2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理1函數(shù)(1)函數(shù)的概念函數(shù)實質(zhì)上是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個特殊映射，記作yf(x)，xA，其中x的取值范圍A叫做這個函數(shù)的定義域，f(x)的集合C叫函數(shù)的值域，B與C的關(guān)系是CB，我們將f，A，C叫做函數(shù)的三要素，但要注意，函數(shù)定義中A，B是兩個非空數(shù)集，而映射中兩個集合A，B是任意的非空集合(2)函數(shù)的表示方法函數(shù)表示方法有圖象法、列表法、解析法2映射映射AB中兩集合的元素的關(guān)系是一對一或多對一，但不可一對多，且集合B中元素可以沒有對應(yīng)元素，但A中元素在B中必須有唯一確定的對應(yīng)元素1函數(shù)的單調(diào)性與最值(1)單調(diào)性對于定義域內(nèi)某一區(qū)間D內(nèi)任意的x1，x2且x1x2(或xx1x20)：若f(x1)f(x2)或yf(x1)f(x2)0恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞增；若f(x1)f(x2)或yf(x1)f(x2)0恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞減(2)最值設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I：如果存在實數(shù)M滿足：對任意的xI，都有f(x)M且存在x0I，使得f(x0)M，那么稱M是函數(shù)yf(x)的最大值；如果存在實數(shù)M滿足：對任意xI，都有f(x)M且存在x0I，使得f(x0)M，那么稱M是函數(shù)yf(x)的最小值2函數(shù)的奇偶性(1)定義對于定義域內(nèi)的任意x有：f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)；f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)(2)性質(zhì)函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，且在x0處有定義時必有f(0)0，即f(x)的圖象過原點偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反3周期性(1)定義對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)性質(zhì)如果T是函數(shù)yf(x)的周期，則：kT(k0，kZ)也是yf(x)的周期；若已知區(qū)間m，n(mn)上的圖象，則可畫出區(qū)間mkT，nkT(kZ且k0)上的圖象1基本初等函數(shù)的圖象基本初等函數(shù)包括：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)對于這些函數(shù)的圖象應(yīng)非常清楚2函數(shù)圖象的畫法(1)描點法作圖通過列表、描點、連線三個步驟畫出函數(shù)的圖象(2)圖象變換法作圖平移變換ayf(x)的圖象向左平移a(a0)個單位長度得到函數(shù)a.yf(xa)的圖象byf(xb)(b0)的圖象可由yf(x)的圖象向b.右平移b個單位長度得到對于左、右平移變換，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減而對于上、下平移變換，相比較則容易掌握，原則是：上加下減，但要注意的是加、減指的是在f(x)整體上對稱變換(在f(x)有意義的前提下)ayf(x)與yf(x)的圖象a.關(guān)于y軸對稱；byf(x)與yf(x)的圖象b.關(guān)于x軸對稱；cyf(x)與yf(x)的圖象c.關(guān)于原點對稱；dy|f(x)|的圖象可將yf(x)的圖象在x軸下方的部分d.關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180°，其余部分不變；eyf(|x|)的圖象，可先作出yf(x)當x0時的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出e.yf(x)(x0)的圖象伸縮變換ayAf(x)(A0)的圖象，可將yf(x)的圖象上所有點的a.縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標不變而得到；byf(ax)(a0)的圖象，可將yf(x)的圖象上所有點的b.橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變而得到判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x)與g(x)x是同一個函數(shù)(×)(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等(×)(3)若函數(shù)f(x)的定義域為x|1x<3，則函數(shù)f(2x1)的定義域為x|1x<5(×)(4)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)(×)(5)對于函數(shù)f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)·f(x1)f(x2)>0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)()(6)函數(shù)y|x|是R上的增函數(shù)(×)1下列說法中，不正確的是(B)A函數(shù)值域中每一個數(shù)都有定義域中的至少一個數(shù)與之對應(yīng)B函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素2(xx·北京卷)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集是(C)Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：令g(x)ylog2(x1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖由得 結(jié)合圖象知不等式f(x)log2(x1)的解集為x|1x13函數(shù)yf(x)(xR)的圖象如下圖所示，下列說法正確的是(C)函數(shù)yf(x)滿足f(x)f(x)；函數(shù)yf(x)滿足f(x2)f(x)；函數(shù)yf(x)滿足f(x)f(x)；函數(shù)yf(x)滿足f(x2)f(x)A BC D解析：由圖象可看出，f(x)為周期為4的奇函數(shù)，正確故選C.4(xx·安徽卷)函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(A)Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0解析：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)先增再減，再增，且極值點都大于0，函數(shù)圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上解法一：由圖象知f(0)d>0.因為f(x)3ax22bxc0有兩個不相等的正實根，所以a>0，>0，所以b<0.又f(0)c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0.解法二：由圖象知f(0)d0，首先排除選項D；f(x)3ax22bxc3a(xx1)(xx2)3ax23a(x1x2)x3ax1x2，令x1x2，因為x(，x1)時，f(x)0，所以a0，排除C；又c3ax1x20，2b3a(x1x2)0，所以c0，b0，故選A.一、選擇題1(xx·北京卷)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B)Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：因為yx2是偶函數(shù)，ysin x是奇函數(shù)，ycos x是偶函數(shù)，所以A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)；C選項中函數(shù)圖象是把對數(shù)函數(shù)yln x的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，其余部分的圖象保持不變，故為非奇非偶函數(shù)；D選項為指數(shù)函數(shù)y，是非奇非偶函數(shù)2函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)的值為(B)A3 B0 C1 D2解析：f(a)2a3sin a12，a3sin a1.f(a)a3sin(a)1(a3sin a)1110.3(xx·陜西卷)設(shè)f(x)則f(f(2)(C)A1 B.C. D.解析：因為20，所以f(2)220，所以f1 1.4函數(shù)yln(1)(x1)的反函數(shù)是(D)Ay(1ex)3(x1)By(ex1)3(x1)Cy(1ex)3(xR)Dy(ex1)3(xR)解析：由已知函數(shù)可得1ey(yR)，即ey1，所以x(ey1)3，x，y對調(diào)即得原函數(shù)的反函數(shù)為y(ex1)3(xR)故選D.5(xx·新課標卷)設(shè)函數(shù)f(x)則f(2)f(log212)(C)A3 B6 C9 D12解析： 2<1， f(2)1log2(22)1log24123. log212>1， f(log212)2log21216. f(2)f(log212)369.故選C.6(xx·新課標卷)如圖，長方形ABCD的邊AB2，BC1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記BOPx.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為(B)解析：當x0，時，f(x)tan x，圖象不會是直線段，從而排除A，C.當x，時，f()f()1，f()2. 21， f()f()f()，從而排除D，故選B.二、填空題7若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0，2上的解析式為f(x)則ff解析：ffffffffffff×sin .8(xx·福建卷)若函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最小值等于1解析：因為f(x)2|xa|，所以f(x)的圖象關(guān)于xa對稱又由f(1x)f(1x)，知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，故a1，且f(x)的增區(qū)間是1，)，由函數(shù)f(x)在m，)上單調(diào)遞增，知m，)1，)，所以m1，故m的最小值為1.三、解答題9已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解析：(1)當a0時，f(x)x2(x0)為偶函數(shù)；當a0時，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)解法一設(shè)x2x12，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20，x1x20.要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需f(x1)f(x2)0，即x1x2(x1x2)a0恒成立，則a16.故a的取值范圍是(，16解法二f(x)2x，要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需當x2時，f(x)0恒成立，即2x0，則a2x316，)恒成立，故當a16時，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)故a的取值范圍是(，1610f(x)的定義域為R，對任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)，且當x0時，f(x)0，f(1)2.(1)證明：f(x)是奇函數(shù)；(2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)求f(x)在區(qū)間3，3上的最大值和最小值解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域R關(guān)于原點對稱，又由f(xy)f(x)f(y)，得fx(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0)，f(0)0.從而有f(x)f(x)0，f(x)f(x)由于xR，f(x)是奇函數(shù)(2)任取x1，x2R，且x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x1x2，x2x10.f(x2x1)0.f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，從而f(x)在R上是減函數(shù)(3)由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在3，3上的最大值是f(3)，最小值是f(3)，由f(1)2，得f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)6，f(3)f(3)6.從而f(x)在區(qū)間3，3上的最大值是6，最小值是6.11已知函數(shù)f(x)exex(xR，且e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性(2)是否存在實數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由解析：(1)f(x)ex，且yex是增函數(shù)，y是增函數(shù)，f(x)是增函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函數(shù)(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，由f(xt)f(x2t2)0對xR恒成立，則f(xt)f(t2x2)t2x2xtx2xt2t對xR恒成立min對一切xR恒成立0t.即存在實數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切x都成立