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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換《教案》

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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換教案1公式的常見變形(1)tan tan tan()(1tan tan ),tan tan tan()(1tan tan )(2)sin2,cos2,sin cos sin 2.(3)1cos 2cos2,1cos 2sin2,1sin (sincos)2,1sin (sincos)2.2輔助角公式asin xbcos xsin(x),其中sin ,cos .【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)y3sin x4cos x的最大值是7.(×)(2)設(shè)(,2),則 sin.(×)(3)在非直角三角形中有:tan Atan Btan Ctan Atan Btan C()(4)設(shè)<<3,且|cos |,那么sin的值為.(×)(5)公式asin xbcos xsin(x)中的取值與a,b的值無關(guān)(×)(6)函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x在區(qū)間,上的最大值為.()1化簡: .答案sin 解析原式sin .2已知cos ,(,2),則cos .答案解析(,),cos.3如果(,),且sin ,那么sin()cos() .答案解析由已知cos ,sin()cos()sin()cos .4(xx·上海)函數(shù)y12cos22x的最小正周期是 答案解析由題意ycos 4x,T.題型一三角函數(shù)式的化簡求值例1 (1)已知0<<,化簡: .(2)已知sin cos ,且(0,),則的值為 答案(1)cos (2)解析(1)原式cos·.因?yàn)?<<,所以0<<,所以cos>0,所以原式cos .(2)方法一sin cos ,sin cos ,sin(),sin().又(0,),(,),cos(),cos 2sin2()2sin()cos()2××,.方法二sin cos ,sin cos ,(sin cos )212sin cos ,2sin cos ,(0,),sin cos ,(sin cos ).思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則,一看角,二看名,三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等),尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)(1)若,則tan 2 .(2)設(shè)為銳角,若cos(),則sin(2)的值為 答案(1)(2)解析(1),tan 2,tan 2.(2)為銳角,cos(),sin(),sin(2)2sin()cos(),cos(2)2cos2()1,sin(2)sin(2)sin(2)cos(2).題型二三角函數(shù)的求角問題例2(1)已知銳角,滿足sin ,cos ,則 .(2)已知函數(shù)f(x)tan(2x),若(0,)且f()2cos 2,則 .答案(1)(2)解析(1)由sin ,cos 且,為銳角,可知cos ,sin ,故cos()cos cos sin sin ××,又0<<,故.(2)由f()2cos 2,得tan()2cos 2,2(cos2sin2),整理得2(cos sin )(cos sin )(0,),sin cos 0.(cos sin )2,即sin 2.由(0,),得2(0,),2,即.思維升華(1)由三角函數(shù)值求角,一定要考慮角的范圍;(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,遵照以下原則:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,),選余弦較好;若角的范圍為,選正弦較好(1)已知sin ,sin(),均為銳角,則角 .(2)在ABC中,tan Atan Btan A·tan B,則C .答案(1)(2)解析(1)、均為銳角,<<.又sin(),cos().又sin ,cos ,sin sin()sin cos()cos sin()××().(2)由已知可得tan Atan B(tan A·tan B1),tan(AB),又0<AB<,AB,C.題型三三角變換的應(yīng)用例3已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,)(1)求sin 2tan 的值;(2)若函數(shù)f(x)cos(x)cos sin(x)sin ,求函數(shù)yf(2x)2f2(x)在區(qū)間0,上的取值范圍解(1)角終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,),sin ,cos ,tan ,sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x,ycos(2x)2cos2xsin 2x1cos 2x2sin(2x)1,0x,02x,2x,sin(2x)1,22sin(2x)11,故函數(shù)yf(2x)2f2(x)在區(qū)間0,上的取值范圍是2,1思維升華三角變換和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合是高考的一個熱點(diǎn),解題時要注意觀察角、式子間的聯(lián)系,利用整體思想解題(1)函數(shù)f(x)sin xcos(x)的最大值為 (2)函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)f(x)sin xcos cos xsin sin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x),T.二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換典例:(xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(>0),且yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值(1)求求f(x)的周期對稱中心與對稱軸的最近距離T求出1(2)求f(x)在,上的最值由(1)得f(x)sin(2x)求f(x)sin(2x)在,上的最值利用換元思想,將2x作為一個整體求2x的范圍由x2x結(jié)合正弦函數(shù)的圖象1f(x).規(guī)范解答解(1)f(x)sin2xsin xcos x×sin 2xcos 2xsin 2xsin.依題意知4×,>0,所以1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時,2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和1.溫馨提醒(1)討論三角函數(shù)性質(zhì)要先利用三角變換將函數(shù)化成yAsin(x)的形式;(2)解題中將2x視為一個整體,可以借助圖象求函數(shù)最值.方法與技巧1三角函數(shù)的求值與化簡要有聯(lián)系的觀點(diǎn),注意觀察角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系,然后進(jìn)行變換2利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍3與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)Asin(x)的形式,然后借助三角函數(shù)圖象解決失誤與防范1利用輔助角公式,asin xbcos x轉(zhuǎn)化時一定要嚴(yán)格對照和差公式,防止搞錯輔助角2計(jì)算形如ysin(x), xa,b形式的函數(shù)最值時,不要將x的范圍和x的范圍混淆.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:40分鐘)1(xx·課標(biāo)全國)已知sin 2,則cos2 .答案解析因?yàn)閏os2,所以cos2.2若sin ,則sin()cos .答案解析sin()cos sin cos cos sincos ×.3在ABC中,tan B2,tan C,則A .答案解析tan Atan(BC)tan(BC)1.又A為ABC的內(nèi)角故A.4若tan ,(,),則sin(2)的值為 答案解析由tan 得,sin 2.(,),2(,),cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2sin ×().5已知cos 2,則sin4cos4的值為 答案解析sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin221(1cos22).6已知sin(45°),0°<<90°,則cos .答案解析0°<<90°,45°<45°<45°,cos(45°),cos cos(45°)45°cos(45°)cos 45°sin(45°)sin 45°.7設(shè)x,則函數(shù)y的最小值為 答案解析ytan x.x(0,),tan x>0.tan x2.(當(dāng)tan x,即x時取等號)即函數(shù)的最小值為.8已知tan()3,則sin 22cos2的值為 答案解析tan()3,3,解得tan .sin 22cos2sin 2cos 21111.9已知tan ,cos ,(,),(0,),求tan()的值,并求出的值解由cos ,(0,),得sin ,tan 2.tan()1.(,),(0,),<<,.10已知函數(shù)f(x)2sin(x),xR.(1)求f()的值;(2)設(shè),0,f(3),f(32),求cos()的值解(1)由題設(shè)知:f()2sin()2sin.(2)由題設(shè)知:f(3)2sin ,f(32)2sin()2cos ,即sin ,cos ,又,0,cos ,sin ,cos()cos cos sin sin ××.B組專項(xiàng)能力提升(時間:25分鐘)1cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80° .答案解析原式.2定義運(yùn)算adbc,若cos ,0<<<,則 .答案解析依題意有sin cos cos sin sin(),又0<<<,0<<,故cos(),而cos ,sin ,于是sin sin()sin cos()cos sin()××,故.3sin(),則sin 2 .答案解析sin()sin cos ,sin cos ,(sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 2,故sin 2.4(xx·北京)已知函數(shù)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若,且f(),求的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin,f(x)的最小正周期T,最大值為.(2)由f(),得sin1.,則<4<,所以4,故.5(xx·天津)已知函數(shù)f(x)cos xsin(x)cos2x,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在閉區(qū)間,上的最大值和最小值解(1)由已知,有f(x)cos x·(sin xcos x)cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期T.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間,上是減函數(shù),在區(qū)間,上是增函數(shù),f(),f(),f(),所以,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間,上的最大值為,最小值為.

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