高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文明考情直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題，難度為中高檔，常作為壓軸題出現(xiàn)，大致在第20題的位置.知考向1.直線與橢圓.2.直線與拋物線.考點(diǎn)一直線與橢圓方法技巧對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來(lái)處理.(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，或者將直線方程設(shè)成xmyb的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系.(3)一般涉及弦的問(wèn)題，要用到弦長(zhǎng)公式|AB|x1x2|或|AB|·|y1y2|.1.(xx·天津)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若APD的面積為，求直線AP的方程.解(1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)，依題意，得，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以橢圓的方程為x21，拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線AP的方程為xmy1(m0)，與直線l的方程x1聯(lián)立，可得點(diǎn)P，故點(diǎn)Q.將xmy1與x21聯(lián)立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B.由Q，可得直線BQ的方程為(x1)0，令y0，解得x，故點(diǎn)D.所以|AD|1.又因?yàn)锳PD的面積為，故××，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m±.所以直線AP的方程為3xy30或3xy30.2.(xx·全國(guó))已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍.解(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.當(dāng)t4時(shí)，橢圓E的方程為1，A(2，0).由|AM|AN|及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××.(2)由題意t>3，k>0，A(，0)，將直線AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()，得x1，故|AM|x1|.由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.t>3等價(jià)于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2).3.如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|PQ|，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|知，|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，解得|PF1|2(2)a，從而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2知，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.4.已知橢圓H：y21(a1)，原點(diǎn)O到直線MN的距離為，其中，點(diǎn)M(0，1)，點(diǎn)N(a，0).(1)求橢圓H的離心率e；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l和該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在橢圓上，若，求直線l的方程.解(1)由題意得直線MN的方程為xaya0，則a，所以c，所以離心率e.(2)橢圓H的方程為y21，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，其方程為y0，此時(shí)A(，0)，B(，0)，不符合題意，舍去.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為xmy，由消去x得(m23)y22my10，所以0，因?yàn)?，所以x3x1x2，y3y1y2.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以y221，所以x1x23y1y20.又因?yàn)閤1x2(my1)(my2)m2y1y2m(y1y2)2m2×m×2，所以x1x23y1y23×0，化簡(jiǎn)得m210.所以m±1.所以直線l的方程 x±y.綜上，直線l的方程為xy0或xy0.5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓1上的點(diǎn)，且x1x22y1y20，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若直線l：yxm(m0)與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的最大值.解(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)，即xx12x2，yy12y2.因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4.故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2).又因?yàn)閤1x22y1y20，所以x22y220，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x22y220.(2)將曲線C與直線l的方程聯(lián)立，得消去y得3x24mx2m2200.因?yàn)橹本€l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以16m24×3×(2m220)0.又m0，所以0m230，x3x4，x3x4.又點(diǎn)O到直線AB：xym0的距離d，|AB|x3x4|，所以SOAB×××5，并且僅當(dāng)m230m2，即m215時(shí)取等號(hào).所以O(shè)AB面積的最大值為5.考點(diǎn)二直線與拋物線方法技巧(1)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，可以借助數(shù)形結(jié)合法，當(dāng)直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并非相切.(2)涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，可用“點(diǎn)差法”求解，但要注意對(duì)其存在性的檢驗(yàn).6.(xx·全國(guó))設(shè)A，B為曲線C：y上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24，于是直線AB的斜率k1.(2)由y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2，1).設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點(diǎn)為N(2，2m)，|MN|m1|.將yxm代入y，得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時(shí)，x1，22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42|m1|，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.7.已知圓C過(guò)定點(diǎn)F，且與直線x相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：yk(x1)(kR)相交于A，B兩點(diǎn).(1)求曲線E的方程；(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí)，求k的值.解(1)由題意，點(diǎn)C到定點(diǎn)F和直線x的距離相等，故點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2x.(2)由方程組消去x后，整理得ky2yk0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，有y1y2，y1y21.設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N，則N(1，0).SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|×1×.SOAB，解得k±.8.已知拋物線C：y22px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1，2).(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y2xt.由得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以48t0，解得t.又由直線OA與l的距離d，可得，解得t±1.因?yàn)?，1，所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10.例(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.求的值；求ABQ面積的最大值.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由題意知1.又，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.2分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0，y0)，(0)，由題意知Q(x0，y0).因?yàn)閥1，又1，即1，所以2，即2.5分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2， (*)則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.8分因?yàn)橹本€ykxm與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.9分設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，10分故0S2，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即m214k2時(shí)取得最大值2.11分由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.12分構(gòu)建答題模板第一步求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系.第三步找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系.第四步建函數(shù)：對(duì)范圍最值類問(wèn)題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系.第五步得范圍：通過(guò)求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.1.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.(1)求橢圓E的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)P(0，1)滿足|PA|PB|，求橢圓E的方程.解(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y，化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知，x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，從而a3，b3.故橢圓E的方程為1.2.已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.解(1)過(guò)點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)方法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k，從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23，故橢圓E的方程為1.方法二由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2，依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2，1)對(duì)稱，且|AB|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x(chóng)1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB，因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23，故橢圓E的方程為1.3.設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn).若··8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OCD的面積.解(1)因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，所以.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以橢圓的方程為1.(2)由(1)可知F(1，0)，則直線CD的方程為yk(x1).聯(lián)立消去y得(23k2)x26k2x3k260.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k±.從而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|×.而原點(diǎn)O到直線CD的距離d，所以O(shè)CD的面積S|CD|×d××.4.(xx·北京)已知拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1，1)，過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn).(1)解由拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1，1)，得p，所以拋物線C的方程為y2x，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)證明由題意，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x10，則x1x2，x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1).直線ON的方程為yx，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10，所以y12x1，故A為線段BM的中點(diǎn).5.已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P，求直線l的方程.解(1)由題意得解得a2，b1，c，所以橢圓C的方程是y21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxt(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立消去y得(14k2)x28ktx4t240，所以x1x2，x1x2.所以y1y2(kx1t)(kx2t)，y1y2k(x1x2)2t.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以·0，即x1x2y1y205t244k2.由(8kt)24(14k2)(4t24)16(4k21t2)0，可得4k21t2t或t.設(shè)A，B的中點(diǎn)為D(m，n)，則m，n.因?yàn)橹本€PD與直線l垂直，所以kPD，整理得.由解得t1或.當(dāng)t時(shí)，0不成立.當(dāng)t1時(shí)，k±，所以直線l的方程為yx1或yx1.