2022年高三數(shù)學(xué) 專題7 平面向量練習(xí)

2022年高三數(shù)學(xué) 專題7 平面向量練習(xí)一、前測訓(xùn)練1 (1)已知向量a(0，2)，|b|2，則|ab|的取值范圍是 (2)若a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b·(ab)0，則b的取值范圍是 答案：(1)0,4(2)1,1ABCDE2(1)在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DC2BD，E為BC邊上的點(diǎn)，且·0則· ；· (2)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ÐBAD60°，E為CD中點(diǎn)，則× (3)已知OAOB2，·0，點(diǎn)C在線段AB上，且AOC60°，則·_答案：(1),(2)1(3)84二、方法聯(lián)想1向量的運(yùn)算方法1 用向量的代數(shù)運(yùn)算方法2 結(jié)合向量表示的幾何圖形2向量的應(yīng)用方法1 基底法，即合理選擇一組基底(一般選取模和夾角均已知的兩個(gè)不共線向量)，將所求向量均用這組基底表示，從而轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基向量的運(yùn)算方法2 坐標(biāo)法，即合理建立坐標(biāo)系，求出向量所涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決三、例題分析第一層次例1 （1）若向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，則實(shí)數(shù)x （2）已知a，b都是單位向量，a·b，則|ab| （3）已知向量a（3，2），b（1，0），且向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值是 （4）若平面向量a，b滿足ab1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b 答案：（1）4；（2）；（3）；（4）（2，2）或（2，0）教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1兩個(gè)非零向量共線的充要條件（坐標(biāo)形式和非坐標(biāo)形式）2單位向量與數(shù)量積的概念，求模長的基本方法3向量垂直的充要條件（坐標(biāo)形式和非坐標(biāo)形式）4坐標(biāo)形式下向量模長的計(jì)算公式二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（2）小題，方法1：將所求模長平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積；方法2可以畫圖，通過解三角形求解；本題給出了兩個(gè)向量的模長及數(shù)量積，因此方法1求解較為簡單2第（4）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解本題可以抓住向量ab的兩要素，先求出向量ab的坐標(biāo)，再求向量b的坐標(biāo)，這個(gè)解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB3，BD1，則 （2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(3，1)，(0，2)若·0，則實(shí)數(shù)的值為 （3）已知A（3，0），B（0，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC60°，則實(shí)數(shù)的值是 （4）在ABC中，已知BC2，·1，則ABC面積的最大值是 答案：（1）；（2）2；（3）；（4）教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1解（1）小題可以是基底法（以和為基底），也可以建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法2解（2）小題可以設(shè)未知數(shù)解方程，也可以畫出圖形，利用直線方程求解理解向量共線的意義3平面向量基本定理，利用圖形進(jìn)行分解，通過解三角形求解4平面向量數(shù)量積的概念，建立目標(biāo)函數(shù)利用基本不等式求最值5解（4）小題還可以用坐標(biāo)法，得出點(diǎn)A的軌跡方程，利用圖形的直觀性求解二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解（1）小題顯然是基底法簡單，因?yàn)閮蓚€(gè)基底向量的模長和夾角都已知2解（4）小題由于建立目標(biāo)函數(shù)有些難度，所以用坐標(biāo)法求解來得簡單易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab（，R），則 ABCDEFP（2）如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)設(shè)（、R），則的取值范圍是 答案：（1）4；（2）3，4教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1問題的本質(zhì)都是用兩個(gè)不共線的向量來表示第三個(gè)向量平面向量基本定理，利用圖形進(jìn)行分解，通過解三角形求解2解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這兩題用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法2選用哪一種方法，關(guān)鍵是看其中一個(gè)向量用基底來表示是否容易 第二層次例1 （1）已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c （2）已知向量a(2，1)，a·b10，ab5，則b 變式：平面向量a與b的夾角為60°，a(2，0)，|b|1，則|a2b| （3）若平面向量a，b滿足ab1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b （4）在菱形ABCD中，若AC4，則 答案：（1）（ ， ）；（2）5；變式：2（3）（2，2）或（2，0）；（4）8教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1坐標(biāo)形式下，向量共線、向量垂直的充要條件2向量已知了坐標(biāo)求模長，解決模長問題的基本方法將模長平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積3第（4）小題的求解，可以是基底法還可以坐標(biāo)法，基底法的難點(diǎn)選擇基底；坐標(biāo)法的難點(diǎn)是建立合適的直角坐標(biāo)系二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（2）小題，方法1：設(shè)向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解；方法2：直接對向量(ab)的模長平方求出答案相對而言，方法2比較簡單2第（3）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解本題可以抓住向量ab的兩要素，先求出向量ab的坐標(biāo)，再求向量b的坐標(biāo)，這個(gè)解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)3第（4）小題解法1：基底法，選擇和與垂直的為基底；解法2：以AC、BD為；兩坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系例2 （1）已知正ABC的邊長為1，73，則· （2）設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC，若12（1，2R），則12的值為_。（3）如圖，在ABC中，BAC90°，AB6，D在斜邊BC上，且CD2DB，則·的值為 ABDC（4）已知a，b是單位向量，a·b0若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是 答案：（1）2；（2）；（3）24；（4）1，1教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1三角形中研究邊所在向量的數(shù)量積時(shí)，關(guān)注向量夾角的定義2將所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、減法的三角形法則，突出平面向量基本定理3可以關(guān)注一下向量數(shù)量積的幾何意義（投影）4（4）求解的方法是畫圖或者建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（3）小題的求解，坐標(biāo)法優(yōu)于基底法從圖形的結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)便于建系2由于向量a，b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，用坐標(biāo)法解題通俗易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab（，R），則 EBACD（2）如圖，在ABC中，ABAC，BC2，若·，則· 答案：（1）4；（2）教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1一個(gè)向量用兩個(gè)基底向量來表示，平面向量基本定理2解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（1）小題由于不容易用基底來表示，所以用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法2第（2）小題不容易選擇基底，而且運(yùn)算過程復(fù)雜，建系則比較單一，所以用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法第三層次例1 （1）設(shè)a、b、c是單位向量，且abc，則a·c的值為 （2）若向量a，b滿足|a|3，|b|1，|a2b|，則向量a，b的夾角是 xyABO1（3）函數(shù)ytan(x)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在函數(shù)圖象上，且縱坐標(biāo)為1則() （4）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若xy，則x ，y 答案：（1）；（2）；（3）6；（4）1和教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1單位向量的概念以及數(shù)量積的定義可以畫圖結(jié)合圖形研究，也可以通過計(jì)算，將條件變?yōu)閎ca，兩邊平方即得答案2向量的夾角公式設(shè)法求出向量a，b的數(shù)量積3坐標(biāo)形式下向量數(shù)量積的運(yùn)算求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)4平面向量基本定理，向量分解，解三角形求解例2 （1）如圖，在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是邊BC上一點(diǎn)，2，則 （2）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若（，R），則的值為 （3）在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則·()等于 變式：在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P是AM上一動(dòng)點(diǎn)，則·()的最小值等于 DCAB如圖（4）如圖，在四邊形ABCD中，|4，|×|×|4，0，則()的值為 答案：（1）；（2）6；（3）；變式：（4）4教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1基底法求解很顯然是以、為基底2平面向量基本定理，把、看作一組基底，將非正交分解通過解三角形求出答案3平面幾何性質(zhì)；向量加法的平行四邊形法則；建立目標(biāo)函數(shù)求最值4結(jié)合平面幾何性質(zhì)，突出向量數(shù)量積的定義5突出了“數(shù)形結(jié)合”和“整體代換”等數(shù)學(xué)思想二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法。不容易找到基底或者表示起來較為復(fù)雜，計(jì)算量大，往往就用坐標(biāo)法，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是難點(diǎn)ABCEFMN圖1例3 圖1，等腰ABC中，ABAC1，A120°，E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且m，n，其中m、n（0，1），且m4n1.若EF、BC的中點(diǎn)分別為M、N，則|的最小值為 答案：.教學(xué)建議一、主要問題歸類與方法：1基底法求解很顯然是以、為基底通過構(gòu)造AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來，將平方之后建立目標(biāo)函數(shù)，通過消元研究關(guān)于m或n的二次函數(shù)的最小值2坐標(biāo)法求解以BC邊所在直線為x軸，BC邊的高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)法將M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，利用向量坐標(biāo)形式下模長公式建立起目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解3基底法的難點(diǎn)是：要學(xué)會(huì)通過構(gòu)造AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來4坐標(biāo)法的難點(diǎn)是：首先要利用條件將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來5關(guān)注對目標(biāo)函數(shù)消元變形的理性思維，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法本題的兩種解法總體難度相當(dāng)，坐標(biāo)法相對比較好想一點(diǎn)2基底法難點(diǎn)是用基底、來表示，構(gòu)造三角形AMN，將向量放在AMN中研究，這種方法最為簡潔，這種做法是基于M、N分別為EF、BC的中點(diǎn)，有一個(gè)向量公式，很容易將和用基底向量來表示()( mn)，()在接下來對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行消元變形的過程中，關(guān)注計(jì)算的理性化3坐標(biāo)法的難點(diǎn)是如何利用條件將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來需要結(jié)合平面幾何中平行線分線段成比例的等一些基本性質(zhì)四、反饋練習(xí)