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2022-2023學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義(含解析)蘇教版選修2-2

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2022-2023學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義(含解析)蘇教版選修2-2

2022-2023學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義(含解析)蘇教版選修2-2對應學生用書P28已知函數(shù)f(x)2x1,F(xiàn)(x)x2x.問題1:f(x) 和F(x)有何關系?提示:F(x)f(x)問題2:利用定積分的幾何意義求(2x1)dx的值提示:(2x1)dx6.問題3:求F(2)F(0)的值提示:F(2)F(0)426.問題4:你得出什么結論?提示:f(x)dxF(2)F(0),且F(x)f(x) 問題5:已知f(x)x3,F(xiàn)(x)x4,試探究f(x)dx與F(1)F(0)的關系提示:因f(x)dxx3dx.F(1)F(0),有f(x)F(1)F(0)且F(x)f(x)微積分基本定理對于被積函數(shù)f(x),如果F(x)f(x),那么f(x)dxF(b)F(a),即F(x)dxF(b)F(a)1微積分基本定理表明,計算定積分f(x)dx的關鍵是找到滿足F(x)f(x)的函數(shù)F(x)通常,我們可以運用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向上求出F(x)2微積分基本定理揭示了導數(shù)與定積分之間的內在聯(lián)系,最重要的是它也提供了計算定積分的一種有效方法求簡單函數(shù)的定積分例1求下列定積分:(1)(x22x3)dx;(2)(sin xcos x)dx;(3)(cos xex)dx.思路點撥先求被積函數(shù)的原函數(shù),然后利用微積分基本定理求解精解詳析(1)取F(x)x23x,則F(x)x22x3,從而(x22x3)dxF(x)dxF(2)F(1).(2)取F(x)cos xsin x,則F(x)sin xcos x,從而(sin xcos x)dxF(x)dxF()F(0)2.(3)取F(x)sin xex,則F(x)cos xex,從而(cos xex)dxF()dxF(0)F()1.一點通求簡單的定積分關鍵注意兩點:(1)掌握基本函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則,正確求解被積函數(shù)的原函數(shù),當原函數(shù)不易求時,可將被積函數(shù)適當變形后再求解;(2)精確定位積分區(qū)間,分清積分下限與積分上限1(江西高考改編)若f(x)x22f(x)dx,則f(x)dx_.解析:f(x)x22f(x)dx,f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.答案:2.(cos x1)dx_.解析:(sin xx)cos x1,(cos x1)dx(sin xx)(sin )(sin 00).答案:3求下列定積分:(1)sin2dx;(2)(2x2)(3x)dx.解:(1)sin2,而cos x,所以sin2dxdx.(2)原式(62x3x2x3)dx.求分段函數(shù)的定積分例2(1)設f(x)求f(x)dx;(2)求dx(a>0)思路點撥按照函數(shù)f(x)的分段標準,求出每一段上的積分,然后求和精解詳析(1)f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3(sin xx)sin 1.(2)由得dxxdx(x)dxx2x2a2.一點通(1)分段函數(shù)在區(qū)間a,b上的積分可分成幾段積分的和的形式(2)分段的標準是使每一段上的函數(shù)表達式確定,按照原函數(shù)分段的情況分即可,無需分得過細4.|x2|dx_.解析:|x2|x2|dx(x2)dx(x2)dx.答案:5設f(x)若f(f(1)1,則a_.解析:顯然f(1)lg 10,故f(0)0 3t2dtt31,得a1.答案:1求圖形的面積例3求由曲線yx22x3與直線yx3所圍成的圖形的面積思路點撥.精解詳析畫出草圖,如圖所示解方程組得A(0,3),B(3,6)所以S(x3)dx(x22x3)dx,取F(x)x23x,則F(x)x3,取H(x)x3x23x,則H(x)x22x3,從而SF(3)F(0)H(3)H(0)0.一點通利用定積分求曲線所圍成的平面圖形的面積的步驟:(1)根據(jù)題意畫出圖形;(2)找出范圍,定出積分上、下限;(3)確定被積函數(shù);(4)寫出相應的定積分表達式,即把曲邊梯形面積表示成若干個定積分的和或差;(5)用微積分基本定理及其運算性質計算定積分,求出結果6曲線y ,直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為_解析:所圍成的圖形如圖陰影部分所示,點A(0,2),由得所以B(4,2),因此所圍成的圖形的面積為dx.答案:7設a>0,若曲線y與直線xa,y0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a_.解析:由已知得Sdxxaa2,所以a,所以a.答案:1求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數(shù),要先化簡,再求積分(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分,應分段求定積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要去掉絕對值符號后才能積分2利用定積分求曲邊梯形的面積(1)在利用定積分求平面圖形的面積時,一般要先畫出它的草圖,再借助圖形直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限(2)要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區(qū)分開,定積分是一種積分和的極限,可為正,也可為負或零;而平面圖形的面積在一般意義下總為正,因此當f(x)0時要通過絕對值處理為正,一般情況下是借助定積分求出兩個曲邊梯形的面積,然后相加起來對應課時跟蹤訓練(十一)一、填空題1.dx_.解析:dxln xln eln 11.答案:12.(2sin x3ex2)dx_.解析:(2sin x3ex2)dx(2cos x3ex2x)723e.答案:723e3(江西高考改編)若S1x2dx,S2dx,S3exdx,則S1,S2,S3的大小關系為_解析:S1x3,S2ln xln 2<ln e1,S3exe2e2.722.74.59,所以S2<S1<S3.答案:S2<S1<S34設f(x)則f(x)dx_.解析:f(x)dxx2dx(2x)dxx3(2xx2).答案:5(福建高考)如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為_解析:因為函數(shù)yex與函數(shù)yln x互為反函數(shù),其圖象關于直線yx對稱,又因為函數(shù)yex與直線ye的交點坐標為(1,e),所以陰影部分的面積為2(e×1exdx)2e2ex2e(2e2)2,由幾何概型的概率計算公式,得所求的概率P.答案:二、解答題6f(x)是一次函數(shù),且 f(x)dx5, xf(x)dx,求f(x)的解析式解:設f(x)axb(a0),則(axb)dxab5.x(axb)dx(ax2bx)dxab,所以由解得a4,b3,故f(x)4x3.7求由曲線yx2與直線xy2圍成的面積解:如圖,先求出拋物線與直線的交點,解方程組得或即兩個交點為(1,1),(2,4)直線為y2x,則所求面積S為:S(2x)x2dx.8設f(x)是二次函數(shù),其圖象過點(0,1),且在點(2,f(2)處的切線方程為2xy30.(1)求f(x)的表達式;(2)求f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積;(3)若直線xt(0t1)把f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值解:(1)設f(x)ax2bxc,其圖象過點(0,1),c1,又在點(2,f(2)處的切線方程為2xy30,f(x)2axb,a1,b2,故f(x)x22x1.(2)依題意,f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形如圖中陰影部分所示,故所求面積S(x22x1)dx.(3)依題意,有S(x22x1)dx,即t3t2t,2t36t26t10,2(t1)31,t1.

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