河南省2022年中考數(shù)學總復習 第四章 三角形微專項

河南省2022年中考數(shù)學總復習 第四章 三角形微專項突破點1倍長中線倍長中線法:延長三角形一邊的中線至一點,使所延長的部分與該中線相等,并連接該點與這條邊的一個頂點,得到兩個全等的三角形.這種方法主要用于構造全等三角形或證明對應邊之間的關系.倍長中線常用輔助線添加方法(倍長中線等中線,等量關系一大片)敘述圖示結論基本圖形:在ABC中,AD為BC邊上的中線.倍長中線:延長AD到點E,使ED=AD,連接BE.ACDEBD;根據(jù)三角形三邊的關系得到:.倍長中線的變形作法一:M為AB上一點,連接MD并延長到點N,使ND=MD,連接CN;作法二:過點C作CNAB,與過點D的直線交于點N,該直線與AB交于點M.BDMCDN 如圖,在ABC中,AD是中線,BAC=BCA,點E在BC的延長線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD.思路分析見到中線,試一下倍長中線的輔助線作法,得到相等的線段,再利用三角形全等和等量代換進行證明.自主解答1.如圖,在ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是. (第1題)(第2題)2.如圖,在ABC中,點E,F分別在AB,AC上,點D是BC邊上的中點,DEDF,則BE+CF與EF的大小關系為. 3.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,點E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于點F.求證:AF=EF.4.如圖,在ABC中,AD交BC于點D,點E是BC的中點, EFAD交CA的延長線于點F,交AB于點G,已知BG=CF,求證:AD為ABC的角平分線.突破點2旋轉圖形的旋轉是近幾年河南中考必考的內容.運用旋轉的全等變換,證明線段相等、和差倍分關系以及角相等、和差倍分關系都是近幾年中考常見的類型.旋轉的基本性質:對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前后的圖形全等.旋轉的基本圖形圖形旋轉的要點利用旋轉作輔助線的基本思路如圖,將AOB旋轉至A'OB',則AOA'=BOB'.1.找準旋轉中的“變”與“不變”;2.找準旋轉前后的“對應關系”;3.充分挖掘旋轉過程中線段之間的關系;4.找旋轉點,得等邊、等角;5.證全等或相似;6.利用全等或相似得到邊、角關系.1.以等邊三角形為背景的旋轉60°(遇60°旋轉60°);2.以正方形為背景的旋轉90°(遇90°旋轉90°);3.將分散的條件通過旋轉變換集中在一塊“形成合力”破解難題(若條件是分散的,則試試看把圖形進行平移、旋轉、翻折).如圖,將AOB旋轉至A'OB',連接AA',BB',則AOA'BOB'. 如圖,在O的內接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60°,點C為的中點,則AC的長是 . 思路分析四邊形ABCD是O的內接四邊形,ABC+ADC=180°,又點C為的中點,BC=CD.將ABC繞點C旋轉至EDC,則A,D,E三點共線,這樣就把分散的條件集中在一塊了,旋轉變換后的圖形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”的性質和銳角三角函數(shù)求出AC的值即可.(利用旋轉時,一般要滿足兩個條件:有相等的邊,兩角之和為180°)5.如圖,點P為等邊三角形ABC內的一點,且點P到ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,則ABC的面積為. (第5題)(第6題)6.如圖,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,點F為CD上一點,BE+DF=EF,則EAF的度數(shù)為. 7.如圖,在ABC中,C=90°,點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則BFE和AED的面積之和為. 8.如圖,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC,經過點O的直線l分別交AB,CD于點E,F.(1)試說明:SOAB=SOCD;(2)若直線l平分CD,求證:OF=AB.9.如圖,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F.(1)當MDN繞點D轉動時,求證:DE=DF;(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積.10.如圖,等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉到A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點D,AC與A1C1,BC1分別相交于點E,F.(1)求證:BCFBA1D;(2)當C=時,判斷四邊形A1BCE的形狀并說明理由.一線三直角模型1.模型說明一線三直角是一個常見的相似模型,指的是有三個直角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形,有些地區(qū)稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.(一線三等角不僅可以是直角,也可以是銳角或鈍角.本專題主要研究一線三直角模型)2.識別方法(1)查找圖形中已知的直角,順著這個直角的頂點尋找或者構造模型中的“一線”;(2)構造其他直角,構造的直角的頂點必須在“同一條直線”上, “這條直線”可能在已知角的外部,也可能“穿過”這個角.3.構造一線三直角的基本步驟做題過程中,若出現(xiàn)一直角的頂點在一條直線上的形式,就可以構造兩側的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解決相關問題.綜合性題目往往就會把全等和相似的轉化作為出題的一種形式.本質就是找角、定線、構相似.一線三直角的基本圖形一般結論一線三直角的應用ACDBAE.特殊地,當AB=AC時,ACDBAE.圖形中已經存在“一線三直角”,直接應用模型解題;圖形中存在“一線兩直角”,補上“一直角”構造此模型;圖形中只有直線上的一個直角,補上“兩直角”構造此模型;圖形中只有一個直角,過該直角頂點補上“一線”,再補上“兩直角”,構造此模型;對坐標系中在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構造“一線三等角”是解決問題的關鍵.突破點1三角形中運用一線三直角進行相關的運算 如圖,在RtABC中,C=90°,AEB=135°,BE=3,DEBE交AB于點D,若DE=,則AE的長為. 思路分析觀察題圖,有兩個直角:DEB和C,有“一條線”:直線AC,過點D作AC的垂線,即可構造一線三直角模型,然后配合題中的條件用“相似+勾股”進行證明和計算.突破點2四邊形中運用一線三直角求線段長 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC邊的中點,將ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內的點F處,連接CF,則CF的長為. 思路分析題圖中的直角有很多,與CF聯(lián)系緊密且易于構造一線三直角模型的直角是AFE,過直角頂點F用豎直的線(作矩形ABCD的邊AD邊垂線),可構造一線三直角模型,再配合題中的條件用“相似+勾股”進行相關計算.突破點3一線三直角在二次函數(shù)中的運用 拋物線y=x2-4x+3與坐標軸交于A,B,C三點,點P在拋物線上,PEBC于點E,若PE=2CE,則點P的坐標為. 思路分析圖形中與點P相關的直角頂點是E,可過點E作x軸或y軸的平行線(也可以是平行于x軸或y軸的直線),構造一線三直角模型,然后利用相關知識進行計算.1.在四邊形ABCD中,BAD=ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為. (第1題)(第2題)2.如圖,已知ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點M,則AMD=°. 3.如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形OAB的一個頂點在原點處,ABO=90°,OB=AB,已知點A(2,4),則點B的坐標為. (第3題)(第4題)4.如圖,在平面直角坐標系中,點A(0,2),點B(4,0),點C在第一象限內,若ABC為等邊三角形,則點C的坐標為. 5.如圖,在平面直角坐標系中,把矩形OABC的頂點O放在原點處,把其邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上,點D在OC邊上,把BDC沿直線BD翻折,點C的對應點恰好落在x軸上的點E處,已知B(10,8),則直線BD的解析式為. (第5題)(第6題)6.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45°,則BD的長為. 7.在四邊形ABCD中,ABC=BAD=90°,ACD=45°,AB=3,AD=4,則BC的長為. (第7題)(第8題)8.如圖,已知拋物線y=-x2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點,連接AO,BO,若AOB=90°,則點B的坐標為. 參考答案高分突破微專項1全等三角形中的兩大輔助線技巧例1證明:如圖,延長AD至點F,使DF=DA,連接CF.在ABD和FCD中,ABDFCD,AB=FC,B=DCF.CE=AB,BAC=BCA,ACE=BAC+B,CF=CE,ACE=BCA+DCF=ACF,在ACF和ACE中,ACFACE,AE=AF=2AD.強化訓練1.1<AD<4如圖,延長AD到點E,使ED=AD,連接CE.AD是ABC的中線,BD=CD,又ADB=CDE,ABDECD,AB=EC,在AEC中,AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,2<2AD<8,1<AD<4.2.BE+CF>EF如圖,延長ED至點P,使DP=DE,連接FP,CP,點D是BC的中點,BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CF>FP,BE+CF>EF.3.證明:如圖,延長AD到點G,使得DG=AD,連接BG.AD是BC邊上的中線,DC=DB.在ADC和GDB中,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.證明:如圖,過點C作CHAB,交FE的延長線于點H,則B=ECH,BGE=H.點E是BC的中點,BE=CE.在BEG和CEH中,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD為ABC的角平分線.例2如圖,將ABC以點C為旋轉中心,旋轉至EDC,則ABCEDC,AB=ED,AC=EC,ABC=EDC.四邊形ABCD是O的內接四邊形,ABC+ADC=180°,EDC+ADC=180°,A,D,E三點共線,AE=AD+ED=8.BAD= 60°,點C為的中點,CAE=BAD=30°.過點C作CFAE于點F,則AF=AE=4.在RtACF中,cosCAF=,即=,解得AC=.強化訓練5.如圖,將ABP以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°,得ACD,過點A作AECD交CD的延長線于點E,連接PD,易得ABPACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60°,ADP為等邊三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD=,PC=,PD2+CD2=PC2,CDP是直角三角形,且CDP=90°,CDP+ADP=150°,ADE=30°.在RtADE中,AE=AD=,ED=AE=,CE=CD+DE=+,AC2=3+,SABC=×AC2=.6.45°如圖,將ABE繞點A逆時針旋轉90°至ADG的位置,得EAG=90°,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,EAF=EAG=45°.7.4.51方法一:如圖(1),將BEF繞點E逆時針旋轉90°到GED的位置,易得EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,SBFE+SAED=SAEG=AE·EG=×2.2×4.1=4.51.方法二:如圖(2),將AED繞點E順時針旋轉90°到GEF的位置,則EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,SBFE+SAED=SGBE=BE·EG=×2.2×4.1=4.51.圖(1)圖(2)8.(1)證明:OA=OD,可將AOB以點O為旋轉中心旋轉至DOG的位置,如圖所示,則AOBDOG,SOAB=SODG,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180°,OC=OG,C,O,G三點共線,OD為CDG中CG邊上的中線,SODG=SOCD,SOAB=SOCD.(2)證明:直線l平分CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF為CDG的中位線,OF=DG,由旋轉性質可得DG=AB,OF=AB.9.(1)證明:連接DC,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,CDAB,CD=DA,CD平分BCA,ECD=DCA=45°.DMDN,EDN=90°,又CDA=90°,CDE=FDA.在CDE和ADF中,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,SCDE=SADF,=CD·AD=.10.(1)證明:ABC是等腰三角形,AB=BC,A=C.將等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉到A1BC1的位置,A1B=AB=BC,A1=A=C,A1BD=CBC1.在BCF與BA1D中,BCFBA1D.(2)當C=時,四邊形A1BCE是菱形.理由:由題易得A1=A.又ADE=A1DB,AED=A1BD=,DEC=180°-.C=,A1=,A1BC=360°-A1-C-A1EC=180°-,A1=C,A1BC=A1EC,四邊形A1BCE是平行四邊形,又A1B=BC,四邊形A1BCE是菱形.高分突破微專項2一線三直角模型例13如圖,過點D作DFAC于點F.AEB=135°,CEB=45°,CEB是等腰直角三角形.又BE=3,BC=CE=3.根據(jù)一線三直角模型,可得EFDBCE,FED=FDE=45°.又DE=,EF=DF=1.易證AFDACB,=.設AF=a,則=,解得a=2,AE=AF+EF=2+1=3.例2如圖,過點F作AD的垂線,交AD于點M,交BC于點N,則FMA=ENF=90°.BC=6,點E為BC邊的中點,BE=BC=3.由折疊的性質可知,EF=BE=3,AF=AB=4,AFE=B=90°.根據(jù)一線三直角模型,可得AMFFNE,=.設EN=3x,FM=4x,則FN=4-4x,AM=3x+3,=,解得x=,NC=EC-EN=3-3x,FC=5-5x=5-5×=.例3(,)方法一:如圖(1),過點E作EFy軸,交y軸于點F,過點P作PGEF,交FE的延長線于點G.當y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.當x=0時,y=3,點C的坐標是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC為等腰直角三角形.又EFOB,EFC是等腰直角三角形.CFE=EGP=CEP=90°,根據(jù)一線三直角模型,可得CEFEPG.PE=2CE,=.設點E的橫坐標為m,易得EG=PG=2m,點P的坐標為(3m,3+m).把點P的坐標代入y=x2-4x+3中,解得m1=,m2=0(不符合題意,舍去),點P的坐標為(,).方法二:如圖(2),當y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.當x=0時,y=3,點C的坐標是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC為等腰直角三角形.過點B作BFBC,交CP的延長線于點F,過點F作FHx軸于點H,PEBC,EPBF,CEPCBF.PE=2CE,=.由一線三直角模型可得BOCFHB,BH=FH=2AB=6,點F的坐標為(9,6).易求出直線CF的解析式為y=x+3.令x2-4x+3=x+3,解得x1=0(舍去),x2=,把x=代入到y(tǒng)=x+3,得點P的坐標為(,).圖(1)圖(2)強化訓練1.10如圖,過點D作DEAC,交AC于點E.BAD=ACB=90°,AB=AD,根據(jù)一線三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.設BC=AE=a,則CE=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(負值已舍去),DE=AC=4a=4,S四邊形ABCD=SABC+SACD=BC·AC+AC·DE=×1×4+×4×4=10.2.45如圖,過點A作ANAB,且AN=BD,連接DN,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90°,CDB+NDA=90°,NDC=90°,CDN是等腰直角三角形,NCD=45°.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四邊形ANCE是平行四邊形,CNAE,AMD=NCD=45°.3.(3,1)如圖,過點B作x軸的垂線,垂足為F,過點A作y軸的垂線,垂足為E,兩線交于點D,則ADB=BFO=90°.ABO=90°,AB=OB,根據(jù)一線三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.設AD=BF=a,BD=OF=b.A(2,4),AE=2,DF=4,解得a=1,b=3.OF=3,BF=1,故點B的坐標為(3,1).4.(5,3)如圖,過點C作CDAB于點D,過點D作y軸的垂線,垂足為E,過點C作CFED,交ED的延長線于點F.點A(0,2),點B(4,0),OA=2,OB=4.ABC為等邊三角形,CD=AD.易知DE為AOB的中位線,DE=OB=2,AE=OA=.根據(jù)一線三直角模型,可得ADEDCF,=,解得DF=3,CF=2,EF=DE+DF=5,CF+OE=3,點C的坐標為(5,3).5.y=x+3在矩形OABC中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折疊的性質可知DE=CD,BE=BC=10.在RtABE中,AE=6,OE=OA-AE=10-6=4.根據(jù)一線三直角模型可知,DOEEAB,=,即=,解得OD=3,點D的坐標為(0,3).設直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入,解得a=,故直線BD的解析式為y=x+3.6.如圖,過點C作CFAD于點F,過點B作BEAD,交DA的延長線于點E.在RtCDF中,ADC=45°,CD=DF=CF,CF=DF=,AF=AD-DF=4-.CFA=CAB=AEB=90°,AC=AB,根據(jù)一線三直角模型,可得ACFBAE,AE=CF=,BE=AF=4-,DE=AD+AE=4+.在RtBDE中,BD=.7.2+方法一:如圖(1),過點D作DEAC于點E,過點E作AB的平行線,分別交BC,AD于點G,H,則四邊形ABGH是矩形.ACD=45°,DCE為等腰直角三角形,DE=CE.DHE=EGC=DEC=90°,根據(jù)一線三直角模型,可得DEHECG,EH=CG,DH=EG.設DH=EG=m, 則CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知CEGCAB,=,即=,解得m1=(不合題意,舍去),m2=,BC=7-2m=2+.方法二:如圖(2),過點A作AEAC與CD的延長線交于點E,過點E作EFAB,交BA的延長線于點F.ACD=45°,則ACE為等腰直角三角形,AC=AE.EAC=EFA=ABC=90°,根據(jù)一線三直角模型,可得AEFCAB.AF=BC,EF=BA=3.設AF=BC=a,過點E作EHBC于點H,則四邊形EFBH為矩形,EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.ABC=BAD=90°,DGCH,EGDEHC,=,即=,解得a1=2+,a2=2-(不合題意,舍去).故BC的長為2+.圖(1)圖(2)8.(1,-)如圖,分別過A,B兩點作ADx軸于點D,BCx軸于點C.ADO=OCB=AOB=90°,根據(jù)一線三直角模型,可得AODOBC,=.A(-2,-4),OD=2,AD=4,=,OC=2BC.設BC=a,則OC=2a,點B的坐標為(2a,-a),代入y=-x2,得-a=-×(2a)2,解得a1=,a2=0(不符合題意,舍去),故點B的坐標為(1,-).