（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 直線與圓學(xué)案 理

第1講直線與圓高考定位高考對本內(nèi)容的考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識.多為B級或C級要求.真 題 感 悟1.(2015·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_.解析直線mxy2m10恒過定點(2，1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r.故所求圓的標準方程為(x1)2y22.答案(x1)2y222.(2017·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，點P在圓O：x2y250上.若·20，則點P的橫坐標的取值范圍是_.解析設(shè)點P(x，y)，且A(12，0)，B(0，6)，則·(12x，y)·(x，6y)x(12x)y(y6)20，又x2y250，2xy50，則點P在直線2xy50上方的圓弧上(含交點).聯(lián)立解得x5或x1，結(jié)合圖形知，5x1.故點P橫坐標的取值范圍是5，1.答案5，13.(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的方程化為標準形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2.由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的范圍為22，22.考 點 整 合1.兩直線平行或垂直(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時，l1l2.(2)兩條直線垂直：對于兩條直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.特別地，當l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零時，l1l2.2.圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r；對于二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是3.直線方程的五種形式中只有一般式可以表示所有的直線.在利用直線方程的其他形式解題時，一定要注意它們表示直線的局限性.比如，根據(jù)“在兩坐標軸上的截距相等”這個條件設(shè)方程時一定不要忽略過原點的特殊情況.而題中給出直線方程的一般式，我們通常先把它轉(zhuǎn)化為斜截式再進行處理.4.處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化.5.直線與圓中常見的最值問題(1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值.(2)直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值.(3)過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得弦長的最值.(4)直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題.(5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值.熱點一直線與圓的基本問題考法1求圓的方程【例11】 (2018·揚州期末)圓心在直線2xy70上的圓C與y軸交于A(0，4)，B(0，2)兩點，則圓C的方程為_.解析因為圓C過點A(0，4)，B(0，2)，所以圓心C的縱坐標為3.又圓心C在直線2xy70上，所以圓心C為(2，3)，從而圓的半徑為rAC，故所求的圓的方程為(x2)2(y3)25.答案(x2)2(y3)25探究提高求具備一定條件的圓的方程時，其關(guān)鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩個點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用.考法2圓的切線問題【例12】 (1)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為_.(2)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_.解析(1)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小(D為切點)，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何知識，當OC所在直線與l垂直時，OD最小(D為切點)，即圓C的直徑最小，則OD，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為Sr2.(2)依題意得OO1A是直角三角形，且|m|3.OO1|m|5，SOO1A··OO1·OA·AO1，因此AB4.答案(1)(2)4探究提高(1)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.(2)過圓外一點求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理.考法3與圓有關(guān)的弦長問題【例13】 (1)(2018·全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則AB_.(2)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN_.解析(1)由題意知圓的方程為x2(y1)24，所以圓心坐標為(0，1)，半徑為2，則圓心到直線yx1的距離d，所以AB22.(2)由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以MN|y1y2|4.答案(1)2(2)4探究提高涉及直線被圓截得的弦長問題，一般有兩種求解方法：一是利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理d2r2求解；二是若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則AB|x1x2|.【訓(xùn)練1】 設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若AB2，則圓C的面積為_.解析圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，半徑r，C到直線yx2a的距離為d.又由AB2，得a22，解得a22，所以圓的面積為(a22)4.答案4熱點二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例2】 已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標為(3，0).(2)設(shè)線段AB的中點M的坐標為(x，y)，當線段AB不在x軸上時，有C1MAB，則kC1M·kAB1，即·1，整理得y2，又當直線l與圓C1相切時，易求得切點的橫坐標為.所以此時M的軌跡C的方程為y2.當線段AB在x軸上時，點M的坐標為(3，0)，也滿足式子y2.綜上，線段AB的中點M的軌跡C的方程為y2.(3)由(2)知點M的軌跡是以C為圓心，r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點)，且E，F(xiàn).又直線L：yk(x4)過定點D(4，0)，當直線L與圓C相切時，由，得k±，又kDEkDF，結(jié)合圖形可知當k時，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點.探究提高此類題易失分點有兩處：一是不會適時分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍時，定要注意“草圖不草”，如本題，畫成軌跡C時，若把端點E，F(xiàn)畫出實心點，借形解題時求出的斜率就會出錯.【訓(xùn)練2】 (1)(2018·常州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，若圓(x2)2(y2)21上存在點M，使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kxy30上，則實數(shù)k的最小值為_.(2)(2017·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知點P為函數(shù)y2ln x的圖象與圓M：(x3)2y2r2的公共點，且它們在點P處有公切線，若二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點O，P，M，則yf(x)的最大值為_.解析(1)圓(x2)2(y2)21關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(x2)2(y2)21，由題意得圓心(2，2)到直線kxy30的距離d1，解得k0，所以實數(shù)k的最小值為.(2)設(shè)P(x0，2ln x0)，x0>0，則函數(shù)y2ln x在點P處的切線斜率為，則·1，即為4ln x0x0(x03).由二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點O和M可設(shè)f(x)ax(x3)，代入點P(x0，2ln x0)，x0>0，得2ln x0ax0(x03).由比較可得a，則f(x)x(x3)，則f(x)maxf××.答案(1)(2)熱點三直線、圓與其他知識的交匯問題【例3】 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓1的右頂點，點D(1，0)，點P，B在橢圓上，.(1)求直線BD的方程；(2)求直線BD被過P，A，B三點的圓C截得的弦長；(3)是否存在分別以PB，PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由.解(1)因為且A(3，0)，D(1，0)，所以BPDA2，而B，P關(guān)于y軸對稱，所以點P的橫坐標為1，從而得P(1，2)，B(1，2)，所以直線BD的方程為xy10.(2)線段BP的垂直平分線方程為x0，線段AP的垂直平分線方程為yx1，所以圓C的圓心為(0，1)，且圓C的半徑為r，又圓心(0，1)到直線BD的距離為d，所以直線BD被圓C截得的弦長為24.(3)假設(shè)存在這樣的兩個圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，則點M一定在y軸上，點N一定在線段PA的垂直平分線yx1上，當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P，M，N在一條直線上，且PMPN.設(shè)M(0，b)，則N(2，4b)，根據(jù)N(2，4b)在直線yx1上，解得b3.所以M(0，3)，N(2，1)，PMPN，故存在這樣的兩個圓，且方程分別為x2(y3)22，(x2)2(y1)22.探究提高求圓中弦長問題，多用垂徑定理，先計算圓心到直線的距離，再利用弦長公式AB2；求圓的方程問題常見于找出圓心和半徑，對于兩圓的位置關(guān)系則多借助于幾何關(guān)系進行判定.【訓(xùn)練3】 (2018·南通二模)在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓C：(x4)2(ya)216上的兩個動點，且AB2.若直線l：y2x上存在唯一的一個點P，使得，則實數(shù)a的值為_.解析法一設(shè)AB的中點M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB2得，CM，即點M的軌跡為(x04)2(y0a)25.又因為，所以，即(x0x，y0y)，從而則動點P的軌跡方程為(x2)25，又因為直線l上存在唯一的一個點P，所以直線l和動點P的軌跡(圓)相切，則，解得a2或a18.法二由題意，圓心C到直線AB的距離d，則AB中點M的軌跡方程為(x4)2(ya)25.由得2，所以.連接CM并延長交l于點N，則CN2CM2.故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個點N，使得CN2，所以點C到直線l的距離為2，解得a2或a18.答案2或181.由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況.2.確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質(zhì)：(1)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長、弦心距、圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱.3.直線與圓中常見的最值問題圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.4.兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程.一、填空題1.(2018·天津卷)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_.解析設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則解得D2，E0，F(xiàn)0，即圓的方程為x2y22x0.答案x2y22x02.(2014·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_.解析圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.答案3.(2018·泰州期末)在平面直角坐標系xOy中，已知過點A(2，1)的圓C與直線xy1相切，且圓心在直線y2x上，則圓C的標準方程為_.解析法一(幾何法)點A(2，1)在直線xy1上，故點A是切點.過點A(2，1)與直線xy10垂直的直線方程為xy3，由解得所以圓心C(1，2).又AC，所以圓C的標準方程為(x1)2(y2)22.法二(方程法)由圓心在直線y2x上，可設(shè)圓心為(a，2a)，圓的標準方程為(xa)2(y2a)2r2(r0).要確定兩個待定量a，r2的值，只需建立兩個含a，r2的等式，建立方程組求解.由圓C過點A(2，1)，且與直線xy1相切，得即解得所以圓C的標準方程為(x1)2(y2)22.答案(x1)2(y2)224.(2017·宿遷模擬)已知A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，則|的取值范圍為_.解析設(shè)AB的中點為C，由垂徑定理可得CC1AB，則CC1，即點C的軌跡方程是x2y2，C1C25，則PCmax51，PCmin51，所以|2|7，13.答案7，135.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x1)2y22，點A(2，0)，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則點M的縱坐標的取值范圍是_.解析設(shè)M(x，y)，因為MA2MO210，所以(x2)2y2x2y210，化簡得x2y22x30，則圓C：x2y22x10與圓C：x2y22x30有公共點，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線的方程為x，代入x2y22x30可得y，所以點M的縱坐標的取值范圍是.答案6.(2018·全國卷改編)直線xy20分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是_.解析由題意知圓心的坐標為(2，0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.易知A(2，0)，B(0，2)，所以AB2，所以2SABP6.答案2，67.過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F作圓x2y2a2的切線，切點為E，直線EF交雙曲線右支于點P，若()，則雙曲線的離心率是_.解析如圖，()，E為FP的中點，又O為FF的中點，OE為PFF的中位線，OEPF，OEPF，OEa，PFa，PF切圓O于E，OEPF，PFPF，F(xiàn)F2c，PFPF2a，PF2aa3a，由勾股定理得a29a24c2，10a24c2，e.答案8.直線axby1與圓x2y21相交于A，B兩點(其中a，b是實數(shù))，且AOB是直角三角形(O是坐標原點)，則點P(a，b)與點(0，1)之間距離的最小值為_.解析根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過點O作OCAB于C，因為AOB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點，又OAOB1，根據(jù)勾股定理得AB，OCAB.圓心到直線的距離為，即2a2b22，即a2b210.b.則點P(a，b)與點(0，1)之間距離d.設(shè)f(b)b22b2(b2)2，此函數(shù)為對稱軸為b2的開口向上的拋物線，當b<2時，函數(shù)為減函數(shù).f()32，d的最小值為1.答案1二、解答題9.已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點.(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標原點，求MN.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因為l與C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.解方程易得：x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以MN2.10.(2013·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.解(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3，2)，于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0，3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為MA2MO，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍是.11.(2018·鹽城三模)如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，P(2，3)是橢圓C上的一點，且PF1x軸.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)圓M：(xm)2y2r2(r0).設(shè)圓M與線段PF2交于A，B兩點，若，且AB2，求r的值；設(shè)m2，過點P作圓M的兩條切線分別交橢圓C于G，H兩點(異于點P).試問：是否存在這樣的正數(shù)r，使得G，H兩點恰好關(guān)于坐標原點O對稱？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.解(1)因為點P(2，3)是橢圓C上一點，且PF1x軸，所以橢圓的半焦距c2，由1，得y±，所以3，化簡得a23a40，解得a4(舍負)，所以b212，所以橢圓C的方程為1.(2)因為，所以，即，所以線段PF2與線段AB的中點重合，記為點Q，由(1)知Q，因為圓M與線段PF2交于兩點A，B，所以kMQ·kABkMQ·kPF21，所以·1，解得m，所以MQ，故r.由G，H兩點恰好關(guān)于原點對稱，設(shè)G(x0，y0)，則H(x0，y0)，不妨設(shè)x00，因為P(2，3)，m2，所以兩條切線的斜率均存在，設(shè)過點P與圓M相切的直線斜率為k，則切線方程為y3k(x2)，即kxy2k30，由該直線與圓M相切，得r，即k±，所以兩條切線的斜率互為相反數(shù)，即kPGkPH，所以，化簡得x0y06，即y0，代入1，化簡得x16x480，解得x02(舍)或x02，所以y0，所以G(2，)，H(2，)，所以kPG，所以r.故存在滿足條件的r，且r.14