高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時作業(yè)（二十二）用向量方法求空間中的角 新人教B版選修2-1

高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時作業(yè)（二十二）用向量方法求空間中的角 新人教B版選修2-11如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A.B.C. D.解析：設(shè)CB1，則A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：A2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中點，則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為()A B.C D.解析：建立如圖空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)設(shè)平面B1BD的法向量為n(x，y，z)n，n，令y1，則n(1,1,0)cosn，設(shè)直線BE與平面B1BD所成角為，則sin|cosn，|.答案：B3在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，則AC與BD1所成角的余弦值為()A0 B.C D.解析：建立如圖坐標系，則D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90°，其余弦值為0.答案：A4正方形ABCD所在平面外有一點P，PA平面ABCD.若PAAB，則平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小為()A30° B45°C60° D90°解析：建系如圖，設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量為n1(1,0,0)設(shè)平面PCD的法向量n2(x，y，z)，則得令x1，則z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.此角的大小為45°.答案：B5在長方體ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成角分別為60°和45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：建立如圖的空間直角坐標系，可知CB1C160°，DC1D145°，設(shè)B1C11，CC1DD1.C1D1，則有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.答案：A6已知直角ABC中，C90°，B30°，AB4，D為AB的中點，沿中線將ACD折起使得AB，則二面角ACDB的大小為()A60° B90°C120° D150°解析：取CD中點E，在平面BCD內(nèi)過B點作BFCD，交CD延長線于F.據(jù)題意知AECD，AEBF，EF2，AB.且，為二面角的平面角，由()2得133342×3×cos，cos，.，120°.即所求的二面角為120°.答案：C7直線l的方向向量a(2,3,2)，平面的一個法向量n(4,0,1)，則直線l與平面所成角的正弦值為_解析：設(shè)直線l與平面所成的角是，a，n所成的角為，sin|cos|.答案：8在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和BB1的中點，則sin，_.解析：建立如圖坐標系，設(shè)正方體棱長為2.可知(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：9如圖正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為_解析：建立坐標系如圖，則B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一個法向量又，BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為.答案：10如圖，在空間直角坐標系中，BC2，原點O是BC的中點，點A的坐標是，點D在平面yOz上，且BDC90°，DCB30°.(1)求向量的坐標；(2)設(shè)向量和的夾角為，求cos的值解：(1)過D作DEBC，垂足為E，在RtBDC中，由BDC90°，DCB30°，BC2，得BD1，CD，DECD·sin30°.OEOBBEOBBD·cos60°1.D點的坐標為，即向量.(2)依題意，(0，1,0)，(0,1,0)，所以，(0,2,0)則cos.B組能力提升11如圖所示，已知點P為菱形ABCD所在平面外一點，且PA平面ABCD，PAADAC，點F為PC中點，則二面角CBFD的正切值為()A. B.C. D.解析：設(shè)ACBDO，連接OF，以O(shè)為原點，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)PAADAC1，則BD，B，F(xiàn)，C，D.，且為平面BDF的一個法向量由，可得平面BCF的一個法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：D12如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_解析：不妨設(shè)棱長為2，則，cos，0.故AB1與BM的夾角為90°.答案：90°13如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點(1)求證：MN平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成角的大小解析：(1)證明：根據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)ACBCCC1a，則B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.所以(a，a，a)，(a,0，a)，.于是·0，·0，即MNBA1，MNCA1.又BA1CA1A1，故MN平面A1BC.(2)因為MN平面A1BC，則為平面A1BC的法向量，又(0，a，a)，則cos，所以，60°.故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°.14如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(2)證明平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解析：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點設(shè)AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M.(1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(2)證明：由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得·0，·0.因此，CEAM，CEAD.15如圖所示，已知在四面體ABCD中，O為BD的中點，CACBCDBD2，ABAD.(1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值解：(1)證明：因為BODO，ABAD，所以AOBD.因為BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90°，即AOOC.因為BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.