（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 文 新人教A版

第3講導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 做真題1(2019·高考全國(guó)卷)曲線y2sin xcos x在點(diǎn)(，1)處的切線方程為()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10解析：選C.依題意得y2cos xsin x，y|x(2cos xsin x)|x2cos sin 2，因此所求的切線方程為y12(x)，即2xy210，故選C.2(2019·高考全國(guó)卷)已知曲線yaexxln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y2xb，則()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析：選D.因?yàn)閥aexln x1，所以ky|x1ae1，所以切線方程為yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，與切線方程y2xb對(duì)照，可得解得故選D.3(2019·高考全國(guó)卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)2x3ax22.討論f(x)的單調(diào)性解：f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a>0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減若a0，則f(x)在(，)單調(diào)遞增若a<0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在，(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減明考情1此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較小2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題有時(shí)也常在解答題的第一問中考查，難度一般導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義(基礎(chǔ)型) 知識(shí)整合 導(dǎo)數(shù)公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0)；(4)(logax)(a0，且a1) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率，曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率kf(x0)，相應(yīng)的切線方程為yf(x0)f(x0)·(xx0)考法全練1已知函數(shù)f(x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則其導(dǎo)函數(shù)f(x)()A.B.C1x D1x解析：選B.函數(shù)f(x)，則其導(dǎo)函數(shù)f(x)，故選B.2(2019·福州市第一學(xué)期抽測(cè))曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()A2 B.C. D.解析：選D.f(x)1，則f(1)2，故曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1，此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，(，0)，則切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為×1×，故選D.3(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)ln xax(aR)的圖象與直線xy10相切，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：設(shè)直線xy10與函數(shù)f(x)ln xax的圖象的切點(diǎn)為P(x0，y0)，因?yàn)閒(x)a，所以由題意，得，解得a1.答案：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(綜合型) 知識(shí)整合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時(shí)，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性典型例題 (2019·濟(jì)南市模擬考試節(jié)選)已知函數(shù)f(x)(x1)2xln x(a>0)討論f(x)的單調(diào)性【解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，則x11，x2，若a1，則f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)若0<a<1，則>1，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)若a>1，則0<<1，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)綜上所述，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)求解或討論函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：(1)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論(2)在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論注意討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間(，3)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)x2ax1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(，3)上單調(diào)遞減，所以f(x)0在區(qū)間(，3)上恒成立，所以，即，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，)答案：，)2已知函數(shù)f(x)x23axa2ln x(aR)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間解：f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x3a.當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0在(0，)上恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)>0解得x(0，)(a，)，由f(x)<0解得x(，a)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)和(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，a)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)(綜合型) 知識(shí)整合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系(1)若在x0附近左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值，且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得典型例題 已知函數(shù)f(x)ax2(a2)xln x，其中aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間1，e上的最小值為2，求a的取值范圍【解】(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x23xln x(x>0)，所以f(x)2x3，所以f(1)2，f(1)0.所以切線方程為y2.(2)函數(shù)f(x)ax2(a2)xln x的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2ax(a2)，令f(x)0，解得x或x.當(dāng)0<1，即a1時(shí)，f(x)在1，e上單調(diào)遞增所以f(x)在1，e上的最小值為f(1)2，符合題意；當(dāng)1<<e，即<a<1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)在1，e上的最小值為f<f(1)2，不合題意當(dāng)e，即0<a時(shí)，f(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在1，e上的最小值為f(e)<f(1)2，不合題意綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào) (2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()A1ln 2B1ln 2C. D.解析：選C.因?yàn)閒(x)x2ln x(x>0)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)>0，則x>；令f(x)<0，則0<x<，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值(也是最小值)為ln ，故選C.2設(shè)函數(shù)f(x)2(x2)exax22ax3，若x1是f(x)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：f(x)2(x1)ex2ax2a2(x1)(exa)；當(dāng)a0時(shí)，exa>0f(x)0x1，x(，1)f(x)<0；x(1，)f(x)>0；x1是f(x)的極小值點(diǎn)，所以a0符合題意；當(dāng)0<a<e時(shí)，f(x)0x11或x2ln a，且ln a<1；x(，ln a)f(x)>0；x(ln a，1)f(x)<0；x(1，)f(x)>0；x1是f(x)的極小值點(diǎn)，所以0<a<e符合題意；當(dāng)a>e時(shí)，f(x)0x11或x2ln a，且ln a>1；x(，1)f(x)>0；x(1，ln a)f(x)<0；x(ln a，)f(x)>0；x1是f(x)的極大值點(diǎn)，所以a>e不符合題意；當(dāng)ae時(shí)，f(x)2(x1)(exe)0，f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，e)一、選擇題1(一題多解)(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(3，1)B(0，1)C(1，3) D(0，3)解析：選B.法一：令y1<0，得3<x<1，又x>0，故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)故選B.法二：由題意知x>0，故排除A、C選項(xiàng)；又f(1)4<f(2)2ln 2，故排除D選項(xiàng)故選B.2(2019·昆明市診斷測(cè)試)已知函數(shù)f(x)(x2m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A4e2 B4e2Ce2 De2解析：選A.f(x)(x22xm)ex.由題意知，f(1)(3m)e3e，所以m0，f(x)(x22x)ex.當(dāng)x>0或x<2時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)2<x<0時(shí)，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極大值，f(2)4e2.故選A.3若直線yax是曲線y2ln x1的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為()Ae B2eCe D2e解析：選B.依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則有y|xx0，于是有解得4(2019·江西七校第一次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)2x33mx26x在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，1 B(，1)C(，2 D(，2)解析：選C.因?yàn)閒(x)6(x2mx1)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，所以f(x)6(x2mx1)0在(1，)上恒成立，即x2mx10在(1，)上恒成立，所以mx在(1，)上恒成立，即m(x)min(x(1，)，因?yàn)楫?dāng)x(1，)時(shí)，x>2，所以m2.故選C.5如果函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yf(x)有極小值；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)有極大值則上述判斷中正確的是()ABC D解析：選D.當(dāng)x(3，2)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，錯(cuò)；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2，3)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，錯(cuò)；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yf(x)有極大值，錯(cuò)；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)無極值，錯(cuò)故選D.6(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，若xf(x)f(x)ex(x2)且f(3)0，則不等式f(x)<0的解集為()A(0，2) B(0，3)C(2，3) D(3，)解析：選B.令g(x)xf(x)，x(0，)，則g(x)xf(x)f(x)ex(x2)，可知當(dāng)x(0，2)時(shí)，g(x)xf(x)是減函數(shù)，當(dāng)x(2，)時(shí)，g(x)xf(x)是增函數(shù)又f(3)0，所以g(3)3f(3)0.在(0，)上，不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，又g(0)0，所以f(x)<0的解集是(0，3)，故選B.二、填空題7(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)若函數(shù)f(x)ax的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過點(diǎn)(2，4)，則a_解析：f(x)a，f(1)a3，f(1)a3，故f(x)的圖象在點(diǎn)(1，a3)處的切線方程為y(a3)(a3)(x1)，又切線過點(diǎn)(2，4)，所以4(a3)a3，解得a2.答案：28設(shè)定義在R上的函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，則稱x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的“中值點(diǎn)”那么函數(shù)f(x)x33x在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”為_解析：由f(x)x33x求導(dǎo)可得f(x)3x23，設(shè)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”，則f(x0)1，即3x31，解得x0±.答案：±9已知函數(shù)f(x)x22ln x，g(x)x，若函數(shù)f(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：因?yàn)閒(x)x22ln x，所以f(x)2x(x>0)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，又當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)因?yàn)間(x)x，所以g(x)1.又函數(shù)f(x)與g(x)x有相同極值點(diǎn)，所以x1也是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)，所以g(1)1a0，解得a1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)g(x)取到極小值答案：1三、解答題10已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f(x)0得，xln 2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln 2，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(2，ln 2)時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln 2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2)11(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)a(x21)ln x(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0；(2)討論g(x)的單調(diào)性；解：(1)證明：f(x)，令s(x)ex1x，則s(x)ex11，當(dāng)x>1時(shí)，s(x)>0 ，所以s(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又s(1)0，所以s(x)>0，從而當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.(2)g(x)2ax(x>0)，當(dāng)a0時(shí)，g(x)<0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，由g(x)0得x .當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增12已知常數(shù)a0，f(x)aln x2x.(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于a時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2.當(dāng)a4時(shí)，f(x).所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增所以f(x)只有極小值，且在x2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)44ln 2.所以當(dāng)a4時(shí)，f(x)只有極小值44ln 2，無極大值(2)因?yàn)閒(x)，所以當(dāng)a>0，x(0，)時(shí)，f(x)>0，即f(x)在x(0，)上單調(diào)遞增，沒有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)>0得，x>，所以f(x)在上單調(diào)遞增；由f(x)<0得，x<，所以f(x)在上單調(diào)遞減所以當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的最小值為極小值，即falna.根據(jù)題意得falnaa，即aln(a)ln 20.因?yàn)閍<0，所以ln(a)ln 20，解得a2，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，0)- 13 -