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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓《教案》

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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)2.了解橢圓的簡單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.【重點難點】 1.教學(xué)重點:掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì);2.教學(xué)難點:學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力;【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二:考綱傳真:1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)2.了解橢圓的簡單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.真題再現(xiàn);1.(xx·全國,11)已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是橢圓C:1(ab0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為()A. B. C. D.解析設(shè)M(c,m),則E,OE的中點為D,則D,又B,D,M三點共線,所以,a3c,e.答案A2.(xx·大綱全國,6)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若AF1B的周長為4,則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1解析由橢圓的性質(zhì)知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,AF1B的周長|AF1|AF2|BF1|BF2|4,a.又e,c1.b2a2c22,橢圓的方程為1,故選A.答案A3.(xx·全國,10)已知橢圓E:1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1,1),則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在橢圓上,得0,即,AB的中點為(1,1),y1y22,x1x22,而kAB,.又a2b29,a218,b29.橢圓E的方程為1,故選D.答案D知識梳理:知識點1橢圓的定義1平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距2集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù):(1)若a>c,則M點的軌跡為橢圓;(2)若ac,則M點的軌跡為線段F1F2;(3)若a<c,則M點不存在知識點2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點頂點A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0),B2(b,0)離心率e,且e(0,1)軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2ca,b,c的關(guān)系a2b2c21必會結(jié)論;(1)點P(x0,y0)與橢圓1的關(guān)系點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)<1. 點P(x0,y0)在橢圓上1.點P(x0,y0)在橢圓外>1.(2)若P為橢圓1上任一點,F(xiàn)為其一個焦點,O是橢圓的中心(坐標(biāo)原點),則有ac|PF|ac,b|PO|a.2必清誤區(qū);在設(shè)橢圓1(a>b>0)上點的坐標(biāo)為P(x,y)時,則有|x|a,這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中用到,也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因考點分項突破考點一:橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx·大綱全國卷)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點若AF1B的周長為4,則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1【解析】由e得.又AF1B的周長為4,由橢圓定義,得4a4,得a,代入得c1,b2a2c22,故C的方程為1.【答案】A2已知兩圓C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1【解析】設(shè)圓M的半徑為r,則|MC1|MC2|(13r)(3r)16,M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓,且2a16,2c8,故所求的軌跡方程為1,故選D.【答案】D3已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,且長軸是短軸的3倍,并且過點P(3,0),則橢圓的方程為_【解析】當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時,a3,則b1.從而橢圓方程為y21,當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時,b3,則a9,從而橢圓方程為1.【答案】y21或1歸納;1求橢圓方程的方法(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法,利用橢圓的定義時,一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量,即首先確定焦點所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組如果焦點位置不確定,要考慮是否有兩解,有時為了解題方便,也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m>0,n>0,mn)的形式2焦點三角形中的常用結(jié)論橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,利用定義可求其周長;利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|;通過整體代入可求其面積等,常用到的結(jié)論有:(1)|PF1|PF2|2a;(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ;(3)當(dāng)P為短軸端點時,最大考點二: 橢圓的幾何性質(zhì)1.(xx·江西高考)設(shè)橢圓C:1(ab0)的左,右焦點為F1,F(xiàn)2,過F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點,F(xiàn)1B與y軸相交于點D,若ADF1B,則橢圓C的離心率等于_【解析】由題意,F(xiàn)1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2a2b2.不妨設(shè)點B在第一象限,由ABx軸,B,A.由于ABy軸,|F1O|OF2|,點D為線段BF1的中點,則D,由于ADF1B,知·0,則·2c20,即2acb2,2ac(a2c2),又e,且e(0,1),e22e0,解得e(e舍去)【答案】跟蹤訓(xùn)練:1設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓C上,若線段PF1的中點在y軸上,PF1F230°,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【解析】如圖,設(shè)PF1的中點為M,連接PF2.因為O為F1F2的中點,所以O(shè)M為PF1F2的中位線所以O(shè)MPF2,所以PF2F1MOF190°.因為PF1F230°,所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|,由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|a,2c|F1F2|PF2|c,則e·.故選A.【答案】A2(xx·福建高考)已知橢圓E:1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x4y0交橢圓E于A,B兩點若|AF|BF|4,點M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A,B兩點到橢圓左、右焦點的距離為4a2(|AF|BF|)8,所以a2.又d,所以1b<2,所以e.因為1b<2,所以0<e,故選A.【答案】A歸納:求橢圓離心率的方法1直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解2列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解考點三: 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1). (xx·安徽高考)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x21(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點若|AF1|3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的方程為_(2) (xx·陜西高考)已知橢圓E:1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為c.求橢圓E的離心率;如圖8­5­1,AB是圓M:(x2)2(y1)2的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程(文)(2) (xx·陜西高考)如圖,橢圓E:1(a>b>0)經(jīng)過點A(0,1),且離心率為.求橢圓E的方程;經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.【解析】(1)不妨設(shè)點A在第一象限,設(shè)半焦距為c,則F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)AF2x軸,則A(c,b2)(其中c21b2,0<b<1)又|AF1|3|F1B|,得3,設(shè)B(x0,y0),則(2c,b2)3(x0c,y0),x0且y0,代入橢圓x21,得25c2b29又c21b2,聯(lián)立,得b2.故橢圓E的方程為x2y21.【答案】x2y21(2)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bxcybc0,則原點O到該直線的距離d,由dc,得a2b2,解得離心率.法一由知,橢圓E的方程為x24y24b2.依題意,圓心M(2,1)是線段AB的中點,且|AB|.易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.由x1x24,得4,解得k.從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|,得,解得b23.故橢圓E的方程為1.法二由知,橢圓E的方程為x24y24b2.依題意,點A,B關(guān)于圓心M(2,1)對稱,且|AB|.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x4y4b2,x4y4b2,兩式相減并結(jié)合x1x24,y1y22,得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB與x軸不垂直,則x1x2,所以AB的斜率kAB.因此直線AB的方程為y(x2)1,代入得x24x82b20.所以x1x24,x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|,得,解得b23.故橢圓E的方程為1.跟蹤訓(xùn)練:1.(xx·全國卷)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|5|F1N|,求a,b.【解】(1)根據(jù)c及題設(shè)知M,由kMN,得,則2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意,原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故4.于是b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則即代入C的方程,得1.將及c代入得1.解得a7,b24a28,故a7,b2.歸納:1解決直線與橢圓有關(guān)問題的求解策略解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單2弦長公式設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|(k為直線斜率)提醒:利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的,不要忽略判別式。學(xué)生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描,來澄清概念,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題,教師及時點撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。環(huán)節(jié)三:課堂小結(jié):1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)2.了解橢圓的簡單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生回顧,總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四:課后作業(yè):學(xué)生版練與測學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。

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