2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系檢測評估

2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系檢測評估一、 填空題 1. 設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1 的兩個交點,則AB=. 2. 直線x-y=0截圓(x-2)2+y2=4所得劣弧所對的圓心角是. 3. (xx·煙臺模擬)若點P(1,1)為圓x2+y2-6x=0的弦MN的中點,則弦MN所在直線的方程為. 4. (xx·池州一中)已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點,且圓C與直線x+y+3=0相切,那么圓C的方程為. 5. (xx·湖北卷)若直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=. 6. (xx·全國卷)已知直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點為(1,3),則直線l1與l2的方程分別為. 7. (xx·江西卷)在平面直角坐標系中,A,B分別是x軸和y軸上的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為. 8. (xx·重慶卷)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且ABC為等邊三角形,那么實數(shù)a=.二、 解答題 9. (xx·江蘇模擬)已知直線l經(jīng)過點P且被圓x2+y2=25截得的弦長為8,求直線l的方程.10. 已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切.(1) 求直線l1的方程;(2) 設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點,M是圓O上異于P,Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P',直線QM交直線l2于點Q',求證:以P'Q'為直徑的圓C恒過定點,并求出該定點的坐標.11. 已知點A(-2,0),B(2,0),C(m,n).(1) 若m=1,n=,求ABC的外接圓的方程;(2) 若以線段AB為直徑的圓O過點C(異于點A,B),直線x=2交直線AC于點R,線段BR的中點為D,試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.第57課直線與圓的位置關(guān)系1. 2解析:直線y=x過圓x2+y2=1的圓心C(0,0),則AB=2. 2. 解析:圓心(2,0)到直線x-y=0的距離d=1,故所求的圓心角為. 3. 2x-y-1=0解析:x2+y2-6x=0化為標準方程為(x-3)2+y2=9,因為P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點,所以圓心與點P確定的直線斜率為=-,所以弦MN所在直線的斜率為2,所以弦MN所在直線的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.4. (x+1)2+y2=2解析:令y=0,得x=-1,所以圓心C的坐標為(-1,0).因為直線x+y+3=0與圓C相切,所以圓心C(-1,0)到直線的距離等于圓C的半徑,即r=,所以圓C的方程為(x+1)2+y2=2.5. 2解析:依題意得,圓心O到兩直線l1:y=x+a,l2:y=x+b的距離相等,且每段弧長都等于圓周的,即=1×sin45°,得 |a|=|b|=1,故a2+b2=2.6. 7x+y-10=0,x-y+2=0解析:顯然兩條切線l1,l2的斜率都存在.設(shè)過(1,3)的圓x2+y2=2的切線方程為y-3=k(x-1),則圓心(0,0)到直線kx-y+3-k=0的距離等于半徑,即=,解得k=-7或1.所以直線l1與l2的方程分別為7x+y-10=0,x-y+2=0.7. 解析:由題意知,圓C必過點O(0,0),故要使圓C的面積最小,則點O到直線l的距離為圓C的直徑,即2r=,所以r=,所以S=.8. 4±解析:由題意可知圓C的圓心為C(1,a),半徑r=2,則圓心C到直線ax+y-2=0的距離d=.因為ABC為等邊三角形,所以AB=r=2,又AB=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4±.9. 當直線l的斜率k不存在時,l的方程為x=-3,代入x2+y2=25,得y1=4,y2=-4,弦長為|y1-y2|=8,符合題意.當直線l的斜率k存在時,設(shè)其方程為y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0.由已知,弦心距為=3,所以=3,解得k=-,此時直線l的方程為y+=-(x+3),即3x+4y+15=0.綜上,直線l的方程為x+3=0或3x+4y+15=0.10. (1) 因為直線l1過點A(3,0),且與圓O:x2+y2=1相切,可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,則圓心O(0,0)到直線l1的距離d=1,解得k=±,故直線l1的方程為y=±(x-3).(2) 對于圓x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點A且與x軸垂直,所以直線l2的方程為x=3,設(shè)M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1).解方程組得P'.同理可得Q'.所以以P'Q'為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0,又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,令解得x=3±2,y=0.所以圓C總過定點,定點坐標為(3±2,0). 11. (1) 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意可得解得D=E=0,F=-4,故ABC的外接圓方程為x2+y2-4=0,即x2+y2=4.(2) 直線CD與圓O相切.證明如下:由題意可知以線段AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,設(shè)點R的坐標為(2,t).因為A,C,R三點共線,所以,而=(m+2,n),=(4,t),則4n=t(m+2),所以t=,所以點R的坐標為,點D的坐標為,直線CD的斜率為k=,而m2+n2=4,所以m2-4=-n2,所以k=-,則直線CD的方程為y-n=-(x-m),化簡得mx+ny-4=0,所以圓心O到直線CD的距離d=2=r,所以直線CD與圓O相切.