2022年高中數(shù)學(xué) 3-3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同步練習(xí) 新人教B版選修1-1

2022年高中數(shù)學(xué) 3-3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同步練習(xí) 新人教B版選修1-1一、選擇題1如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A()3 B()3C()3 D.()3答案A解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h，Vr2hr22r3(0<r<)則Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r>0，r是其唯一的極值點(diǎn)當(dāng)r時(shí)，V取得最大值，最大值為()3.2若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積最大為()A2r2 Br2C4r D.r2答案A解析設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則由組合體的知識得h2(2x)2(2r)2，又圓柱的側(cè)面積S2x·h，S2162(r2x2x4)，(S2)162(2r2x4x3)，由(S2)0，得xr(x0舍去)，Smax2r2，故選A.3設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長為()A. B.C. D2答案C解析設(shè)底面邊長為x，側(cè)棱長為l，則Vx2·sin60°·l，l，S表2S底3S側(cè)x2·sin60°3·x·lx2，S表0，x34V，即x.又當(dāng)x(0，)時(shí)y<0，x(，V)時(shí)，y>0，當(dāng)x時(shí)，表面積最小4某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為xx0元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系式R(x)則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150 B200C250 D300答案D解析總利潤P(x)由P(x)0，得x300，故選D.5函數(shù)y(x1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，1)B(1，)C(1,1) D(4，)答案B解析y4(x1)3，令y>0得x>1，函數(shù)y(x1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，故選B.6函數(shù)yx33ax6的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，) B(，)C(，) D以上都不對答案A解析y3x23a3(x2a)當(dāng)a0時(shí)y0恒成立，函數(shù)yx33ax6在(，)上是增函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，令x2a>0得x>或x<，函數(shù)yx33ax6在(，)和(，)上是增函數(shù)，令x2a<0得<x<，函數(shù)yx33ax6在(，)上是減函數(shù)，故應(yīng)選A.7(xx·廣東)設(shè)aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點(diǎn)，則()Aa<1 Ba>1Ca> Da<答案A解析yexax，yexa當(dāng)a0時(shí)，y不可能有極值點(diǎn)，故a<0由exa0得exa，xln(a)，xln(a)即為函數(shù)的極值點(diǎn)，ln(a)>0，即ln(a)>ln1.a<1.8把長為12 cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是()A.cm2 B4 cm2C3cm2 D2cm2答案D解析設(shè)一個(gè)三角形的邊長為xcm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為Sx2(4x)2x22x4.令Sx20則x2，所以Smin2.二、填空題9有一條長為16m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場地，則此矩形場地的最大面積為_m2.答案16解析設(shè)矩形場地的長為xm，則寬為(8x)m，其面積Sx(8x)8xx2，S82x，令S0得x4，當(dāng)x4時(shí)，S取極大值，這個(gè)極大值就是最大值，故當(dāng)矩形場地的長為4m，寬為4m時(shí)，面積取最大值16m2.10yx42x25在2,2上的最大值為_答案13解析y4x34x4x(x1)(x1)，令y0得x0，x1，x1，列表如下：x2(2，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2y000y13極小值4極大值5極小值41311用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長為_答案8cm解析設(shè)截去的正方形的邊長為xcm，則鐵盒的底面邊長為(482x)cm，鐵盒的體積為V，由題意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12x2384x230412(x232x192)，令V0得x8或x24(舍去)，當(dāng)x8時(shí)V取極大值，這個(gè)極大值就是最大值故當(dāng)截去的正方形的邊長為8cm時(shí)，所做的鐵盒容積最大12如圖所示，某工廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)，堆料場的長和寬分別為_答案32米，16米解析要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，如下圖所示，設(shè)場地寬為x米，則長為米，因此新墻壁總長度L2x(x>0)，則L2.令L0，得x±16.x>0，x16.當(dāng)x16時(shí)，L極小值Lmin64，堆料場的長為32米13某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為_元時(shí)，利潤最大答案115解析利潤為S(x)(x30)(200x)x2230x6000，S(x)2x230，由S(x)0得x115，這時(shí)利潤達(dá)到最大14把長60cm的鐵絲圍成矩形，當(dāng)長為_cm，寬為_cm時(shí)，矩形面積最大答案1515解析設(shè)矩形的長為xcm，則寬為(30x)cm(0<x<30)，矩形的面積Sx·(30x)30xx2，S302x2(15x)，令S0得x15，當(dāng)0<x<15時(shí)S>0，當(dāng)15<x<30時(shí)S<0，當(dāng)x15時(shí)，S取極大值，這個(gè)極大值就是最大值，故當(dāng)矩形長為15cm，寬為15cm時(shí)面積最大三、解答題15某集團(tuán)為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加銷售額約為t25t(百萬元)(0t3)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在300萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入300萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改選經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬元)，可增加的銷售額為x3x23x(百萬元)請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司獲得的收益最大(注：收益銷售額投入)解析(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以當(dāng)t2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬元)，由此獲得收益是g(x)(百萬元)則g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當(dāng)0x<2時(shí)，g(x)>0；當(dāng)2<x3時(shí)，g(x)<0.所以當(dāng)x2時(shí)，g(x)取最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司獲得的收益最大16用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋水箱，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱問：水箱底邊的長取多少時(shí)，水箱容積最大？最大容積是多少？解析設(shè)水箱底邊長為xcm，則水箱高為h60(cm)水箱容積VV(x)x2h60x2(0<x<120)(cm3)V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍)或x80.當(dāng)x在(0,120)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)V(x)的正負(fù)如下表：x(0,80)80(80,120)V(x)0因此在x80cm處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值將x80代入V(x)，得最大容積V802×60128000.答：水箱底邊長取80cm時(shí)，容積最大最大容積為128000cm3.17橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則斷面的高和寬各應(yīng)是多少？解析如右圖所示，設(shè)斷面的寬為x，高為y，則當(dāng)函數(shù)xy2取得最大值時(shí)橫梁的強(qiáng)度最大又因?yàn)閥2d2x2，所以f(x)xy2x(d2x2)(0<x<d)，所以f(x)d23x2，令f(x)0，得x .根據(jù)實(shí)際情況，當(dāng)x偏小(接近于0)或偏大(接近d)時(shí)，強(qiáng)度很小，因此f()為強(qiáng)度的極大值且同時(shí)為最大值所以橫梁鋸成寬d，高d時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大