2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版第I卷（共50分）【試卷綜析】試題在重視基礎(chǔ)，突出能力，體現(xiàn)課改，著眼穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題與老高考試題的嘗試性對(duì)接. 縱觀新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化思維量，控制運(yùn)算量，突出綜合性，破除了試卷的八股模式，以全新的面貌來(lái)詮釋新課改的理念，試題圖文并茂，文字闡述清晰，圖形設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明，無(wú)論是在試卷的結(jié)構(gòu)安排方面，還是試題背景的設(shè)計(jì)方面，都進(jìn)行了大膽的改革和有益的探索，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是一份很有特色的試題.一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【題文】1.已知集合A.B.C.D. 【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式的解法；集合運(yùn)算. A1 E3【答案解析】D 解析：，所以,故選D.【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)集合N，求得.【題文】2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于A.2B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算. L4【答案解析】A 解析：由=是純虛數(shù)得：，解得a=2，故選A.【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件求得a值.【題文】3.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性. B3【答案解析】B 解析：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)的充要條件是：，即.又是的真子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件，故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合關(guān)系，若A是B的真子集，則A是B的充分不必要條件.【題文】4.已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于A.1B.2C.3D.4【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)值的意義. B1【答案解析】B 解析：因?yàn)椋詾?,即a=1.故選B.【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)值的意義得關(guān)于a的方程即可.【題文】5.已知兩個(gè)不同的平面和兩個(gè)不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題：若；若；若；若.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.3【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系. G4 G5 【答案解析】D 解析：根據(jù)線面垂直的定義、平行線的性質(zhì)、線面垂直的判定得正確；由線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定定理得正確；因?yàn)?。所以，又因?yàn)?，所以，故正確；若，則m與n可能平行，也可能異面，故不正確，所以選D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間線、面平行于垂直的判定與性質(zhì)，一一判斷每個(gè)命題的正誤.【題文】6.若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是A.8B.7C.4D.2 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. E5【答案解析】B解析：設(shè)，畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)z=0時(shí)的直線y=-2x，得使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）,所以的最大值是，故選B.【思路點(diǎn)撥】畫出可行域，平移直線y=-2x，得使取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）,所以的最大值是7.【題文】7.一個(gè)三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側(cè)面積和體積分別是A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖；空間幾何體的結(jié)構(gòu). G1 G2【答案解析】A解析：根據(jù)題意知，此幾何體是底面邊長(zhǎng)2，高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，所以該三棱錐側(cè)面積為，體積為，故選A.【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體的結(jié)構(gòu)是底面邊長(zhǎng)2，高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，由此求得該三棱錐側(cè)面積和體積.【題文】8.若函數(shù)的大致圖像如右圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖像是【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的應(yīng)用. B8【答案解析】B解析：由函數(shù)的大致圖像可得：所以是減函數(shù)，的圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到，所以函數(shù)的大致圖像是B，故選B.【思路點(diǎn)撥】由已知函數(shù)圖像得，所以是減函數(shù)，的圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到，所以函數(shù)的大致圖像是B.【題文】9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì). H6【答案解析】A解析：此直線從與第二、四象限漸近線平行開(kāi)始，繞焦點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與第一、三象限漸近線平行為止，這個(gè)過(guò)程中直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以此直線的斜率的取值范圍是，故選A.【思路點(diǎn)撥】首先分析出，過(guò)點(diǎn)F與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線位置的圖形表現(xiàn)，然后求出其斜率的取值范圍.【題文】10.設(shè)向量，定義一種運(yùn)算“”。向量.已知，點(diǎn)的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為A.B.C.2D.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. F2【答案解析】B解析：根據(jù)題意得：=，設(shè)Q(X,Y),則（x是參數(shù)）所以,即，所以的最小值為：-2，故選B.【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)得，設(shè)Q(X,Y),則（x是參數(shù)），所以,即，所以的最小值為：-2.第II卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中橫線上.【題文】11.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值等于_.【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖. L1【答案解析】解析：由程序框圖得循環(huán)過(guò)程中S,k的值依次為：（1）（2）（3）（4），此時(shí)滿足，所以輸出=.【思路點(diǎn)撥】由框圖得循環(huán)過(guò)程中S,k依次取的值，從而得到該程序運(yùn)行后輸出的值.【題文】12.函數(shù)的圖像，其部分圖象如圖所示，則_.【知識(shí)點(diǎn)】的圖像與性質(zhì). C4【答案解析】解析：由圖像得周期T=，從而，所以，又是函數(shù)增區(qū)間上的零點(diǎn)，所以，所以，所以.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像確定函數(shù)的周期、初相，從而得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的值.【題文】13.已知圓C過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. H3 H4【答案解析】解析：設(shè)圓心C（a,0），則C到直線y=x+1的距離d=，圓半徑，由勾股定理得，解得a=1(舍去)或a=-3，所以圓心C(-3，0),半徑2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件及垂徑定理，求得圓心坐標(biāo)及半徑從而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題文】14.下面給出的四個(gè)命題中：以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為；若，則直線與直線相互垂直；命題“，使得”的否定是“，都有”；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象。其中是真命題的有_（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）?！局R(shí)點(diǎn)】命題的真假. A2【答案解析】 解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F（1,0）,且F到原點(diǎn)的距離為1，所以，以F為圓心坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為，故正確；當(dāng)m=-2時(shí) ，兩直線方程分別為，顯然這兩條直線垂直，故正確；根據(jù)含量詞的命題的否定知命題正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，故不正確.所以填.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線互相垂直的條件，含量詞的命題的否定方法，確定命題、正確；根據(jù)圖像左右的口訣:左加、右減，得命題不正確.【題文】15.已知恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式.E1【答案解析】-4m2 解析：解：解：根據(jù)題意，x0，y0，則，即的最小值為8，若恒成立，必有m2+2m8恒成立，m2+2m8m2+2m-80，解可得，-4m2，故答案為-4m2【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最小值三、解答題：本大題共6個(gè)小題.共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.【題文】16.（本小題滿分12分）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且滿足.（I）求的面積； （II）若、的值.【知識(shí)點(diǎn)】解三角形. C8【答案解析】（I）2；（II） 解析：（I） -2分而-4分又-5分-6分（II）而c=1，-9分-10分又.-12分【思路點(diǎn)撥】（I）利用二倍角公式,再由平方關(guān)系求,由向量的數(shù)量積定義式求出bc，再用三角形面積個(gè)公式求解；（II）由（I）的結(jié)論及c=1得b=5，再根據(jù)余弦定理求a，正弦定理求.【題文】17.（本小題滿分12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn).（I）求證：BC/平面EFG；（II）求證：平面AEG；（III）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.【知識(shí)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；錐體的體積. G1 G4 G5【答案解析】（）略；（）略；（） 解析：（）BCAD,ADEF,BCEF2分平面EFG3分（）PA平面ABCD，PADH ，即 AEDH5分 ADGDCH ，HDC=DAG，AGD+DAG=90°AGD+HDC=90°DHAG 又AEAG=A，DH平面AEG8分（） 10分12分【思路點(diǎn)撥】（）根據(jù)線面平行的判定定理，只需證；（）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證DH與平面AEG中的兩條相交直線AE、AG都垂直盡即可；（）,而，由此求得三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.【題文】18.（本小題滿分12分）某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的科研攻關(guān)小組.（I）求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（II）經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出1名職員做實(shí)驗(yàn)，該職員做完后，再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的職員中選一名做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率；（III）試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74，請(qǐng)問(wèn)哪位職員的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說(shuō)明理由.【知識(shí)點(diǎn)】抽樣方法；古典概型；一組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征. I1 K2【答案解析】（I）某職員被抽到的概率為，男、女職員的人數(shù)分別為3,1；（II）；（III）第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定，（理由：略）.解析：（I）某職員被抽到的概率為-2分設(shè)有x名職員，則，男、女職員的人數(shù)分別為3,1-4分（II）把3名男職員和1名女職員記為，則選取兩名小于的基本事件有共12 種，其中有一名女職員的有6種，所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為-8分（），第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定12分【思路點(diǎn)撥】（）利用古典概型的概率公式某職員被抽到的概率，由抽樣比乘以每層的人數(shù)為此層抽到的人數(shù)，得科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（）從這4名職員中有順序的抽取兩名職員的情況用列舉法知有12種，其中恰有一名女職員的有6種，據(jù)此得所求概率；（）分別求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差得距結(jié)論.【題文】19.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，已知.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（III）設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D2 D3 【答案解析】（I）；（II）略；（III）. 解析：（I） ,數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.3分（II） 4分.6分，公差數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列. 7分（III）由（1）知，, 8分10分12分【思路點(diǎn)撥】（）易知數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得；（）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式判斷數(shù)列是等差數(shù)列；（）由于數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)的和構(gòu)成的，所以用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題文】20.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（III）設(shè)在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】（I）的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2）；（II）1；（III）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. 解析：（I）-3分在區(qū)間和上，；在區(qū)間（0,2）上，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2）.-4分（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則-7分解得.-8分（），則， 9分解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù). 10分當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最小值為. 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最小值為. 11分 當(dāng)，即時(shí)，最小值=. 12分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. 13分【思路點(diǎn)撥】（）由定義域上，導(dǎo)函數(shù)大于0的區(qū)間是增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0的區(qū)間是減區(qū)間求得結(jié)論；（）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)及字母常數(shù)a的方程組，求得實(shí)數(shù)a；（）導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值.【題文】21.（本小題滿分14分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4.（I）求橢圓C的方程；（II）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是以為直徑的圓，直線O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若，求k的值.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的關(guān)系.H5,H8【答案解析】(I) (II) 解析：解：（）由題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，得，2分點(diǎn)在橢圓上，得，分橢圓的方程為.6分(II)由直線L與圓O相切，得，即，設(shè)由消去y，整理得，由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交 10分11分，.2分，得k的值為.13分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可直接求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系列出關(guān)系式求出K的取值.