2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-1 坐標(biāo)系《教案》
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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-1 坐標(biāo)系《教案》
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-1 坐標(biāo)系教案1平面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P(x,y),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換2極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面上取一個定點(diǎn)O,自點(diǎn)O引一條射線Ox,同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向?yàn)檎较?,這樣就建立了一個極坐標(biāo)系點(diǎn)O稱為極點(diǎn),射線Ox稱為極軸平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的角度來刻畫(如圖所示)這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(,)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)稱為點(diǎn)M的極徑,稱為點(diǎn)M的極角由極徑的意義可知0.當(dāng)極角的取值范圍是0,2)時,平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(,) (0)建立一一對應(yīng)的關(guān)系我們設(shè)定,極點(diǎn)的極坐標(biāo)中,極徑0,極角可取任意角(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(,)由圖可知下面關(guān)系式成立:或.這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式3常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓r(0<2)圓心為(r,0),半徑為r的圓2rcos_(<)圓心為(r,),半徑為r的圓2rsin_(0<)過極點(diǎn),傾斜角為的直線(R) 或(R)過點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線cos a(<<)過點(diǎn)(a,),與極軸平行的直線sin_a(0<<)1求在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)(2,)且與極軸平行的直線方程解點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(2cos ,2sin ),即(0,2)過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y2.即為sin 2.2在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3,)、(4,),求AOB(其中O為極點(diǎn))的面積解由題意知A、B的極坐標(biāo)分別為(3,)、(4,),則AOB的面積SAOBOA·OB·sinAOB×3×4×sin 3.3在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓4sin 和直線sin a相交于A,B兩點(diǎn)當(dāng)AOB是等邊三角形時,求a的值解由4sin 可得x2y24y,即x2(y2)24.由sin a可得ya.設(shè)圓的圓心為O,ya與x2(y2)24的兩交點(diǎn)A,B與O構(gòu)成等邊三角形,如圖所示由對稱性知OOB30°,ODa.在RtDOB中,易求DBa,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,a)又B在x2y24y0上,(a)2a24a0,即a24a0,解得a0(舍去)或a3.題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程(2)在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)解(1)y1x化成極坐標(biāo)方程為cos sin 1,即.0x1,線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn)),0.(2)因?yàn)閤cos ,ysin ,由sin2cos ,得2sin2cos ,所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2x.由sin 1,得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y1.由得故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)思維升華(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件:極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;極軸與x軸的正半軸重合;取相同的單位長度(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易,只要運(yùn)用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可;而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些,解此類問題常通過變形,構(gòu)造形如cos ,sin ,2的形式,進(jìn)行整體代換(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線C的極坐標(biāo)方程(2)求在極坐標(biāo)系中,圓2cos 垂直于極軸的兩條切線方程解(1)將x2y22,xcos 代入x2y22x0,得22cos 0,整理得2cos .(2)由2cos ,得22cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2y22x0,即(x1)2y21,其垂直于x軸的兩條切線方程為x0和x2,相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為(R)和cos 2.題型二求曲線的極坐標(biāo)方程例2將圓x2y21上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出曲線C的方程;(2)設(shè)直線l:2xy20與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程解(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x,y),依題意,得由xy1得x2()21,即曲線C的方程為x21.(2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),所求直線斜率為k,于是所求直線方程為y1(x),化為極坐標(biāo)方程,并整理得2cos 4sin 3,即.思維升華求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,設(shè)P(,)是曲線上任意一點(diǎn);(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件,列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式;(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡,得出曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(,),圓心為直線sin與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程解在sin中,令0,得1,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)如圖所示,因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P,所以圓C的半徑PC 1,于是圓C過極點(diǎn),所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例3(xx·課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x2,圓C2:(x1)2(y2)21,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積解(1)因?yàn)閤cos ,ysin ,所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2,C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半徑為1,所以C2MN為等腰直角三角形,所以C2MN的面積為.思維升華(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時,可以先化為直角坐標(biāo)方程;(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時,一定要注意變量的范圍,注意轉(zhuǎn)化的等價性(xx·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中,求直線sin()2被圓4截得的弦長解由sin()2,得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216,由圓中的弦長公式得:224.故所求弦長為4.在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時,將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,有助于對方程所表示的曲線的認(rèn)識,從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的,這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用A組專項(xiàng)能力提升(時間:50分鐘)1(xx·廣東)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)A到直線l的距離解依題可知直線l:2sin和點(diǎn)A可化為l:xy10和A(2,2),所以點(diǎn)A到直線l的距離為d.2在極坐標(biāo)系(,)(02)中,求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解曲線(cos sin )1化為直角坐標(biāo)方程為xy1,(sin cos )1化為直角坐標(biāo)方程為yx1.聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1),對應(yīng)的極坐標(biāo)為.3在極坐標(biāo)系中,已知圓3cos 與直線2cos 4sin a0相切,求實(shí)數(shù)a的值解圓3cos 的直角坐標(biāo)方程為x2y23x,即2y2,直線2cos 4sin a0的直角坐標(biāo)方程為2x4ya0.因?yàn)閳A與直線相切,所以,解得a3±3.4在極坐標(biāo)系中,求曲線2cos 關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程解以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線2cos 的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21,且圓心為(1,0)直線的直角坐標(biāo)方程為yx,因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于yx的對稱點(diǎn)為(0,1),所以圓(x1)2y21關(guān)于yx的對稱曲線為x2(y1)21.所以曲線2cos 關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為2sin .5在極坐標(biāo)系中,P是曲線C1:12sin 上的動點(diǎn),Q是曲線C2:12cos()上的動點(diǎn),求PQ的最大值解對曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化:12sin ,212sin ,x2y212y0,即x2(y6)236.對曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化:12cos(),212(cos cossin sin),x2y26x6y0,(x3)2(y3)236,PQmax6618.6在極坐標(biāo)系中,O是極點(diǎn),設(shè)A(4,),B(5,),求AOB的面積解如圖所示,AOB2,OA4,OB5,故SAOB×4×5×sin 5.B組專項(xiàng)能力提升(時間:30分鐘)7已知P(5,),O為極點(diǎn),求使POP為正三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)解設(shè)P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,)POP為正三角形,如圖所示,POP.或.又5,P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(5,)或(5,)8在極坐標(biāo)系中,判斷直線cos sin 10與圓2sin 的位置關(guān)系解直線cos sin 10可化成xy10,圓2sin 可化為x2y22y,即x2(y1)21.圓心(0,1)到直線xy10的距離d0<1.故直線與圓相交9在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1,);N的直角坐標(biāo)為(2,0);P的直角坐標(biāo)為(3,)(2)kMN,kNP.kMNkNP,M、N、P三點(diǎn)在一條直線上10在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos()1,M,N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求M、N的極坐標(biāo);(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1,即xy2.當(dāng)0時,2,所以M(2,0)當(dāng)時,所以N(,)(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,)所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,)則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,),所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)