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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測試 蘇教版必修2

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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測試 蘇教版必修2

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測試 蘇教版必修2一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請把答案填在題中橫線上)1有下列四個結(jié)論,其中正確結(jié)論的個數(shù)為_互相垂直的兩直線,有且只有一個公共點;經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線;垂直于同一條直線的兩條直線平行;兩平行線之一垂直于一條直線,則另一條也垂直于此直線解析:錯誤,異面直線也可能垂直錯誤,應(yīng)有無數(shù)條錯誤,可能平行,相交或異面正確答案:12給出下列命題,其中正確的命題的序號是_直線上有兩點到平面的距離相等,則此直線與平面平行;直線m平面,直線nm,則n;a、b是異面直線,則存在惟一的平面,使它與a、b都平行且與a、b距離相等解析:錯誤,如果這兩點在該平面的異側(cè),則直線與平面相交;錯誤,直線n可能在平面內(nèi);正確,如圖,設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段,E為AB的中點,過E作aa,bb,則a、b確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面,并且它是惟一確定的答案:3P為ABC所在平面外一點,ACa,連結(jié)PA、PB、PC,得PAB和PBC都是邊長為a的等邊三角形,則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為_解析:如圖所示,由題意知,PAPBPCABBCa,取AC中點D,連結(jié)PD、BD,則PDAC,BDAC,則BDP為二面角P-AC-B的平面角,又ACa,PDBDa,在PBD中,PB2BD2PD2,PDB90°.答案:垂直4如圖甲,在正方形SG1G2G3中,E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點,D是EF的中點,現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體(圖乙),使G1、G2、G3三點重合于點G,這樣,下面結(jié)論成立的是_SG平面EFG;SD平面EFG;GF平面SEF;GD平面SEF.解析:在圖甲中,SG1G1E,SG3G3F;在圖乙中,SGGE,SGGF,SG平面EFG.答案:5如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為_解析:設(shè)正方體的棱長為a,則S正方體6a2,正四面體D1AB1C的棱長為a,S正四面體4××(a)22a2,所以 .答案:6如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于_解析:設(shè)底面半徑為r,則2r·2rS,故r,所以Vr2·2r.答案:7.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是_ cm.解析:設(shè)球的半徑為r cm,則r2×8r3×3r2×6r,解得r4.答案:48在空間四邊形ABCD中,ADBC2,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,EF,則異面直線AD與BC所成角的大小為_解析:取AC中點M,連結(jié)EM,F(xiàn)M,F(xiàn)為DC中點,M為AC中點,F(xiàn)MAD,且FMAD1,同理EMBC,且EMBC1.EMF中作MNEF于N.RtMNE中,EM1,EN,sinEMN,EMN60°,EMF120°,AD與BC所成角為60°.答案:60°9.降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度,用上口直徑為38 cm,底面直徑為24 cm,深度為35 cm的圓臺形水桶(軸截面如圖所示)來測量降水量,如果在一次降雨過程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,則本次降雨的降水量是_(精確到1 mm)解析:桶內(nèi)水的深度為×355(cm),設(shè)水面半徑為x cm,則有,解得x13.V水·5(12212×13132).設(shè)單位面積雨水深度為h,則V水·192·h,·192·h,h2.2 cm22 mm.答案:22 mm10在長方體ABCDA1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離為_解析:利用三棱錐A1AB1D1的體積變換:VA1AB1D1VAA1B1D1,則×2×4×6×h,h.答案:11在空間四邊形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,則ABC的形狀是_解析:如圖,在ABD內(nèi),作AHBD于H,平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,AH平面BCD.又BC平面BCD.BCAH.又DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AHDAA,BC平面ABD,BCAB,故ABC是以B為90°角的直角三角形答案:直角三角形12如圖(1)所示,一個裝了水的密封瓶子,其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體當這個幾何體如圖(2)水平放置時,液面高度為20 cm;當這個幾何體如圖(3)水平放置時,液面高度為28 cm,則這個簡單幾何體的總高度為_解析:設(shè)上、下圓柱的半徑分別是r、R,高分別是h,H.由水的體積不變得R2Hr2(20H)r2hR2·(28h),又r1,R3,故Hh29.則這個簡單幾何體的總高度為29 cm.答案:2913在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,若二面角CABC1的大小為60°,則點C到平面ABC1的距離為_解析:如圖,取AB中點為O,連結(jié)C1O和CO.三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱,COAB.AC1BC1,C1OAB,則C1OC即為二面角CABC1的平面角又AB1,CO,C1C,OC1.下面用等體積法求距離VC1ABCVCABC1,SABC·CC1SABC1·d,即××1××d.d.答案:14已知RtABC的斜邊在平面內(nèi),直角頂點C是外一點,AC、BC與所成角分別為30°和45°,則平面ABC與所成銳角為_解析:如圖所示,過點C作垂直于的直線CO,交于點O.CAO30°,CBO45°.設(shè)COa,RtACO中,AC2a,在RtBCO中,BCa.過C點在平面ABC內(nèi)作CDAB,連結(jié)OD,則CDO為平面ABC與所成的銳角,ABa,CDa,在RtCDO中,sinCDO,CDO60°.答案:60° 二、解答題(本大題共6小題,共90分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)(2014·淄博高一檢測)直三棱柱的高為6 cm,底面三角形的邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,將棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值解:如圖所示,只有當圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時,圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6 cm.在ABC中,AB3 cm,BC4 cm,AC5 cm,ABC為直角三角形根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得72R5,R1 cm,V圓柱R2·h6 cm3.而三棱柱的體積為V三棱柱×3×4×636(cm3),削去部分的體積為3666(6)(cm3)16(本小題滿分14分)底面是平行四邊形的四棱錐PABCD,點E在PD上,且PEED21.問:在棱PC上是否存在一點F,使BF平面AEC?證明你的結(jié)論解:如圖所示,連接BD交AC于點O,連接OE,過點B作OE的平行線交PD于點G,過點G作GFCE交PC于點F,連接BF.BGOE,BG平面AEC,OE平面AEC,BG平面AEC. 同理GF平面AEC,又BGGFG,平面BFG平面AEC,BF平面BFG.BF平面AEC.下面求點F在PC上的具體位置:BGOE,O是BD的中點,E是GD的中點又PEED21,G是PE的中點而GFCE.F為PC的中點綜上可知,存在點F,當點F是PC的中點時,BF平面AEC.17(本小題滿分14分)如圖,已知平面平面AB,PC,PD,垂足分別是C,D.(1)求證:AB平面PCD;(2)若PCPD1,CD,試判斷平面與平面的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論解:(1)證明:因為PC,AB,所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP,故AB平面PCD.(2)設(shè)AB與平面PCD的交點為H,連結(jié)CH,DH.因為 AB平面PCD,所以ABCH,ABDH,所以CHD是二面角CABD的平面角又PCPD1,CD,所以CD2PC2PD22,即CPD90°.在平面四邊形PCHD中,PCHPDHCPD90°,所以CHD90°,故平面平面.18(本小題滿分16分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12 m,高4 m養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4 m(高不變);二是高度增加4 m(底面直徑不變)(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積;(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;(3)哪個方案更經(jīng)濟些?解:(1)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16 m,則倉庫的體積V1Sh×82×4(m3);如果按方案二,倉庫的高變成8 m,則倉庫的體積V2Sh××62×8(m3)(2)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16 m,半徑為8 m棱錐的母線長為l4(m),則倉庫的表面積S1×8×432(m2);如果按方案二,倉庫的高變成8 m.棱錐的母線長為l10(m),則倉庫的表面積S2×6×1060(m2)(3)V2V1,S2S1,所以方案二比方案一經(jīng)濟19(本小題滿分16分)已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且ADAA1,點F為棱BB1的中點,點M為線段AC1的中點(1)求證:MF平面ABCD;(2)求證:平面AFC1平面ACC1A1.證明:(1)如圖,延長C1F交CB的延長線于點N,連結(jié)AN.F是BB1的中點,F(xiàn)為C1N的中點,B為CN的中點又M是線段AC1的中點,MFAN.又MF平面ABCD,AN平面ABCD,MF平面ABCD,(2)連結(jié)BD,由題意知A1A平面ABCD,又BD平面ABCD,A1ABD.四邊形ABCD為菱形,ACBD.又ACA1AA,AC平面ACC1A1,A1A平面ACC1A1,BD平面ACC1A1.在四邊形DANB中,DABN,且DABN,四邊形DANB為平行四邊形NABD,NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1,平面AFC1平面ACC1A1.20(本小題滿分16分)在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中點,過E作EFPB于點F.(1)求證:PA平面EDB;(2)求證:PB平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小解:(1)證明:連結(jié)AC,BD,交于點O,連結(jié)EO.底面ABCD是正方形,O是AC的中點,在PAC中,EO是中位線,PAEO.又EO平面EDB,PA平面EDB,PA平面EDB.(2)證明:PD底面ABCD,且DC底面ABCD,PDDC.PDDC,PDC是等腰直角三角形又DE是斜邊PC的中線,DEPC.PD底面ABCD,PDBC.底面ABCD是正方形,DCBC,BC平面PDC.又DE平面PDC,BCDE.DE平面PBC.又PB平面PBC,DEPB.又EFPB,且DEEFE,PB平面EFD.(3)由(2)知,PBDF,EFPB,EFD是二面角CPBD的平面角由(2)知DEEF,PDDB.設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則PDDCa,BDa,PBa,PCa,在RtPDB中,DFa.又DEPCa,在RtEFD中,sinEFD,EFD60°.二面角CPBD的大小是60°.

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