（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線學(xué)案 文 新人教A版

第7節(jié)拋物線最新考綱1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).知 識 梳 理1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：M|MF|d(d為點M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點O(0，0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下常用結(jié)論與微點提醒1.通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y22px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.解析(1)當(dāng)定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.(2)方程yax2(a0)可化為x2y，是焦點在y軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y.(3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.以x1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x解析由準(zhǔn)線x1知，拋物線方程為：y22px(p>0)且1，p2，拋物線的方程為y24x.答案D3.(2018·黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點到直線xm的距離為4，則m的值為()A.5 B.3或5C.2或6 D.6解析拋物線y24x的焦點為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4，m3或5，故選B.答案B4.(選修11P64A4(2)改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析很明顯點P在第三象限，所以拋物線的焦點可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上.當(dāng)焦點在x軸負(fù)半軸上時，設(shè)方程為y22px(p0)，把點P(2，4)的坐標(biāo)代入得(4)22p×(2)，解得p4，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x；當(dāng)焦點在y軸負(fù)半軸上時，設(shè)方程為x22py(p0)，把點P(2，4)的坐標(biāo)代入得(2)22p×(4)，解得p，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x或x2y.答案y28x或x2y5.已知拋物線方程為y28x，若過點Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_.解析設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0時，顯然滿足題意；當(dāng)k0時，(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范圍是1，1.答案1，1考點一拋物線的定義及應(yīng)用【例1】 (1)已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點D到y(tǒng)軸的距離為()A. B.1 C. D.(2)若拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3，2)，則|PA|PF|取最小值時點P的坐標(biāo)為_.解析(1)因為拋物線y2x的準(zhǔn)線方程為x.如圖所示，過點A，B，D分別作直線x的垂線，垂足分別為G，E，M，因為|AF|BF|3，根據(jù)拋物線的定義，|AG|AF|，|BE|BF|，所以|AG|BE|3，所以|MD|，即線段AB的中點D到y(tǒng)軸的距離為.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y±.>2，A在拋物線內(nèi)部，如圖.設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值為，此時P點縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，點P的坐標(biāo)為(2，2).答案(1)C(2)(2，2)規(guī)律方法應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點(1)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)注意靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0|或|PF|y0|.【訓(xùn)練1】 (1)動圓過點(1，0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_.(2)(2017·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_.解析(1)設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.(2)如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2.點M為FN的中點，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案(1)y24x(2)6考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例2】 (1)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()A.x2y B.x2yC.x28y D.x216y(2)(2016·全國卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點.已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A.2 B.4 C.6 D.8解析(1)1(a0，b0)的離心率為2，2，即4，.x22py(p0)的焦點坐標(biāo)為，1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，即y±x.由題意得2，解得p8.故C2的方程為x216y.(2)不妨設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，圓的方程為x2y2r2(r>0)，|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D，點A，D在圓x2y2r2上，85，解得p4(負(fù)值舍去)，故C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.答案(1)D(2)B規(guī)律方法1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此.【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_.(2)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點.若|AF|3，則AOB的面積為_.解析(1)設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，則直線的斜率為，故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4，故，即p，從而拋物線的方程為y23x.(2)如圖，由題意知，拋物線的焦點F的坐標(biāo)為(1，0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點A到準(zhǔn)線x1的距離為3，所以點A的橫坐標(biāo)為2，將x2代入y24x得y28，由圖知點A的縱坐標(biāo)為y2，所以A(2，2)，所以直線AF的方程為y2(x1)，聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B，所以SAOB×1×|yAyB|.答案(1)y23x(2)考點三直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究)命題角度1直線與拋物線的公共點(交點)問題【例31】 (2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p>0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P，又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N為OH的中點，即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點，理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其它公共點.命題角度2與拋物線弦長(中點)有關(guān)的問題【例32】 (2017·北京卷)已知拋物線C：y22px過點P(1，1)，過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p，所以拋物線C的方程為y2x，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)證明當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零.由題意，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y得4k2x2(4k4)x10.考慮(4k4)24×4k216(12k)，由題可知有兩交點，所以判別式大于零，所以k<.則x1x2，x1x2.因為點P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為yx，點A的坐標(biāo)為(x1，x1).直線ON的方程為yx，點B的坐標(biāo)為.因為y12x10.所以y12x1.故A為線段BM的中點.規(guī)律方法1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.3.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.【訓(xùn)練3】 (2017·全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10解析拋物線C：y24x的焦點為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l2直線的斜率為，故l1：yk(x1)，l2：y(x1).由消去y得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由拋物線定義可知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|84k28216.當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時取等號.故|AB|DE|的最小值為16.答案A基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2018·太原月考)若拋物線yax2的焦點坐標(biāo)是(0，1)，則a等于()A.1 B. C.2 D.解析因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以其焦點坐標(biāo)為，則有1，解得a.答案D2.(2016·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k()A. B.1 C. D.2解析由題可知拋物線的焦點坐標(biāo)為(1，0)，由PFx軸知，|PF|2，所以P點的坐標(biāo)為(1，2)，代入曲線y(k>0)得k2.答案D3.(2018·張掖診斷)過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|PQ|()A.9 B.8 C.7 D.6解析拋物線y24x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案B4.(2018·莆田質(zhì)檢)設(shè)拋物線C：y23x的焦點為F，點A為C上一點，若|FA|3，則直線FA的傾斜角為()A. B. C.或 D.或解析如圖，作AHl于H，則|AH|FA|3，作FEAH于E，則|AE|3，在RtAEF中，cosEAF，EAF，即直線FA的傾斜角為，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為.答案C5.(2018·衡水調(diào)研)已知拋物線y24x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則yy的最小值為()A.12 B.24 C.16 D.32解析當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為x4，由得y14，y24，yy32.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為yk(x4)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y23232，綜上可知，yy32.yy的最小值為32.答案D二、填空題6.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)圓(x1)2y21的圓心是拋物線y2px(p<0)的焦點，則p_.解析由題意知圓心為(1，0)，則1，解得p4.答案47.(2018·黃山模擬)已知拋物線C：y28x，焦點為F，點P(0，4)，點A在拋物線上，當(dāng)點A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點A到點P的距離之和最小時，延長AF交拋物線于點B，則AOB的面積為_.解析F(2，0)，設(shè)A在拋物線準(zhǔn)線上的投影為A，由拋物線的定義知，|AA|AF|，則點A到點P(0，4)的距離與A到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d|AP|AF|PF|2，當(dāng)F，A，P三點共線時d取得最小值，此時直線AB的斜率為2，方程為y2(x2)，即x2，代入拋物線C：y28x，可得y24y160，解得y22或22.AOB的面積為×2×|(22)(22)|4.答案48.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬_米.解析建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物方程為x22py(p0).由題意將點A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設(shè)B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2米.答案2三、解答題9.已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積.解(1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8，0).故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.10.(2017·全國卷)設(shè)A，B為曲線C：y上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24.于是直線AB的斜率k1.(2)由y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2，1).設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點為N(2，2m)，|MN|m1|.將yxm代入y得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時，x1，22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為xy70.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2018·南昌模擬)已知拋物線C1：yx2(p>0)的焦點與雙曲線C2：y21的右焦點的連線交C1于點M(M在第一象限)，若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A. B. C. D.解析由拋物線C1：yx2(p>0)得x22py(p>0)，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.由y21得a，b1，c2.所以雙曲線的右焦點為(2，0).則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為.即px4y2p0.設(shè)M(x0>0)，則C1在點M處的切線的斜率為.由題意可知，解得x0p，所以M，把M點的坐標(biāo)代入得p2p0.解得p.答案D12.已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為2xy40，在拋物線上有一動點A，點A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則mn的最小值為_.解析如圖，過A作AHl，AN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，則|AH|AN|mn1，連接AF，則|AF|AH|mn1，由平面幾何知識，知當(dāng)A，F(xiàn)，H三點共線時，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值為F到直線l的距離，即，即mn的最小值為1.答案113.已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.證明(1)由已知得拋物線焦點坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線方程為xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2p2.因為y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因為x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值).(3)設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.14