2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

第2章 圓錐曲線與方程圓錐曲線定義的應(yīng)用【例1】(1)已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為()A9B5C8D4(2)若點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)C是橢圓1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，則|AM|AC|的最小值是_(1)A(2)82(1)設(shè)右焦點(diǎn)為F，則F(4,0)，依題意，有|PF|PF|4，所以|PF|PA|PF|PA|4|AF|4549.(2)設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，則B(3,0)，點(diǎn)M(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|2，所以(|AM|AC|)min82.研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問題時(shí)，常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題.提醒：應(yīng)用定義解決問題時(shí)，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應(yīng)的結(jié)論.1以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4 C6 D8B設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.2在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L­距離”定義為|P1P2|x1x2|y1y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L­距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是圖中的()A設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)，則點(diǎn)P滿足：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，代入坐標(biāo)，得|xc|xc|2|y|2a.當(dāng)y0時(shí)，y當(dāng)y0時(shí)，y結(jié)合選項(xiàng)可知A正確，故選A.圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，點(diǎn)A(0,1)與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是，求雙曲線方程(1)A如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P.設(shè)E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故選A.(2)解e，a24b2，設(shè)雙曲線1上一點(diǎn)B(x，y)，則|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b21524b2.當(dāng)y時(shí)，|AB|取得最小值，為，即，b21，雙曲線方程為y21.圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強(qiáng)，需弄清每個(gè)性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應(yīng)用到解題中去.3(2019·全國卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B. C2 D.A如圖：以O(shè)F為直徑的圓的方程為x2y2，又x2y2a2，得交線PQ的直線方程為：x，代入，得y±，又|PQ|OF|，則2c，ab，e，故選A.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題【例3】已知直線l：xmy1(m0)恒過橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)(1)若拋物線x24y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；(2)對于(1)中的橢圓C，若直線l交y軸于點(diǎn)M，且1，2，當(dāng)m變化時(shí)，求12的值解 (1)根據(jù)題意，直線l：xmy1(m0)過橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，F(xiàn)(1,0)，c1，又拋物線x24y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，b，b23.a2b2c24，橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸交于M，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)>0，y1y2，y1y2，(*)，又由1，1(1x1，y1)，11，同理21，1222，12.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；(2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；(3)有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算.4如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記d，求d的最大值解(1)y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，1，p，拋物線C的方程為y2x.又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，t1.(2)由(1)知，點(diǎn)M(1,1)，從而nm，即點(diǎn)Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k0)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k·2m1，直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m2>0，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB|·|y1y2|·2.d2m(1m)1，當(dāng)且僅當(dāng)m1m，即m時(shí)，上式等號成立，又m滿足4m4m20.d的最大值為1.數(shù)學(xué)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用【例4】已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P，Q，交直線l1于點(diǎn)R，求·的最小值解(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時(shí)取等號，·4×2816，即·的最小值為16.函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題應(yīng)用廣泛，主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題.5設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)求證|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)證明：因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y(x1)，點(diǎn)A到直線m的距離為，所以|PQ|24，故四邊形MPNQ的面積S|MN|·|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)- 9 -