確；對于，若S7>S8，則a8<0，那么d<0，可知a9<0，此時S9S8<0，即S8>S9，所以正確；對于，若S7>S8，則a8<0，S9S6a7a8a93a8<0，即S6>S9，所以正確故選D.4(2018·大同模擬)在等差數(shù)列中，a1a2a33，a18a19a2087，則此數(shù)列前20項的和等于()A290 B300C580 D600解析：選B由a1a2a33a23，得a21.由a18a19a203a1987，得a1929，所以S2010(a2a19)300.5設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S918，an430(n>9)，若Sn336，則n的值為()A18 B19C20 D21解析：選D因為an是等差數(shù)列，所以S99a518，a52，Sn×3216n336，解得n21.6設(shè)an是等差數(shù)列，d是其公差，Sn是其前n項和，且S5<S6，S6S7>S8，則下列結(jié)論錯誤的是()Ad<0Ba70CS9>S5D當(dāng)n6或n7時Sn取得最大值解析：選C由S5<S6，得a1a2a3a4a5<a1a2a3a4a5a6，即a6>0.同理由S7>S8，得a8<0.又S6S7，a1a2a6a1a2a6a7，a70，B正確；da7a6<0，A正確；而C選項，S9>S5，即a6a7a8a9>0，可得2(a7a8)>0，由結(jié)論a70，a8<0，知C選項錯誤；S5<S6，S6S7>S8，結(jié)合等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特性可知D正確故選C.7等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若公差d>0，(S8S5)(S9S5)<0，則()A|a7|>|a8| B|a7|<|a8|C|a7|a8| D|a7|0解析：選B因為(S8S5)(S9S5)<0，所以(a6a7a8)(a6a7a8a9)<0，因為an為等差數(shù)列，所以a6a7a83a7，a6a7a8a92(a7a8)，所以a7(a7a8)<0，所以a7與(a7a8)異號又公差d>0，所以a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|，故選B.二、填空題8在數(shù)列an中，an1，a12，則a20_.解析：由an1，a12，可得3，所以是以為首項，3為公差的等差數(shù)列所以3(n1)，即an，所以a20.答案：9數(shù)列an滿足：a11，an12an2n，則數(shù)列an的通項公式為_解析：a11，an12an2n，數(shù)列是首項為，公差d的等差數(shù)列，故(n1)×n，即ann·2n1.答案：ann·2n110設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S40，且S83S4，S12S8，則_.解析：當(dāng)S40，且S83S4，S12S8時，由等差數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，2(S8S4)S4(S12S8)，2(3S4S4)S4(·3S43S4)，解得2.答案：2三、解答題11已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，a3a412.(1)求a1a2a3a4a5；(2)設(shè)bn10an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，若b1b2，則n為何值時，Sn最大？Sn最大值是多少？解：(1)設(shè)an的公差為d，a1，a2，a5成等比數(shù)列，(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d2a1.當(dāng)d0時，a3a412，an6，a1a2a3a4a530；當(dāng)d0時，a3a412，a11，d2，a1a2a3a4a525.(2)b1b2，bn10an，a1a2，d0，由(1)知an2n1，bn10an10(2n1)112n，Sn10nn2(n5)225.當(dāng)n5時，Sn取得最大值，最大值為25.12(2018·沈陽質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3a64，S55.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表達式解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意知解得故an2n7(nN*)(2)由an2n7<0，得n<，即n3，所以當(dāng)n3時，an2n7<0，當(dāng)n4時，an2n7>0.由(1)知Snn26n，所以當(dāng)n3時，TnSn6nn2；當(dāng)n4時，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18.故T513，Tn13已知數(shù)列an中，a14，anan12n13(n2，nN*)(1)證明數(shù)列an2n是等差數(shù)列，并求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項和Sn.解：(1)證明：當(dāng)n2時，anan12n13an12n2n13，an2n(an12n1)3.又a14，a122，故數(shù)列an2n是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，an2n2(n1)×33n1，an2n3n1.(2)bn1，Snn，令Tn，則Tn，得，Tn1，13×，Snn5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a13，an12an2n11(nN*)(1)求a2，a3；(2)求實數(shù)使為等差數(shù)列，并由此求出an與Sn；(3)求n的所有取值，使N*，說明你的理由解：(1)a13，an12an2n11，a22×32219，a32×923125.(2)a13，an12an2n11，an112(an1)2n1，1，故1時，數(shù)列成等差數(shù)列，且首項為1，公差d1.n，即ann·2n1.Sn(1×22×223×23n×2n)n，設(shè)Tn1×22×223×23n×2n，則2Tn1×222×233×24n×2n1，得，Tn222232nn×2n1(1n)·2n12，Tn(n1)·2n12，SnTnn(n1)·2n12n.(3)2，結(jié)合y2x及yx的圖象可知2n>恒成立，2n1>n，即n2n1<0，n·2n1>0，<2.當(dāng)n1時，1N*；當(dāng)n2時，an>0且an為遞增數(shù)列，Sn>0且Sn>an，>1，即1<<2，當(dāng)n2時，N*.綜上可得n1.高考研究課(二)等比數(shù)列的3考點基本運算、判定和應(yīng)用全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度等比數(shù)列的基本運算5年5考由項與和的關(guān)系求首項、求前n項和、求項數(shù)等等比數(shù)列的判定5年2考證明等比數(shù)列等比數(shù)列的綜合應(yīng)用5年3考求和后放縮法證明不等式，等比數(shù)列求項之積的最值等比數(shù)列基本量的運算典例(1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a3，a2a4，則()A4n1B4n1C2n1 D2n1(2)(2018·石家莊模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn滿足6Sn19an(nN*)求數(shù)列an的通項公式；若數(shù)列bn滿足bn，求數(shù)列bn前n項和Tn.解析(1)設(shè)an的公比為q，由()()可得2，q，代入()得a12，an2×n1，Sn4，2n1.答案：D(2)當(dāng)n1時，由6a119a1，得a1.當(dāng)n2時，由6Sn19an，得6Sn119an1，兩式相減得6(SnSn1)9(anan1)，即6an9(anan1)，an3an1.數(shù)列an是首項為，公比為3的等比數(shù)列，其通項公式為an×3n13n2.bnn2，bn是首項為3，公比為的等比數(shù)列，Tnb1b2bn.方法技巧解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解(2)分類討論的思想等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q1時，an的前n項和Snna1；當(dāng)q1時，an的前n項和Sn.即時演練1已知數(shù)列an是首項a1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，S3，若am，則m的值為()A8 B10C9 D7解析：選A設(shè)數(shù)列an的公比為q，若q1，則S3，不符合題意，q1.由得an·n1n1.由amm1，得m8.2(2018·汕頭模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列，Sn2n1，又當(dāng)n2時，anSnSn12n12n22n2.當(dāng)n1時，a11，不適合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.等比數(shù)列的判定與證明典例(1)已知數(shù)列an中，a11，a23且an23an12an，nN*，對數(shù)列an有下列命題：數(shù)列an是等差數(shù)列；數(shù)列an1an是等比數(shù)列；當(dāng)n2時，an都是質(zhì)數(shù)；<2，nN*，則其中正確的命題有()A BC D(2)已知數(shù)列an滿足a1，an(n2)求證：為等比數(shù)列，并求出an的通項公式；若bn，求bn的前n項和Sn.解析(1)an23an12an，an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a12為首項、2為公比的等比數(shù)列，anan12n1，an1an22n2，a2a121，累加得：ana121222n12n2，an2n2a12n1.顯然中，只有正確，又<(n2)，<1<2，故正確；綜上所述，錯誤，正確答案：D(2)證明：數(shù)列an滿足a1，an(n2)，1，n2，12，n2，又1211，為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，12n1，2n11，an.bn(2n1)(2n11)(2n1)·2n12n1，Sn13×25×22(2n1)×2n1n2.設(shè)Tn13×25×22(2n1)×2n1，則2Tn23×22(2n3)×2n1(2n1)×2n，兩式相減得，Tn122232n(2n1)×2n1(2n1)×2n(32n)×2n3，Tn(2n3)×2n3，SnTnn2(2n3)×2nn23.方法技巧等比數(shù)列的3種判定方法定義法若q(q為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列等比中項法若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*