2022年高考數(shù)學總復習 第四章4.3 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù)教案 理 北師大版

2022年高考數(shù)學總復習 第四章4.3 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù)教案 理 北師大版考綱要求1會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式2能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式3能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系4能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)知識梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(±)_；cos(±)_；tan(±)_.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.3形如asin bcos 的化簡asin bcos sin()，其中cos _，sin _，即tan .4半角公式(1)用cos 表示sin2，cos2，tan2.sin2_；cos2_；tan2_.(2)用cos 表示sin，cos ，tan.sin_；cos_；tan_.(3)用sin ，cos 表示tan.tan.基礎自測1下列各式中，值為的是()A2sin 15°cos 15°Bcos215°sin215°C2sin215°1Dsin215°cos215°2化簡的結(jié)果是().Acos 1 Bcos 1Ccos 1 Dcos 13已知，sin ，則tan_.4函數(shù)f(x)2sin x2cos x的值域是_5若2 012，則tan 2_.思維拓展1兩角和與差的正切公式對任意角都適用嗎？若出現(xiàn)不適用的情況如何化簡？提示：在T與T中，±都不等于k(kZ)，即保證tan ，tan ，tan()都有意義；若，中有一角是k(kZ)，可利用誘導公式化簡2你能用tan 來表示sin 2，cos 2嗎？提示：sin 22sin cos ；cos 2cos2sin2.3sin±，cos±，tan±的符號取決于什么？能否用sin 及cos 表示tan？提示：各函數(shù)值的符號取決于所在象限tan或tan.一、兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用【例11】在ABC中，角C120°，tan Atan B，則tan Atan B的值為()A B C D【例12】化簡：.方法提煉1運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()·(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等2應熟悉公式的逆用和變形應用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應用后，才能真正掌握公式的應用請做針對訓練1二、角的變換【例21】已知sin，則sin 2x_.【例22】已知0，cos，sin，求sin()的值方法提煉1當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；2當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”3常見的配角技巧：2·；()；2()()；2()()；()；()()；()()；.注意：特殊的角也看成已知角，如.請做針對訓練2三、三角函數(shù)式的化簡【例31】化簡：(2)【例32】化簡：.方法提煉三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等請做針對訓練4四、三角函數(shù)式的求值【例4】已知，tan .求的值方法提煉三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角(1)給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)(2)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應用同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的(3)給值求角的關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)的值，其次判斷該角對應的區(qū)間，從而達到解題的目的請做針對訓練3五、三角恒等式的證明【例51】求證：sin 2.【例52】已知0，0，且3sin sin(2),4tan1tan2，證明：.方法提煉1證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的的化繁為簡、左右歸一或變更論證2三角恒等式的證明主要有兩種類型：絕對恒等式與條件恒等式(1)證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，變更論證，通過三角恒等式變換，使等式的兩邊化異為同(2)條件恒等式的證明則要認真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當途徑常用代入法、消元法、兩頭湊等方法請做針對訓練5考情分析從近兩年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱、利用誘導公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、向量等知識綜合考查預測xx年高考仍將以同角三角函數(shù)的關(guān)系及利用和差角公式、二倍角公式進行恒等變換為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想和計算能力針對訓練1如果cos2cos2a，則sin()sin()等于()A BCa Da2已知tan，tan ，則tan()的值為()A B C D13_.4化簡：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.5已知sin msin(2)(m1)，求證：tan()tan .參考答案基礎梳理自測知識梳理1sin cos ±cos sin cos cos sin sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin234(1)(2)±±±基礎自測1B解析：A中：2sin 15°cos 15°sin 30°；B中：cos215°sin215°cos 30°；C中：2sin215°1cos 30°；D中：sin215°cos215°1.2C解析：cos 1.3解析：，sin ，cos .tan ，tan 2.tan.42，2解析：f(x)2sin，又1sin1，2f(x)2.52 012解析：tan 22 012.考點探究突破【例11】B解析：由題意得tan Ctan(AB)tan(AB)，又tan Atan B，解得tan Atan B.故選B.【例12】解：原式cos 2x.【例21】解析；sin 2xcoscos 22sin212×21.【例22】解：，0.又cos，sin.0，.又sin，cos，sin()coscoscoscossinsin××.【例31】解：原式.又2，.cos 0.原式cos .【例32】解：原式··.【例4】解：tan ，3tan210tan 30，解得tan 3或tan .又，tan .【例51】證明：左邊cos sincossin cos sin 2右邊原式成立【例52】證明：3sin sin(2)，即3sin()sin()，3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，2sin()cos 4cos()sin ，tan()2tan .又4tan1tan2tan.tan()2tan 1，.演練鞏固提升針對訓練1C解析：sin()sin()(sincoscossin )(sin cos cos sin )sin2cos2cos2sin2(1cos2)cos2cos2(1cos2)cos2cos2a.2D解析：tan()tan1，故選D.3解析：sin 50°(1tan 10°)sin 50°·sin 50°·1，cos 80°·sin 10°·sin210°.4解：解法一：原式sin2·sin2cos2·cos2(2cos21)(2cos21)sin2·sin2cos2·cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2·sin2cos2·cos2cos2cos2sin2·sin2cos2·sin2cos2sin2cos21.解法二：原式··cos 2·cos 2(1cos 2·cos 2cos 2cos 2)(1cos 2·cos 2cos 2cos 2)cos 2·cos 2cos 2·cos 2cos 2·cos 2.5證明：由()，2()得sin()m·sin()，即sin()cos cos()sin msin()cos cos()sin ，即(1m)sin()cos (1m)cos()sin .兩邊同除以(1m)cos()cos 得tan()tan (m1)，即等式成立