高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第3講 分類討論思想 理

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第3講 分類討論思想 理1分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度2分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法(6)由實(shí)際意義引起的討論此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時常用3分類討論的原則(1)不重不漏(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論4解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對所討論的對象進(jìn)行合理的分類(3)逐類討論，即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納.熱點(diǎn)一由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運(yùn)算引起的分類討論例1(1)(xx·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_.答案(1)a(2)或6解析(1)f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a)2時，得f(a)2，而滿足f(a)2時，得a.(2)當(dāng)q1時，a1a2a3，S33a1，顯然成立；當(dāng)q1時，由題意，得所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)當(dāng)q時，a16.綜上可知，a1或a16.思維升華(1)由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進(jìn)行分類；(2)運(yùn)算引起的分類討論有很多，如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(a)3，則f(a5)的值為()Alog23 B. C. D1(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D以上都不對答案(1)C(2)D解析(1)分兩種情況分析，或者，無解，由得，a7，所以f(a5)2231，故選C.(2)Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當(dāng)p1且p0時，an是等比數(shù)列；當(dāng)p1時，an是等差數(shù)列；當(dāng)p0時，a11，an0(n2)，此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列熱點(diǎn)二由圖形位置或形狀引起的討論例2(1)不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)有_個整點(diǎn)(把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn))(2)設(shè)圓錐曲線T的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線T上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線T的離心率為_答案(1)20(2)或解析(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)結(jié)合圖中的可行域可知x，2，y2,5由圖形及不等式組，知當(dāng)x1時，1y2，有2個整點(diǎn)；當(dāng)x0時，0y3，有4個整點(diǎn)；當(dāng)x1時，1y4，有6個整點(diǎn)；當(dāng)x2時，2y5，有8個整點(diǎn)；所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有246820(個)(2)不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.所以圓錐曲線T的離心率為或.思維升華求解有關(guān)幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化(1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于()A B.C0 D或0(2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為_答案(1)D(2)2或解析(1)不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線ykx1與直線x0垂直(如圖)或直線ykx1與直線y2x垂直(如圖)時，平面區(qū)域才是直角三角形由圖形可知斜率k的值為0或.(2)若PF2F190°，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F2PF190°，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，2.綜上所述，2或.熱點(diǎn)三由參數(shù)引起的分類討論例3(xx·四川改編)已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值解由f(x)exax2bx1，有g(shù)(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，當(dāng)x0,1時，g(x)12a，e2a當(dāng)a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當(dāng)a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；當(dāng)<a<時，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.綜上所述，當(dāng)a時，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當(dāng)<a<時，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；當(dāng)a時，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.思維升華一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏已知函數(shù)g(x)(aR)，f(x)ln(x1)g(x)(1)若函數(shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x0處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性解(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，所以1，解得a2，所以f(x)ln(x1).由f(x)，則f(0)3，所以所求的切線的斜率為3.又f(0)0，所以切點(diǎn)為(0,0)，故所求的切線方程為y3x.(2)因?yàn)閒(x)ln(x1)(x>1)，所以f(x).當(dāng)a0時，因?yàn)閤>1，所以f(x)>0，故f(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)a<0時，由得1<x<1a，故f(x)在(1，1a)上單調(diào)遞減；由得x>1a，故f(x)在(1a，)上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)在(1，1a)上單調(diào)遞減，在(1a，)上單調(diào)遞增分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動機(jī)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進(jìn)行討論歸納綜合結(jié)論檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論常見的分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集的討論(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a>1和0<a<1的討論；函數(shù)yax2bxc有時候分a0和a0的討論；對稱軸位置的討論；判別式的討論(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n>1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論；(7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論(8)排列、組合、概率中的分類計(jì)數(shù)問題(9)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等真題感悟1(xx·課標(biāo)全國)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC等于()A5 B.C2 D1答案B解析SABCAB·BC·sin B×1×sin B，sin B，B或.當(dāng)B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BC·cos B1225，所以AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BC·cos B1221，所以AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故AC.2(xx·安徽)“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)a0時，f(x)|(ax1)x|x|在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，結(jié)合函數(shù)f(x)|(ax1)x|ax2x|的圖象知函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，如圖(1)所示；當(dāng)a>0時，結(jié)合函數(shù)f(x)|(ax1)x|ax2x|的圖象知函數(shù)在(0，)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示所以，要使函數(shù)f(x)|(ax1)x|在(0，)上單調(diào)遞增只需a0.即“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件3(xx·廣東)設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()A60 B90C120 D130答案D解析在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因?yàn)閤i1,0,1，i1,2,3,4,5，所以滿足條件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情況有“一個1(或1)，四個0，有C×2種；兩個1(或1)，三個0，有C×2種；一個1，一個1，三個0，有A種；兩個1(或1)，一個1(或1)，兩個0，有CC×2種；三個1(或1)，兩個0，有C×2種故共有C×2C×2ACC×2C×2130(種)，故選D.押題精練1已知函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0，) B2,0)C1,0) D1，)答案C解析若a0，則f(x)在定義域的兩個區(qū)間內(nèi)都是常函數(shù)，不具備單調(diào)性；若a>0，函數(shù)f(x)在兩段上都是單調(diào)遞增的，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只要(a2)e01，即a1，與a>0矛盾，此時無解若2<a<0，則函數(shù)在定義域的兩段上都是單調(diào)遞減的要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，只要a21即a1，即1a<0.當(dāng)a2時，函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào).綜上，a的取值范圍是1,0)2等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)之和S321，則公比q的值是()A1 BC1或 D1或答案C解析當(dāng)公比q1時，a1a2a37，S33a121，符合要求當(dāng)q1時，a1q27，21，解之得，q或q1(舍去)綜上可知，q1或.3拋物線y24px (p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個數(shù)為()A2 B3 C4 D6答案C解析當(dāng)|PO|PF|時，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時，點(diǎn)P的位置有兩個；當(dāng)|OP|OF|時，點(diǎn)P的位置也有兩個；對|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時，不構(gòu)成三角形當(dāng)x2p(p>0)時，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾所以符合要求的點(diǎn)P一共有4個46位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A1或3 B1或4C2或3 D2或4答案D解析設(shè)6位同學(xué)分別用a，b，c，d，e，f表示若任意兩位同學(xué)之間都進(jìn)行交換共進(jìn)行15次交換，現(xiàn)共進(jìn)行了13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由3人構(gòu)成的2次交換，如ab和ac之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀(jì)念品的有b，c兩人(2)由4人構(gòu)成的2次交換，如ab和ce之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀(jì)念品的有a，b，c，e四人故選D.5已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由已知，得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnn·qn1，于是Sn1·q02·q13·q2n·qn1.若q1，將上式兩邊同乘q，得qSn1·q12·q2(n1)·qn1n·qn.兩式相減，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，則Sn123n.綜上，Sn6已知函數(shù)f(x)(a1)ln xax21，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax.當(dāng)a0時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a1時，f(x)<0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)1<a<0時，令f(x)0，解得x ，則當(dāng)x時，f(x)>0；當(dāng)x時，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a1時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)1<a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減