（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和學(xué)案 理 新人教A版

第2講數(shù)列通項(xiàng)與求和做真題題型一an與Sn關(guān)系的應(yīng)用1(2018·高考全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_解析：法一：因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n1時(shí)，a12a11，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，a1a22a21，解得a22；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a32a31，解得a34；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a42a41，解得a48；當(dāng)n5時(shí)，a1a2a3a4a52a51，解得a516；當(dāng)n6時(shí)，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632；所以S61248163263.法二：因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n1時(shí)，a12a11，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1，所以S663.答案：632(2015·高考全國卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_解析：因?yàn)?an1Sn1Sn，an1SnSn1，所以Sn1SnSnSn1.因?yàn)?Sn0，所以1，即1.又1，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以1(n1)×(1)n，所以Sn.答案：題型二數(shù)列求和1(2017·高考全國卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意，即解得所以Sn，因此2.答案：2(2018·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解：(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16.3(2016·高考全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解：(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1×902×9003×11 893.明考情1已知數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，主要考查利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式、累加法、累乘法及構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，主要以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)作為解答題的第(1)問考查，難度中等2數(shù)列求和常與數(shù)列綜合應(yīng)用一起考查，常以解答題的形式考查，有時(shí)與函數(shù)不等式綜合在一起考查，難度中等偏上Sn，an關(guān)系的應(yīng)用典型例題 (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3Sn2an3n，則a2 019()A22 0191B32 0196C D(2)(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)已知數(shù)列an中，a12，an1(nN*)，則_(3)(一題多解)(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn3Sn12n3(n2)，a11，則a4_【解析】(1)因?yàn)閍1S1，所以3a13S12a13a13.當(dāng)n2時(shí)，3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，所以an2an13，即an12(an11)，所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an1(2)×(2)n1(2)n，則a2 01922 0191.(2)由題意可知nan12anan1(n1)an，兩邊同除以anan1，得2，又，所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以nn(n1)×2n2n.(3)法一：由Sn3Sn12n3(n2)可得S23S113a11，即a22a111.根據(jù)Sn3Sn12n3(n2)，知Sn13Sn2n13，可得，an13an2n(n2)兩邊同時(shí)除以2n1可得·(n2)，令bn，可得bn1·bn(n2)所以bn11(bn1)(n2)，數(shù)列bn1是以b21為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以bn1·(n2)，所以bn·1(n2)*又b1也滿足*式，所以bn·1(nN*)，又bn，所以an2nbn，即an3n12n.所以a4332411.法二：由Sn3Sn12n3(n2)，a11，知S23S143，所以a21.S33S283，所以a31.S43S3163，所以a411.【答案】(1)A(2)n2n(3)11(1)給出Sn與an的遞推關(guān)系求an的常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.(2)形如an1panq(p1，q0)，可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則a1a3a5a7a9()A40B44C45 D49解析：選B法一：因?yàn)镾nn21，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n21(n1)212n1，又a1S10，所以an，所以a1a3a5a7a9059131744.故選B法二：因?yàn)镾nn21，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n21(n1)212n1，又a1S10，所以an，所以an從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，a23，公差d2，所以a1a3a5a7a904a64×(2×61)44，故選B2(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且Snan1(為常數(shù))，若數(shù)列bn滿足anbnn29n20，且bn1<bn，則滿足條件的n的取值集合為_解析：因?yàn)閍11，且Snan1(為常數(shù))，所以a111，解得2，所以Sn2an1，所以Sn12an11(n2)，所以an2an1，所以an2n1.因?yàn)閍nbnn29n20，所以bn，所以bn1bn<0，解得4<n<7，又因?yàn)閚N*，所以n5或n6.即滿足條件的n的取值集合為5，6答案：5，6數(shù)列求和問題典型例題命題角度一公式法求和 已知數(shù)列an滿足a11，an1，nN*.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)T2n，求T2n.【解】(1)證明：由an1，得，所以.又a11，則1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列(2)設(shè)bn，由(1)得，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，即bn×，所以bn1bn×.又b1××，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以T2nb1b2bnn×(2n23n)求解此類題需過“三關(guān)”：第一關(guān)，定義關(guān)，即會(huì)利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第二關(guān)，應(yīng)用關(guān)，即會(huì)應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求解，需掌握等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式：Sn或Snna1d；等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式：Sn；第三關(guān)，運(yùn)算關(guān)，認(rèn)真運(yùn)算，此類題將迎刃而解 命題角度二裂項(xiàng)相消法求和 (2019·廣東省七校聯(lián)考)已知數(shù)列an為公差不為0的等差數(shù)列，a15，且a2，a9，a30成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn1bnan(nN*)，且b13，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，依題意得(a1d)(a129d)(a18d)2.又a15，所以d2，所以an2n3.(2)依題意得bn1bn2n3(nN*)，所以bnbn12n1(n2且nN*)，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n1)53n22n(n2且nN*)，b13，上式也成立，所以bnn(n2)(nN*)，所以.所以Tn.(1)裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)提醒常見的裂項(xiàng)式有：，等 命題角度三錯(cuò)位相減法求和 (2019·唐山模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn.(1)求an；(2)若bn(n1)an，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.【解】(1)由已知可得，2Sn3an1，所以2Sn13an11(n2)，得，2(SnSn1)3an3an1，化簡(jiǎn)得an3an1(n2)，在中，令n1可得，a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而有an3n1.(2)bn(n1)3n1，Tn0×301×312×32(n1)×3n1，則3Tn0×311×322×33(n1)×3n.得，2Tn3132333n1(n1)×3n(n1)×3n.所以Tn.(1)求解此類題需掌握三個(gè)技巧：一是巧分拆，即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的和，并求出等比數(shù)列的公比；二是構(gòu)差式，求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)列的公比，兩式作差；三是得結(jié)論，即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：一是判斷模型，即判斷數(shù)列an，bn一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開位置；三是相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號(hào)，學(xué)生常在此步出錯(cuò)，一定要小心 命題角度四分組轉(zhuǎn)化求和 (2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a14，數(shù)列bn滿足bnlog2an，且b1b2b312.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令cnan，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由bnlog2an和b1b2b312得log2(a1a2a3)12，所以a1a2a3212.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)閍14，所以a1a2a34·4q·4q226·q3212，計(jì)算得q4.所以an4·4n14n.(2)由(1)得bnlog24n2n，cn4n4n4n.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為An，則An1，設(shè)數(shù)列4n的前n項(xiàng)和為Bn，則Bn(4n1)，所以Sn(4n1)(1)在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和在利用分組求和法求和時(shí)，常常根據(jù)需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式(2)分組求和的策略：根據(jù)等差、等比數(shù)列分組根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組 命題角度五并項(xiàng)求和 數(shù)列an滿足an1an2n，nN*，則數(shù)列an的前100項(xiàng)和為()A5 050B5 100C9 800 D9 850【解析】設(shè)kN*，當(dāng)n2k時(shí)，a2k1a2k4k，即a2k1a2k4k，當(dāng)n2k1時(shí)，a2ka2k14k2，聯(lián)立可得，a2k1a2k12，所以數(shù)列an的前100項(xiàng)和Sna1a2a3a4a99a100(a1a3a99)(a2a4a100)(a1a3a99)(a34)(a54×2)(a74×3)(a1014×50)25×2(a3a5a101)4×(12350)25×225×24×5 100.故選B【答案】B(1)將一個(gè)數(shù)列分成若干段，然后各段分別利用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和利用并項(xiàng)求和法求解問題的常見類型：一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)；二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號(hào)因子“(1)n”(2)運(yùn)用分類討論法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口：一是對(duì)分類討論的“度”的把控，如本題，因?yàn)榭梢缘扔?，也可以等于0，因此分類的“度”可定位到“n分為奇數(shù)與偶數(shù)”，有些含絕對(duì)值的數(shù)列，其分類的“度”需在零點(diǎn)處下功夫；二是對(duì)各類分法做到不重不漏，解題的思路就能順暢 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·唐山市摸底考試)已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a43，a2，a3，a5成等比數(shù)列(1)求an；(2)設(shè)bnn·2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，則ana1(n1)d.因?yàn)閍2，a3，a5成等比數(shù)列，所以(a12d)2(a1d)(a14d)，化簡(jiǎn)得，a1d0，又d0，所以a10.又a4a13d3，所以d1.所以ann1.(2)bnn×2n1，Tn1×202×213×22n×2n1，則2Tn1×212×223×23n×2n.得，Tn121222n1n×2nn×2n(1n)×2n1.所以Tn(n1)×2n1.2(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列an中，a5a34，前n項(xiàng)和為Sn，且S2，S31，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a5a34，得2d4，d2.所以S22a12，S313a15，S44a112，又S2，S31，S4成等比數(shù)列，所以(3a15)2(2a12)(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n(1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1.所以Tn.數(shù)列與不等式的綜合問題典型例題(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足：a11，3a2a11，且(n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且b1，4bnan1an(n2)，證明：Tn<1.【解】(1)因?yàn)?n2)，所以(n2)又a11，3a2a11，所以1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列所以1(n1)(n1)，即an.(2)證明：因?yàn)?bnan1an(n2)，所以bn(n2)，所以Tnb1b2bn1<1.解決與數(shù)列求和有關(guān)的不等式問題的常用方法“放縮法”(1)如果和式能夠求出，則求出結(jié)果后進(jìn)行放縮，本例就是這種類型(2)如果和式不能求出，則需要把數(shù)列的通項(xiàng)放縮成能夠求和的形式，求和后再進(jìn)行放縮，但要注意放縮的“尺度”和“位置” 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an1，a11且nN*.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)anbn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<(nN*)解：(1)由an1，得(2n1)an14Sn1，可得(2n3)an4Sn11(n2)，兩式相減得(2n1)an(2n1)an1，即(n2)，又由an1，a11，得a23，所以，所以為常數(shù)列，所以1，即an2n1.(2)證明：由an2n1，得Snn2，所以bn.當(dāng)n1時(shí)，T11<成立；當(dāng)n2時(shí)，bn<，所以Tn<11<.綜上，Tn<(nN*)A組夯基保分專練一、選擇題1(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，則數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為()A49B50C99 D100解析：選A由題意得，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n，當(dāng)n1時(shí)，a1S13，所以數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為346810969810014849，故選A2(一題多解)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1 BC D解析：選B法一：當(dāng)n1時(shí)，S1a12a2，則a2.當(dāng)n2時(shí)，Sn12an，則SnSn1an2an12an，所以，所以當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，所以an，所以Sn1××1，當(dāng)n1時(shí)，此式也成立故選B法二：當(dāng)n1時(shí)，S1a12a2，則a2，所以S21，結(jié)合選項(xiàng)可得只有B滿足，故選B3數(shù)列an中，a12，a23，an1anan1(n2，nN*)，那么a2 019()A1 B2C3 D3解析：選A因?yàn)閍n1anan1(n2)，所以anan1an2(n3)，所以an1anan1(an1an2)an1an2(n3)所以an3an(nN*)，所以an6an3an，故an是以6為周期的周期數(shù)列因?yàn)? 019336×63，所以a2 019a3a2a1321.故選A4若數(shù)列an滿足a11，且對(duì)于任意的nN*都有an1ann1，則等于()A BC D解析：選C由an1ann1，得an1ann1，則a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，以上等式相加，得ana1123(n1)n1，把a(bǔ)11代入上式得，an123(n1)n，2，則22.5(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an滿足2an1an3(n1)，且a3，其前n項(xiàng)和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小整數(shù)n是()A8 B9C10 D11解析：選C由2an1an3，得2(an11)(an1)0，即(*)，又a3，所以a31，代入(*)式，有a21，a119，所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為9，公比為的等比數(shù)列所以|Snn6|(a11)(a21)(an1)6|<，又nN*，所以n的最小值為10.故選C6(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若anSn2n，2bn2an2an1，則()A BC D解析：選D因?yàn)閍nSn2n，所以an1Sn12n1，得2an1an2n，所以2an2an12n1，又2bn2an2an12n1，所以bnn1，則11，故選D二、填空題7古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為_解析：設(shè)該女子第一天織布x尺，則5，解得x，所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為.答案：8(一題多解)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn1Snan3，a4a523，則S8_解析：法一：由Sn1Snan3得an1an3，則數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，又a4a5232a17d2a121，所以a11，S88a1d92.法二：由Sn1Snan3得an1an3，則數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，S892.答案：929(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若anSn2，則a12_解析：當(dāng)n1，2，3，4，時(shí)，0，1，0，1，所以a1a3a5a72，a2S2a4S4a6S6a8S8a12S122，S2S1S2S4S3S4S6S5S6S8S7S82，所以2S22S1S22；2S42S34S2S42S23，同理可得S62S42，S82S62，S102，S12，又a12S122，所以a122S122.答案：三、解答題10(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)已知an是等差數(shù)列，且lg a10，lg a41.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，求k的值及數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解：(1)因?yàn)閘g a10，lg a41，所以a11，a410.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d3.所以ana13(n1)3n2.(2)由(1)知a11，a616，因?yàn)閍1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，所以aa1a616.又an3n2>0，所以ak4.因?yàn)閍k3k2，所以3k24，得k2.所以等比數(shù)列bn的公比q4.所以bn4n1.所以anbn3n24n1.所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Snn2n(4n1)11(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)證明：因?yàn)閍n1，所以.又a11，所以1，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1)，所以an2，所以bn111，所以Tnb1b2b3bn，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.12(2019·福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解：(1)當(dāng)n1時(shí)，S12a11，所以a11.因?yàn)镾n2ann，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1(n1)，得an2an2an11，所以an2an11，所以2.所以an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.設(shè)bn的公差為d，則b7b3(73)·d，所以d1.所以bnb3(n3)·dn.所以anbnn(2n1)n·2nn.設(shè)數(shù)列n·2n的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Tn，則Kn22×223×23n·2n，2Kn222×233×24n·2n1，得，Kn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Kn(n1)·2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)·2n12，所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為(n1)·2n12.B組大題增分專練1(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)(1)求證：數(shù)列a是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解：(1)由an1得aa2，且a1，所以數(shù)列a是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以a1(n1)×22n1，又由已知易得an>0，所以an(nN*)(2)bn，故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tnb1b2bn(1)()()1.2(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足1(n2，nN)，且a11.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)記bn，Tn為bn的前n項(xiàng)和，求使Tn成立的n的最小值解：(1)由已知有1(n2，nN)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，又1，所以n，即Snn2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也滿足上式，所以an2n1.(2)由(1)知，bn，所以Tn.由Tn得n24n2，即(n2)26，所以n5，所以n的最小值為5.3(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意知，2Snan，即2Snana1，當(dāng)n1時(shí)，由式可得S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入式，得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1.所以S是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，S1n1n.因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以Sn，所以anSnSn1(n2)，又a1S11，所以an.(2)bn(1)n()，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()()；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()().所以bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n.4(2019·高考天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c11，cn其中kN*.求數(shù)列a(c1)的通項(xiàng)公式；求aici(nN*).解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得故an4(n1)×33n1，bn6×2n13×2n.所以，an的通項(xiàng)公式為an3n1，bn的通項(xiàng)公式為bn3×2n.(2)a(c1)a(bn1)(3×2n1)(3×2n1)9×4n1.所以，數(shù)列a(c1)的通項(xiàng)公式為a(c1)9×4n1.aiciaiai(ci1)aia (c1)2n×4×3(9×4i1)(3×22n15×2n1)9×n27×22n15×2n1n12(nN*)- 20 -