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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文明考情直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題,難度為中高檔,常作為壓軸題出現(xiàn),大致在第20題的位置.知考向1.直線與橢圓.2.直線與拋物線.考點(diǎn)一直線與橢圓方法技巧對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來(lái)處理.(1)設(shè)直線方程,在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論,或者將直線方程設(shè)成xmyb的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程,利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系.(3)一般涉及弦的問(wèn)題,要用到弦長(zhǎng)公式|AB|x1x2|或|AB|·|y1y2|.1.(xx·天津)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為.已知A是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若APD的面積為,求直線AP的方程.解(1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),依題意,得,a,ac,解得a1,c,p2,于是b2a2c2.所以橢圓的方程為x21,拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線AP的方程為xmy1(m0),與直線l的方程x1聯(lián)立,可得點(diǎn)P,故點(diǎn)Q.將xmy1與x21聯(lián)立,消去x,整理得(3m24)y26my0,解得y0或y.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B.由Q,可得直線BQ的方程為(x1)0,令y0,解得x,故點(diǎn)D.所以|AD|1.又因?yàn)锳PD的面積為,故××,整理得3m22|m|20,解得|m|,所以m±.所以直線AP的方程為3xy30或3xy30.2.(xx·全國(guó))已知橢圓E:1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.(1)當(dāng)t4,|AM|AN|時(shí),求AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí),求k的取值范圍.解(1)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.當(dāng)t4時(shí),橢圓E的方程為1,A(2,0).由|AM|AN|及橢圓的對(duì)稱性知,直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1,得7y212y0,解得y0或y,所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××.(2)由題意t>3,k>0,A(,0),將直線AM的方程yk(x)代入1,得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·(),得x1,故|AM|x1|.由題設(shè),直線AN的方程為y(x),故同理可得|AN|.由2|AM|AN|,得,即(k32)t3k(2k1),當(dāng)k時(shí)上式不成立,因此t.t>3等價(jià)于<0,即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(,2).3.如圖,橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQPF1.(1)若|PF1|2,|PF2|2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若|PF1|PQ|,求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義,2a|PF1|PF2|(2)(2)4,故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1PF2,因此2c|F1F2|2,即c,從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖,由橢圓的定義,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a.從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|PQ|知,|QF1|PF1|,因此,4a2|PF1|PF1|,解得|PF1|2(2)a,從而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2知,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2,因此e.4.已知橢圓H:y21(a1),原點(diǎn)O到直線MN的距離為,其中,點(diǎn)M(0,1),點(diǎn)N(a,0).(1)求橢圓H的離心率e;(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l和該橢圓交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在橢圓上,若,求直線l的方程.解(1)由題意得直線MN的方程為xaya0,則a,所以c,所以離心率e.(2)橢圓H的方程為y21,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),其方程為y0,此時(shí)A(,0),B(,0),不符合題意,舍去.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l的方程為xmy,由消去x得(m23)y22my10,所以0,因?yàn)?,所以x3x1x2,y3y1y2.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以y221,所以x1x23y1y20.又因?yàn)閤1x2(my1)(my2)m2y1y2m(y1y2)2m2×m×2,所以x1x23y1y23×0,化簡(jiǎn)得m210.所以m±1.所以直線l的方程 x±y.綜上,直線l的方程為xy0或xy0.5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2)是橢圓1上的點(diǎn),且x1x22y1y20,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)若直線l:yxm(m0)與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求OAB面積的最大值.解(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則由2,得(x,y)(x1,y1)2(x2,y2),即xx12x2,yy12y2.因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓1上,所以x2y4,x2y4.故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2).又因?yàn)閤1x22y1y20,所以x22y220,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x22y220.(2)將曲線C與直線l的方程聯(lián)立,得消去y得3x24mx2m2200.因?yàn)橹本€l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),所以16m24×3×(2m220)0.又m0,所以0m230,x3x4,x3x4.又點(diǎn)O到直線AB:xym0的距離d,|AB|x3x4|,所以SOAB×××5,并且僅當(dāng)m230m2,即m215時(shí)取等號(hào).所以O(shè)AB面積的最大值為5.考點(diǎn)二直線與拋物線方法技巧(1)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),可以借助數(shù)形結(jié)合法,當(dāng)直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),但并非相切.(2)涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題,可用“點(diǎn)差法”求解,但要注意對(duì)其存在性的檢驗(yàn).6.(xx·全國(guó))設(shè)A,B為曲線C:y上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1,y2,x1x24,于是直線AB的斜率k1.(2)由y,得y.設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知1,解得x32,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為yxm,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2m),|MN|m1|.將yxm代入y,得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0,即m>1時(shí),x1,22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|,即42|m1|,解得m7.所以直線AB的方程為yx7.7.已知圓C過(guò)定點(diǎn)F,且與直線x相切,圓心C的軌跡為E,曲線E與直線l:yk(x1)(kR)相交于A,B兩點(diǎn).(1)求曲線E的方程;(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí),求k的值.解(1)由題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)F和直線x的距離相等,故點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2x.(2)由方程組消去x后,整理得ky2yk0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,有y1y2,y1y21.設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N,則N(1,0).SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|×1×.SOAB,解得k±.8.已知拋物線C:y22px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1,2).(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.解(1)將(1,2)代入y22px,得(2)22p·1,所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x,其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y2xt.由得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以48t0,解得t.又由直線OA與l的距離d,可得,解得t±1.因?yàn)?,1,所以符合題意的直線l存在,其方程為2xy10.例(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,且點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓E:1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.求的值;求ABQ面積的最大值.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由題意知1.又,解得a24,b21.所以橢圓C的方程為y21.2分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0,y0),(0),由題意知Q(x0,y0).因?yàn)閥1,又1,即1,所以2,即2.5分設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).將ykxm代入橢圓E的方程,可得(14k2)x28kmx4m2160,由0,可得m2416k2, (*)則有x1x2,x1x2.所以|x1x2|.8分因?yàn)橹本€ykxm與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.9分設(shè)t,將ykxm代入橢圓C的方程,可得(14k2)x28kmx4m240,由0,可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1,因此S22,10分故0S2,當(dāng)且僅當(dāng)t1,即m214k2時(shí)取得最大值2.11分由知,ABQ的面積為3S,所以ABQ面積的最大值為6.12分構(gòu)建答題模板第一步求曲線方程:根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.第二步聯(lián)立消元:將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立,得到方程Ax2BxC0,然后研究判別式,利用根與系數(shù)的關(guān)系.第三步找關(guān)系:從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系.第四步建函數(shù):對(duì)范圍最值類問(wèn)題,要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系.第五步得范圍:通過(guò)求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值,要注意變量條件的制約,檢查最值取得的條件.1.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.(1)求橢圓E的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)P(0,1)滿足|PA|PB|,求橢圓E的方程.解(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|a,l的方程為yxc,其中c.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y,化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,則x1x2,x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以|AB|x2x1|,即a,故a22b2,所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),由(1)知,x0,y0x0c.由|PA|PB|,得kPN1,即1,得c3,從而a3,b3.故橢圓E的方程為1.2.已知橢圓E:1(ab0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x2)2(y1)2的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.解(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bxcybc0,則原點(diǎn)O到該直線的距離d,由dc,得a2b2,解得離心率.(2)方法一由(1)知,橢圓E的方程為x24y24b2.依題意,圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|.易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.由x1x24,得4,解得k,從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|,得 ,解得b23,故橢圓E的方程為1.方法二由(1)知,橢圓E的方程為x24y24b2,依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(2,1)對(duì)稱,且|AB|,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x4y4b2,x4y4b2,兩式相減并結(jié)合x(chóng)1x24,y1y22,得4(x1x2)8(y1y2)0,易知AB與x軸不垂直,則x1x2,所以AB的斜率kAB,因此直線AB的方程為y(x2)1,代入得x24x82b20,所以x1x24,x1x282b2,于是|AB|x1x2|.由|AB|,得 ,解得b23,故橢圓E的方程為1.3.設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若··8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求OCD的面積.解(1)因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為,所以.因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,又a2b2c2,可解得b,c1,a.所以橢圓的方程為1.(2)由(1)可知F(1,0),則直線CD的方程為yk(x1).聯(lián)立消去y得(23k2)x26k2x3k260.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),所以x1x2,x1x2.又A(,0),B(,0),所以··(x1,y1)·(x2,y2)(x2,y2)·(x1,y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268,解得k±.從而x1x2,x1x20.所以|x1x2|,|CD|x1x2|×.而原點(diǎn)O到直線CD的距離d,所以O(shè)CD的面積S|CD|×d××.4.(xx·北京)已知拋物線C:y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1),過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).(1)解由拋物線C:y22px過(guò)點(diǎn)P(1,1),得p,所以拋物線C的方程為y2x,拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x.(2)證明由題意,設(shè)直線l的方程為ykx(k0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2(4k4)x10,則x1x2,x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為yx,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為yx,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10,所以y12x1,故A為線段BM的中點(diǎn).5.已知橢圓C:1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P,求直線l的方程.解(1)由題意得解得a2,b1,c,所以橢圓C的方程是y21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxt(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立消去y得(14k2)x28ktx4t240,所以x1x2,x1x2.所以y1y2(kx1t)(kx2t),y1y2k(x1x2)2t.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以·0,即x1x2y1y205t244k2.由(8kt)24(14k2)(4t24)16(4k21t2)0,可得4k21t2t或t.設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則m,n.因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,所以kPD,整理得.由解得t1或.當(dāng)t時(shí),0不成立.當(dāng)t1時(shí),k±,所以直線l的方程為yx1或yx1.

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