2022年高中數(shù)學(xué)《第二章 平面向量》周練3 新人教A版必修4

2022年高中數(shù)學(xué)第二章 平面向量周練3 新人教A版必修4一、選擇題(每小題5分，共40分)1已知|a|，|b|4，且a與b的夾角為，則a·b的值是()A1 B.±1 C2 D.±2解析a·b|a|·|b|·cos×4×1.答案A2已知|a|b|2，a·b2，則|ab|()A1 B. C2 D.或2解析|ab|2.答案C3已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.解析a·b325，|a|，|b|，設(shè)夾角為，則cos .又0，.答案B4(xx·泉州測(cè)試)在ABC中，C90°，(k,1)，(2,3)，則k的值是()A5 B.5 C. D.解析C90°，·0，()·0，即(k2，2)·(2,3)0，解得k5.故選A.答案A6已知|a|3，|b|2，a，b60°，如果(3a5b)(mab)，則m的值為()A. B. C. D.解析(3a5b)·(mab)0，即3ma2(5m3)a·b5b203m·32(5m3)·3×2cos 60°5×220，解之得m.答案C7(xx·煙臺(tái)高一檢測(cè))若a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為()A. B. C. D.解析設(shè)a與b的夾角為，則cos ，a在b方向上的投影為|a|cos ×.答案A8兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們間的夾角為90°時(shí)合力大小為20 N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力的大小為()A40 N B.10 N C20 N D.10 N解析由題意，知|F1|F2|10 N，當(dāng)其夾角為120°時(shí)，利用平行四邊形法則可構(gòu)造一個(gè)菱形，其合力大小等于10 N.答案B二、填空題(每小題5分，共20分)9設(shè)單位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，則|x2y|_.解析mb，m·b0.即2xy0.又|m|2x2y21，解得或|x2y|.答案10一個(gè)重20 N的物體從傾斜角30°，斜面長(zhǎng)1 m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功是_解析由力的正交分解知識(shí)可知沿斜面下滑的分力大小|F|×20 N10 N，W|F|·|s|10 J.或由斜面高為 m，W|G|·h20× J10 J.答案10 J11已知向量a(6,2)，b(4，)，直線l過(guò)點(diǎn)A(3，1)且與向量a2b垂直，則直線l的方程為_(kāi)解析a2b(6,2)2(2,3)設(shè)P(x，y)為所求直線上任意一點(diǎn)，則(x3，y1)·(a2b)0，2(x3)3(y1)0，整理得2x3y90.2x3y90即為所求直線方程答案2x3y9012已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_(kāi)解析·()···|21.答案1三、解答題(每小題10分，共40分)13設(shè)平面上向量a(cos ，sin )(02)，b，a與b不共線(1)證明向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)兩個(gè)向量ab與ab的模相等時(shí)，求角.(1)證明ab，ab，(ab)·(ab)cos2sin20，(ab)(ab)(2)解由題意：(ab)2(ab)2得：a·b0，cos sin 0，得tan ，又0<2得或.14已知點(diǎn)A(1,2)和B(4，1)，問(wèn)能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使ACB90°，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)解假設(shè)存在點(diǎn)C(0，y)使ACB90°，則.(1，y2)，(4，y1)，·4(y2)(y1)0，y2y20.而在方程y2y20中，<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在滿足條件的點(diǎn)C.15(xx·惠州高一期末)已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.解(1)設(shè)c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)·(2ab)0，即2a23a·b2b20，2×53a·b2×0，整理得a·b，cos 1.又0，.16如圖有兩條相交成60°的直線xx，yy，其交點(diǎn)為O，甲、乙兩輛汽車(chē)分別在xx，yy上行駛，起初甲在離O點(diǎn)30 km的點(diǎn)A處，乙在離O點(diǎn)10 km的點(diǎn)B處，后來(lái)兩車(chē)均用60 km/h的速度，甲沿xx方向，乙沿yy方向行駛(1)起初兩車(chē)的距離是多少？(2)t小時(shí)后兩車(chē)的距離是多少？(3)何時(shí)兩車(chē)的距離最短？解(1)由題意知，|2()2|2|22|cos 60°3021022×30×10×700.故|10(km)(2)設(shè)甲、乙兩車(chē)t小時(shí)后的位置分別為P，Q，則|60t，|60t.當(dāng)0t時(shí)，|2()2(3060t)2(1060t)22(3060t)(1060t)cos 60°；當(dāng)t>時(shí)，|2(60t30)2(1060t)22(60t30)(1060t)cos 120°.上面兩式可統(tǒng)一為|210 800t23 600t700，即|10.(3)108t236t710824，當(dāng)t時(shí)，即在第10分鐘末時(shí)，兩車(chē)的距離最短，且最短距離為20(km)