初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十三講《平行四邊形》教案3 北師大版

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十三講平行四邊形教案3 北師大版平行四邊形是一種極重要的幾何圖形這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅尉匦巍⒘庑?、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：(1)平行四邊形對(duì)角相等；(2)平行四邊形對(duì)邊相等；(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例1 如圖2-32所示在ABCD中，AEBC，CFAD，DN=BM求證：EF與MN互相平分分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以ADBC，ABCD，B=D又AEBC，CFAD，所以AECF是矩形，從而AE=CF所以RtABERtCDF(HL，或AAS)，BE=DF又由已知BM=DN，所以BEMDFN(SAS)，ME=NF 又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以MAFNCE(SAS)，所以 MF=NF 由，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分例2 如圖2-33所示RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F求證：AE=CF分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系若作GHBC于H，由于BG是ABC的平分線，故AG=GH，易知ABGHBG又連接EH，可證ABEHBE，從而AE=HE這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解證 作GHBC于H，連接EH因?yàn)锽G是ABH的平分線，GABA，所以GA=GH，從而ABGHBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH下面證明四邊形EHCF是平行四邊形因?yàn)锳DGH，所以AEG=BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等) 又AEG=GEH(因?yàn)锽EA=BEH，等角的補(bǔ)角相等)，AGB=BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以AGB=GEH從而EHAC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)由已知EFHC，所以EHCF是平行四邊形，所以FC=EH=AE說明 本題添加輔助線GHBC的想法是由BG為ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與HBG繼而發(fā)現(xiàn)ABEHBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問題是十分有益的例3 如圖2-34所示ABCD中，DEAB于E，BM=MC=DC求證：EMC=3BEM 分析 由于EMC是BEM的外角，因此EMC=B+BEM從而，應(yīng)該有B=2BEM，這個(gè)論斷在BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣B=MCF及BEM=F，因此， 只要證明MCF=2F即可不難發(fā)現(xiàn)，EDF為直角三角形(EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM由于CM=BM，F(xiàn)=BEM，MCF=B，所以MCFMBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)由于ABCD及DEAB，所以，DEFD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知F=MDC，又由已知MC=CD，所以MDC=CMD，則MCF=MDC+CMD=2F從而EMC=F+MCF=3F=3BEM例4 如圖2-35所示矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC延長(zhǎng)線于F求證：CA=CF分析 只要證明CAF是等腰三角形，即CAF=CFA即可由于CAF=45°-CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與CAD相等的角a，使得CFA=45°-a為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明FCH=CAD證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然FCH=DCE又在RtBCD中，由于CEBD，故DCE=DBC因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以DCBCDA，從而DBC=CAD，因此，F(xiàn)CH=CAD 又AG平分BAD=90°，所以ABG是等腰直角三角形，從而易證HCG也是等腰直角三角形，所以CHG=45°由于CHG是CHF的外角，所以CHG=CFH+FCH=45°，所以 CFH=45°-FCH 由，CFH=45°-CAD=CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)求證：分析 作BAF的平分線，將角分為1與2相等的兩部分，設(shè)法證明DAE=1或2證 如圖作BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則1=2=3，所以FA=FH設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在RtADF中，從而所以 RtABGRtHCG(AAS)，從而RtABGRtADE(SAS)，例6 如圖2-37所示正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G求證：GHD是等腰三角形分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明GDH=GHD證 因?yàn)镈EBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以1=4又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD因此，DCG為等腰三角形，且頂角DCG=45°，所以又所以 HDG=GHD，從而GH=GD，即GHD是等腰三角形練習(xí)十二1如圖2-38所示DEAC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC求證：四邊形ABCD是平行四邊形2如圖2-39所示在平行四邊形ABCD中，ABE和BCF都是等邊三角形求證：DEF是等邊三角形3如圖2-40所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求證：BE=CF4如圖2-41所示矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA求證：BEDE5如圖2-42所示在正方形ABCD中，CE垂直于CAB的平分