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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十三講《平行四邊形》教案3 北師大版

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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十三講《平行四邊形》教案3 北師大版

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十三講平行四邊形教案3 北師大版平行四邊形是一種極重要的幾何圖形這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅尉匦巍⒘庑?、正方形的基礎(chǔ),還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形,并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì),因此,它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì):(1)平行四邊形對(duì)角相等;(2)平行四邊形對(duì)邊相等;(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分除了定義以外,平行四邊形還有以下幾種判定方法:(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例1 如圖2-32所示在ABCD中,AEBC,CFAD,DN=BM求證:EF與MN互相平分分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可,由已知,提供的等量要素很多,可從全等三角形下手證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形,所以ADBC,ABCD,B=D又AEBC,CFAD,所以AECF是矩形,從而AE=CF所以RtABERtCDF(HL,或AAS),BE=DF又由已知BM=DN,所以BEMDFN(SAS),ME=NF 又因?yàn)锳F=CE,AM=CN,MAF=NCE,所以MAFNCE(SAS),所以 MF=NF 由,四邊形ENFM是平行四邊形,從而對(duì)角線EF與MN互相平分例2 如圖2-33所示RtABC中,BAC=90°,ADBC于D,BG平分ABC,EFBC且交AC于F求證:AE=CF分析 AE與CF分處于不同的位置,必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系若作GHBC于H,由于BG是ABC的平分線,故AG=GH,易知ABGHBG又連接EH,可證ABEHBE,從而AE=HE這樣,將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置設(shè)法證明EHCF為平行四邊形,問題即可獲解證 作GHBC于H,連接EH因?yàn)锽G是ABH的平分線,GABA,所以GA=GH,從而ABGHBG(AAS),所以 AB=HB 在ABE及HBE中,ABE=CBE,BE=BE,所以 ABEHBE(SAS),所以 AE=EH,BEA=BEH下面證明四邊形EHCF是平行四邊形因?yàn)锳DGH,所以AEG=BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等) 又AEG=GEH(因?yàn)锽EA=BEH,等角的補(bǔ)角相等),AGB=BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等),所以AGB=GEH從而EHAC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)由已知EFHC,所以EHCF是平行四邊形,所以FC=EH=AE說明 本題添加輔助線GHBC的想法是由BG為ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),從而構(gòu)造出全等三角形ABG與HBG繼而發(fā)現(xiàn)ABEHBE,完成了AE的位置到HE位置的過渡這樣,證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了人們?cè)趯W(xué)習(xí)中,經(jīng)過刻苦鉆研,形成有用的經(jīng)驗(yàn),這對(duì)我們探索新的問題是十分有益的例3 如圖2-34所示ABCD中,DEAB于E,BM=MC=DC求證:EMC=3BEM 分析 由于EMC是BEM的外角,因此EMC=B+BEM從而,應(yīng)該有B=2BEM,這個(gè)論斷在BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn),因此,應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法,將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件,延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F,這樣B=MCF及BEM=F,因此, 只要證明MCF=2F即可不難發(fā)現(xiàn),EDF為直角三角形(EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn),我們的證明可從這里展開證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F,連接DM由于CM=BM,F(xiàn)=BEM,MCF=B,所以MCFMBE(AAS),所以M是EF的中點(diǎn)由于ABCD及DEAB,所以,DEFD,三角形DEF是直角三角形,DM為斜邊的中線,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知F=MDC,又由已知MC=CD,所以MDC=CMD,則MCF=MDC+CMD=2F從而EMC=F+MCF=3F=3BEM例4 如圖2-35所示矩形ABCD中,CEBD于E,AF平分BAD交EC延長(zhǎng)線于F求證:CA=CF分析 只要證明CAF是等腰三角形,即CAF=CFA即可由于CAF=45°-CAD,所以,在添加輔助線時(shí),應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與CAD相等的角a,使得CFA=45°-a為此,延長(zhǎng)DC交AF于H,并設(shè)AF與BC交于G,我們不難證明FCH=CAD證 延長(zhǎng)DC交AF于H,顯然FCH=DCE又在RtBCD中,由于CEBD,故DCE=DBC因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等,所以DCBCDA,從而DBC=CAD,因此,F(xiàn)CH=CAD 又AG平分BAD=90°,所以ABG是等腰直角三角形,從而易證HCG也是等腰直角三角形,所以CHG=45°由于CHG是CHF的外角,所以CHG=CFH+FCH=45°,所以 CFH=45°-FCH 由,CFH=45°-CAD=CAF,于是在三角形CAF中,有CA=CF例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E,F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)求證:分析 作BAF的平分線,將角分為1與2相等的兩部分,設(shè)法證明DAE=1或2證 如圖作BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H,則1=2=3,所以FA=FH設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,在RtADF中,從而所以 RtABGRtHCG(AAS),從而RtABGRtADE(SAS),例6 如圖2-37所示正方形ABCD中,在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,F(xiàn),使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,CE于H,G求證:GHD是等腰三角形分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明GDH=GHD證 因?yàn)镈EBC,所以四邊形BCED為平行四邊形,所以1=4又BD=FD,所以所以 BC=GC=CD因此,DCG為等腰三角形,且頂角DCG=45°,所以又所以 HDG=GHD,從而GH=GD,即GHD是等腰三角形練習(xí)十二1如圖2-38所示DEAC,BFAC,DE=BF,ADB=DBC求證:四邊形ABCD是平行四邊形2如圖2-39所示在平行四邊形ABCD中,ABE和BCF都是等邊三角形求證:DEF是等邊三角形3如圖2-40所示ABCD中,AF平分BAD交BC于F,DEAF交CB于E求證:BE=CF4如圖2-41所示矩形ABCD中,F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上,AE=EF,CF=CA求證:BEDE5如圖2-42所示在正方形ABCD中,CE垂直于CAB的平分

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