2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何章末復習課學案 新人教B版選修2-1

第3章 空間向量與立體幾何空間向量及其運算【例1】(1)在空間四邊形O­ABC中，其對角線為OB，AC，M是OA的中點，G為ABC的重心，用基向量，表示向量.(2)已知三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積若|a|，且a分別與，垂直，求向量a的坐標解(1)如圖，連接AG并延長交BC于點D.D為BC的中點，()G為ABC的重心，()，又，()(2)M為OA的中點，.(2).(2)由題意，可得(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，所以sin，所以以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為S2×|·|·sin，14×7.設(shè)a(x，y，z)，由題意，得，解得或.所以向量a的坐標為(1,1,1)或(1，1，1)(1)向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義.(2)熟記空間向量的坐標運算公式,設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， 加減運算：a±b(x1±x2，y1±y2，z1±z2). 數(shù)量積運算：a·bx1x2y1y2z1z2. 向量夾角：cosa，b. 向量長度：設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則r(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2).提醒：在利用坐標運算公式時注意先對向量式子進行化簡再運算.1已知a(5,3,1)，b，若a與b的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍解由已知a·b5×(2)3t1×3t.因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b0，即3t0，所以t.若a與b的夾角為180°，則存在0，使ab，即(5,3,1)，所以所以t，故t的范圍是.利用空間向量證明平行、垂直問題【例2】四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：(1)PC平面EBD；(2)平面PBC平面FCD.證明如圖，以D為坐標原點，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設(shè)DCa，PDb，則D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E.(1)，(a，a,0)設(shè)平面EBD的一個法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得n，因為·n(a,0，b)·0，所以n，故PC平面EBD.(2)由題意得平面PDC的一個法向量為(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，設(shè)平面PBC的一個法向量為m(x1，y1，z1)，則即得y10，令x11，則z1，所以m，因為·m(0，a,0)·0，所以m，即平面PBC平面PCD.(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. 能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線. 利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法 轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理. 證明這兩個平面的法向量是共線向量.(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法 證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量. 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法 轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個平面的法向量互相垂直.2如圖所示，長方體ABCD­A1B1C1D1中，點M，N分別在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D.(1)求證：A1C平面AMN.(2)當AB2，AD2，A1A3時，問在線段AA1上是否存在一點P使得C1P平面AMN，若存在，試確定P的位置解(1)因為CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因為AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可證A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C為原點，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，因為AB2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因為M，N分別在BB1，DD1上，所以設(shè)N(2,0，z)，M(0,2，y)，則(2,0，y)，(0，2，z)，(2,0，3)，(0，2，3)，因為AMA1B，ANA1D，所以解得所以，由(1)知A1C平面AMN.設(shè)平面AMN的法向量n(x，y，z)，則取z3，得n(2,2,3)，設(shè)線段AA1上存在一點P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，則(2,2，t3)，因為C1P平面AMN，所以·n443t90，解得t.所以P，所以線段AA1上存在一點P，使得C1P平面AMN.利用空間向量求角【例3】如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADDC，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，M為PC的中點，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求證：PQAB；(2)求二面角P­QB­M的余弦值解(1)在PAD中，PAPD，Q為AD的中點，所以PQAD.因為平面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以PQ底面ABCD.又AB平面ABCD，所以PQAB.(2)在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，Q為AD的中點，所以四邊形BCDQ為平行四邊形因為ADDC，所以ADQB.由(1)，可知PQ平面ABCD，故以Q為坐標原點，建立空間直角坐標系Qxyz如圖所示，則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(1，0)，B(0，0)，(0，0)因為AQPQ，AQBQ，所以AQ平面PQB，即為平面PQB的一個法向量，且(1,0,0)因為M是棱PC的中點，所以點M的坐標為，所以.設(shè)平面MQB的法向量為m(x，y，z)，則，即，令z1，得x，y0，所以m(，0,1)，所以cos，m.由題意，知二面角P­QB­M為銳角，所以二面角P­QB­M的余弦值為.用向量法求空間角的注意點(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為0°<90°，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如圖，有兩個平面與，分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角3(2019·全國卷)如圖，長方體ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BEEC1.(1)證明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角B­EC­C1的正弦值解(1)由長方體ABCD­A1B1C1D1可知B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，B1C1BE，又因為BEEC1，EC1C1B1C1，EC1平面EB1C1，C1B1面EB1C1，BE平面EB1C1.(2)以CD，CB，CC1所在的直線為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，設(shè)AEA1E1，BE面EB1C1，BEEB1，AB1，設(shè)E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，BCEB1，EB1面EBC，故可取平面EBC的法向量為m(1,0,1)設(shè)平面ECC1的法向量為n(x，y，z)，由可得令x1，則n(1，1,0)，cosm，n，故二面角B­EC­C1的正弦值為.數(shù)學思想在向量中的應(yīng)用【例4】如圖所示，在四棱錐O­ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點，N為BC的中點(1)證明：直線MN平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小解作APCD于點P，分別以AB，AP，AO所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.(1)證明：，.設(shè)平面OCD的法向量為n(x，y，z)，由n·0，n·0，得令z，得n(0,4，)·n×0×4(1)×0，n.又MN平面OCD，MN平面OCD.(2)設(shè)異面直線AB與MD所成的角為.(1,0,0)，cos，.與所成的角為.故異面直線AB與MD所成的角.空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標法.這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論.這樣就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.4在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，如圖所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD.(1)求證：CDAB.(2)若點M為線段BC的中點，求點M到平面ACD的距離(3)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解(1)證明：在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，所以ADAB，BD2，DBCADB45°，CD2，所以BD2CD2BC2，所以CDBD.因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，所以CDAB.(2)由(1)知CDBD.以點D為原點，DB所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，過點D作垂直于平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，如圖所示，由已知得A(1，0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)設(shè)平面ACD的一個法向量為n(x，y，z)，則·n0，·n0，即令x1，得z1，y0，則平面ACD的一個法向量為n(1,0，1)，所以點M到平面ACD的距離為d.(3)假設(shè)在線段BC上存在點N，使得AN與平面ACD所成的角為60°.設(shè)(0<<1)，N(a，b,0)，則(a2，b,0)(2,2,0)，所以N(22，2，0)，(12，2，1)又平面ACD的一個法向量為n(1,0，1)，且直線AN與平面ACD所成的角為60°，所以sin 60°，即，可得82210，解得或(舍去)綜上所述，在線段BC上存在點N，使得AN與平面ACD所成的角為60°，此時.- 10 -