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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1

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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1 命題的定義及形式觀察下列語句的特點(diǎn):兩個(gè)全等三角形的面積相等;y2x是一個(gè)增函數(shù);請(qǐng)把門關(guān)上!ytan x的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)嗎?若x>2 013,則x>2 014.問題1:上述哪幾個(gè)語句能判斷為真?提示:.問題2:上述哪幾個(gè)語句能判斷為假?提示:.問題3:上述哪幾個(gè)語句不是命題?你知道是什么原因嗎?提示:.因?yàn)樗鼈兌疾荒芘袛嗾婕賳栴}4:語句的條件和結(jié)論分別是什么?提示:條件為“x>2 013”,結(jié)論為“x>2 014”1命題(1)可以判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句叫作命題(2)判斷為真的語句叫作真命題;判斷為假的語句叫作假命題2命題的形式數(shù)學(xué)中,通常把命題表示成“若p,則q”的形式,其中,p是條件,q是結(jié)論.四種命題及其關(guān)系觀察下列四個(gè)命題:若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù);若f(x)不是正弦函數(shù),則f(x)不是周期函數(shù);若f(x)不是周期函數(shù),則f(x)不是正弦函數(shù)問題1:命題與命題的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系?提示:命題的條件是命題的結(jié)論,且命題的結(jié)論是命題的條件;對(duì)于命題,其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定;對(duì)于命題,其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定問題2:命題的真假性相同嗎?命題的真假性相同嗎?提示:命題同為真,命題同為假1四種命題(1)互逆命題:一般地,對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題其中一個(gè)命題叫作原命題,另一個(gè)命題叫作原命題的逆命題(2)互否命題:對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定,那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互否命題如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題,那么另一個(gè)叫作原命題的否命題(3)互為逆否命題:對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定,把這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題,那么另一個(gè)叫作原命題的逆否命題(4)四種命題的條件、結(jié)論之間的關(guān)系如表所示:命題條件結(jié)論原命題pq逆命題qp否命題p的否定q的否定逆否命題q的否定p的否定2四種命題間的關(guān)系原命題和其逆否命題為互為逆否命題,否命題與逆命題為互為逆否命題,互為逆否的兩個(gè)命題真假性相同1判斷一個(gè)語句是否為命題關(guān)鍵看它是否符合兩個(gè)條件:一是可以判斷真假,二是用文字或符號(hào)表述的語句祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題2寫四種命題時(shí),一定要先找出原命題的條件和結(jié)論,根據(jù)條件和結(jié)論的變化分別得到逆命題、否命題、逆否命題3互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同 命題的概念及真假判斷例1判斷下列語句是否為命題,若是,請(qǐng)判斷真假并改寫成“若p,則q”的形式(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎?(2)一個(gè)正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù);(3)三角形中,大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊;(4)當(dāng)xy是有理數(shù)時(shí),x,y都是有理數(shù);(5)1232 014;(6)這盆花長(zhǎng)得太好了!思路點(diǎn)撥根據(jù)命題的概念進(jìn)行判斷精解詳析(1)(5)(6)未涉及真假,都不是命題(2)是命題因?yàn)?既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù),故它是假命題此命題可寫成“若一個(gè)數(shù)為正整數(shù),則它不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)”(3)是真命題此命題可寫成“在三角形中,若一條邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角,則這條邊大于另一邊”(4)是假命題此命題可寫成“若xy是有理數(shù),則x,y都是有理數(shù)”一點(diǎn)通1判斷語句是否為命題的關(guān)鍵是看該語句是否能判斷真假2在說明一個(gè)命題是真命題時(shí),應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明,而要說明命題是假命題,只需舉一個(gè)反例即可1“紅豆生南國(guó),春來發(fā)幾枝?愿君多采擷,此物最相思”這是唐代詩人王維的詩相思,在這四句詩中,可以作為命題的是()A紅豆生南國(guó)B春來發(fā)幾枝C愿君多采擷 D此物最相思解析:“紅豆生南國(guó)”是陳述句,所述事件在唐代是事實(shí),所以本句是命題,且是真命題;“春來發(fā)幾枝”是疑問句,“愿君多采擷”是祈使句,“此物最相思”是感嘆句,都不能判斷真假,不是命題,故選A.答案:A2給定下列命題:若k0,則方程x22xk0有實(shí)數(shù)根;若ab0,cd0,則acbd;對(duì)角線相等的四邊形是矩形;若xy0,則x,y中至少有一個(gè)為0.其中是真命題的是()A BC D解析:中44(k)44k0,所以是真命題;由不等式的乘法性質(zhì)知命題正確,所以是真命題;如等腰梯形對(duì)角線相等,不是矩形,所以是假命題;由等式性質(zhì)知命題正確,所以是真命題,故選B.答案:B3將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假(1)偶數(shù)可被2整除;(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱解:(1)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù),則它可以被2整除真命題;(2)若一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù),則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱真命題.四種命題及其關(guān)系例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷其真假(1)若q<1,則方程x22xq0有實(shí)根;(2)若ab0,則a0;(3)若x2y20,則x,y全為零;(4)已知a,b,c為實(shí)數(shù),若ab,則acbc.思路點(diǎn)撥找出命題的條件p和結(jié)論q.根據(jù)四種命題的條件和結(jié)論的關(guān)系寫出其余三種命題精解詳析(1)逆命題:若方程x22xq0有實(shí)根,則q<1.假命題否命題:若q1,則方程x22xq0無實(shí)根,假命題逆否命題:若方程x22xq0無實(shí)根則q1,真命題(2)逆命題:若a0,則ab0,真命題否命題:若ab0,則a0,真命題逆否命題:若a0,則ab0,假命題(3)逆命題:若x,y全為零,則x2y20,真命題否命題:若x2y20,則x,y不全為零,真命題逆否命題:若x,y不全為零,則x2y20,真命題(4)逆命題:已知a,b,c為實(shí)數(shù),若acbc,則ab,假命題否命題:已知a,b,c為實(shí)數(shù),若ab,則acbc,假命題逆否命題:已知a,b,c為實(shí)數(shù),若acbc,則ab,真命題一點(diǎn)通1由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法:(1)交換原命題的條件和結(jié)論,得到逆命題;(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論,得到否命題;(3)交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時(shí)否定,得到逆否命題2原命題與其逆否命題真假相同;逆命題與否命題真假相同4有下列四個(gè)命題,其中真命題是()“若xy1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題;“正方形的四條邊相等”的逆命題;“若m2,則x2mx10有實(shí)根”的逆否命題;“若ABB,則AB”的逆否命題ABC D解析:逆命題:若x,y互為倒數(shù),則xy1.真命題逆命題:四條邊相等的四邊形是正方形假命題逆否命題:若方程x2mx10無實(shí)根,則m<2.真命題原命題為假命題,逆否命題也為假命題答案:C5寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題:(1)若,則sin cos ;(2)a,b,c,dR,若ac,bd,則abcd.解:(1)逆命題:若sin cos ,則;否命題:若,則sin cos ;逆否命題:若sin cos ,則.(2)逆命題:a,b,c,dR,若abcd,則ac,bd;否命題:a,b,c,dR,若ac或bd,則abcd;逆否命題:a,b,c,dR,若abcd,則ac或bd.6將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題(1)垂直于同一平面的兩條直線平行;(2)當(dāng)mn0時(shí),方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根解:(1)將命題寫成“若p,則q”的形式為:若兩條直線垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直線平行它的逆命題、否命題和逆否命題如下:逆命題:若兩條直線平行,則這兩條直線垂直于同一個(gè)平面否命題:若兩條直線不垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直線不平行逆否命題:若兩條直線不平行,則這兩條直線不垂直于同一個(gè)平面(2)將命題寫成“若p,則q”的形式為:若mn0,則方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根它的逆命題、否命題和逆否命題如下:逆命題:若方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根,則mn0.否命題:若mn0,則方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根逆否命題:若方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根,則mn0.逆否命題的應(yīng)用例3判斷命題“已知a,x為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空,則a1”的逆否命題的真假思路點(diǎn)撥本題可直接寫出其逆否命題判斷其真假,也可直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假精解詳析法一:其逆否命題為:已知a,x為實(shí)數(shù),如果a<1,則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集判斷如下:拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上,判別式(2a1)24(a22)4a7.因?yàn)閍<1,所以4a7<0,即<0.所以拋物線yx2(2a1)xa22與x軸無交點(diǎn),所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集,故逆否命題為真命題法二:先判斷原命題的真假因?yàn)閍,x為實(shí)數(shù),且關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空,所以(2a1)24(a22)0,即4a70,解得a.>1,a1.原命題為真又因?yàn)樵}與其逆否命題真假相同,所以逆否命題為真一點(diǎn)通由于互為逆否命題的兩個(gè)命題有相同的真假性,當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí),可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判斷該命題的真假7命題“若m>0,則x2xm0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題是_(填“真”或“假”)命題解析:當(dāng)m>0時(shí),14m>0,x2xm0有實(shí)數(shù)根原命題為真,故其逆否命題為真答案:真8證明:若a24b22a10,則a2b1.證明:“若a24b22a10,則a2b1”的逆否命題為“若a2b1,則a24b22a10”a2b1時(shí),a24b22a1(a1)2(2b)20.命題“若a2b1,則a24b22a10”為真命題由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知原命題正確1互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說兩個(gè)命題的關(guān)系,是相對(duì)而言的,把其中一個(gè)命題叫作原命題時(shí),另外三個(gè)命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題2寫四種命題時(shí),大前提應(yīng)保持不變判斷四種命題的真假時(shí),可以根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同來判斷 1命題“若x1,則x1”的否命題是()A若x1,則x1B若x1,則x1C若x1,則x1 D若x1,則x1解析:原命題的否命題是對(duì)條件“x1”和結(jié)論“x1”同時(shí)否定,即“若x1,則x1”,故選C.答案:C2給出下列三個(gè)命題:()“全等三角形的面積相等”的否命題;“若lg x20,則x1”的逆命題;“若xy,或xy,則|x|y|”的逆否命題其中真命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析:的否命題是“不全等的三角形面積不相等”,它是假命題;的逆命題是“若x1,則lg x20”,它是真命題;的逆否命題是“若|x|y|,則xy且xy”,它是假命題,故選B.答案:B3(湖南高考)命題“若,則tan 1”的逆否命題是()A若,則tan 1 B若,則tan 1C若tan 1,則 D若tan 1,則解析:以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題,即“若,則tan 1”的逆否命題是“若tan 1,則”答案:C4已知命題“若ab0,則a0或b0”,則下列結(jié)論正確的是()A真命題,否命題:“若ab0,則a0或b0”B真命題,否命題:“若ab0,則a0且b0”C假命題,否命題:“若ab0,則a0或b0”D假命題,否命題:“若ab0,則a0且b0”解析:逆否命題“若a0且b0,則ab0”,顯然為真命題,又原命題與逆否命題等價(jià),故原命題為真命題否命題為“若ab0,則a0且b0”,故選B.答案:B5已知命題:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并平分弦所對(duì)的弧若把上述命題改為“若p,則q”的形式,則p是_,q是_答案:一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對(duì)的弧6命題“若x2<4,則2<x<2”的逆否命題為_,為_(填“真、假”)命題答案:若x2或x2,則x24真7把命題“兩條平行直線不相交”寫成“若p,則q”的形式,并寫出其逆命題、否命題、逆否命題解:原命題:若直線l1與l2平行,則l1與l2不相交;逆命題:若直線l1與l2不相交,則l1與l2平行;否命題:若直線l1與l2不平行, 則l1與l2相交;逆否命題:若直線l1與l2相交,則l1與l2不平行8證明:已知函數(shù)f(x)是(,)上的增函數(shù),a,bR,若f(a)f(b)f(a)f(b),則ab0.證明:法一:原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(,)上的增函數(shù),a,bR,若ab<0,則f(a)f(b)<f(a)f(b)”ab<0,a<b,b<a.又f(x)在(,)上是增函數(shù),f(a)<f(b),f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b),即逆否命題為真命題原命題為真命題法二:假設(shè)ab<0,則a<b,b<a,又f(x)在(,)上是增函數(shù),f(a)<f(b),f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)這與已知條件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假設(shè)不成立,故ab0.

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