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高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質練習 文

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高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質練習 文

高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質練習 文明考情圓錐曲線是高考的熱點,每年必考,小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等,題目難度中檔偏難.知考向1.圓錐曲線的定義與標準方程.2.圓錐曲線的幾何性質.3.圓錐曲線的綜合.考點一圓錐曲線的定義與標準方程方法技巧(1)橢圓和雙曲線上的點到兩焦點距離可以相互轉化,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離.(2)求圓錐曲線方程的常用方法:定義法、待定系數(shù)法.1.(xx·九江二模)設橢圓1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓上,且滿足·9,則|·|的值為()A.8 B.10 C.12 D.15答案D解析點P是橢圓1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,|PF1|PF2|8,|F1F2|4,·9,即|·|cos 9,|2|2|22|·|cos (|)22|·|18642|·|1816,|·|15.2.(xx·洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C:1(a0,b0)的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距為10,c5,又雙曲線的漸近線方程為y±x,且P(2,1)在漸近線上,1,即a2b,由得a2,b,雙曲線的方程為1,故選A.3.已知雙曲線1(a0,b0)的離心率為2,它的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若AOB的面積為,則拋物線的準線方程為()A.x2 B.x2C.x1 D.x1答案D解析因為e2,所以c2a,ba,雙曲線的漸近線方程為y±x.又拋物線的準線方程為x,聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線方程得A,B.在AOB中,|AB|p,點O到AB的距離為,所以·p·,所以p2,所以拋物線的準線方程為x1,故選D.4.(xx·天津)已知雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.y21 D.x21答案D解析根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設點A在漸近線yx上).由AOF是邊長為2的等邊三角形得到AOF60°,c|OF|2.又點A在雙曲線的漸近線yx上,tan 60°.又a2b24,a1,b,雙曲線的方程為x21.故選D.5.(xx·甘肅肅南裕固族自治縣一中期末)拋物線yx2上的動點M到兩定點(0,1),(1,3)的距離之和的最小值為_.答案4解析由題意得焦點F(0,1),設A(1,3),則|MA|MF|MA|yM|1|yA|14.考點二圓錐曲線的幾何性質要點重組在橢圓中:a2b2c2,離心率為e;在雙曲線中:c2a2b2,離心率為e.方法技巧求離心率的兩種方法(1)定義法:求出a,c,代入e進行求解.(2)方程法:只需根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的各項式,然后兩邊同除以a或a2得到關于e的方程求e.6.已知A是雙曲線1(a0,b0)的左頂點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,P為雙曲線上一點,G是PF1F2的重心,若,則雙曲線的離心率為()A.2 B.3 C.4 D.與的取值有關答案B解析因為,所以,所以(O為坐標原點),即,所以e3.7.(xx·廣安模擬)橢圓1(ab0)的一個焦點為F,該橢圓上有一點A,滿足OAF是等邊三角形(O為坐標原點),則橢圓的離心率是()A.1 B.2C.1 D.2答案A解析根據(jù)題意,如圖,設F(c,0),由OAF是等邊三角形,則A,又A在橢圓上,則有1,a2b2c2,聯(lián)立,解得c(1)a,則其離心率e1.8.(xx·全國)雙曲線1(a>0)的一條漸近線方程為yx,則a_.答案5解析雙曲線的標準方程為1(a0),雙曲線的漸近線方程為y±x.又雙曲線的一條漸近線方程為yx,a5.9.(xx·北京)雙曲線1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點,若正方形OABC的邊長為2,則a_.答案2解析設B為雙曲線的右焦點,如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2,c|OB|2.又AOB,tan 1,即ab.又a2b2c28,a2.10.設拋物線E:y22px(p>0)的焦點為F,點M為拋物線E上一點,|MF|的最小值為3,若點P為拋物線E上任意一點,A(4,1),則|PA|PF|的最小值為_.答案7解析由題意,|MF|的最小值為3,得3,p6,拋物線E:y212x,拋物線y212x的焦點F的坐標是(3,0).設點P在準線上的射影為D,則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|PD|,要求|PA|PF|取得最小值,即求|PA|PD|取得最小值,當D,P,A三點共線時|PA|PD|最小,為4(3)7.考點三圓錐曲線的綜合方法技巧圓錐曲線范圍,最值問題的常用方法(1)定義性質轉化法:利用圓錐曲線的定義性質進行轉化,根據(jù)平面幾何中的結論確定最值或范圍.(2)目標函數(shù)法:建立所求的目標函數(shù),將所求最值轉化為函數(shù)最值解決.(3)條件不等式法:找出與變量相關的所有限制條件,然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍.11.已知方程1表示橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(,1)B.(2,)C.(1,)D.答案D解析由1轉化成標準方程1,假設焦點在x軸上,則2m(m1)0,解得m1;假設焦點在y軸上,則(m1)2m0,解得2m.綜上可知,m的取值范圍為.12.(xx·四川)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y22px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1答案C解析如圖,由題意可知F,設P點坐標為,顯然,當y0<0時,kOM<0;當y0>0時,kOM>0.要求kOM的最大值,不妨設y0>0,則(),kOM,當且僅當y2p2時等號成立.故選C.13.(xx·全國)若雙曲線C:1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2,則C的離心率為()A.2 B. C. D.答案A解析設雙曲線的一條漸近線方程為yx,圓的圓心為(2,0),半徑為2,由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為.由點到直線的距離公式得,解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A.14.過拋物線yax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A,B兩點,若線段AF,BF的長分別為m,n,則等于()A. B. C.2a D.答案B解析顯然直線AB的斜率存在,故設直線方程為ykx,與yax2聯(lián)立,消去y得ax2kx0,設A(x1,ax),B(x2,ax),則x1x2,x1x2,xx,max,nax,mn·,mn,.故選B.15.過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則AOB的面積為_.答案解析由已知得直線方程為y2(x1).由得3y22y80,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2,y1y2,|y1y2|,SAOB×1×.16.在直線y2上任取一點Q,過Q作拋物線x24y的切線,切點分別為A,B,則直線AB恒過定點_.答案(0,2)解析設Q(t,2),A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程變?yōu)閥x2,則yx,則在點A處的切線方程為yy1x1(xx1),化簡,得yx1xy1,同理,在點B處的切線方程為yx2xy2.又點Q(t,2)的坐標滿足這兩個方程,代入,得2x1ty1,2x2ty2,則說明A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程2xty,即直線AB的方程為y2tx,因此直線AB恒過定點(0,2).1.若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則·的取值范圍為()A.32,) B.32,)C. D.答案B解析由題意,得22a21,即a,設P(x,y),x,(x2,y),則·(x2)xy2x22x12,因為x,所以·的取值范圍為32,).2.已知圓C1:(x3)2y21和圓C2:(x3)2y29,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為_.答案x21(x1)解析如圖所示,設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|,因為|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|26,所以點M到兩定點C1,C2的距離的差是常數(shù).又根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a1,c3,則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1).3.若橢圓的對稱軸是坐標軸,且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形,焦點到同側頂點的距離為,則橢圓的方程為_.答案1或1解析由題意,得所以所以b2a2c29.所以當橢圓焦點在x軸上時,橢圓的方程為1;當橢圓焦點在y軸上時,橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.4.已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),若橢圓上存在點P(異于長軸的端點),使,則該橢圓的離心率的取值范圍為_.答案(1,1)解析由已知,得e,由正弦定理,得,所以e1.由橢圓的幾何性質,知ac|PF2|<ac.1>,即e>,即e,即e22e10,結合0e1,可解得e(1,1).解題秘籍(1)橢圓的焦點位置不明確時,要分焦點在x軸上或y軸上進行討論.(2)平面內到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡不是雙曲線,要注意定值的限制條件和“絕對值”.(3)范圍問題要注意圓錐曲線上點的坐標的范圍和幾何意義,不要忽略離心率本身的限制條件.1.已知橢圓1(m>0)的左焦點為F1(4,0),則m等于()A.2 B.3 C.4 D.9答案B解析由題意知25m216,解得m29,又m>0,所以m3.2.(xx·和平區(qū)模擬)已知橢圓1(a)的焦點為F1,F(xiàn)2,且離心率e,若點P在橢圓上,|PF1|4,則|PF2|的值為()A.2 B.6 C.8 D.14答案A解析橢圓1(a),橢圓的焦點在x軸上,b,c,則離心率e,即,解得a29,a3,橢圓的長軸長為2a6,由橢圓的定義可知,|PF1|PF2|6,即|PF2|2.3.已知雙曲線1(b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x,圓的方程為x2y24,聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長為,故2b,得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.4.(xx·浙江)已知橢圓C1:y21(m1)與雙曲線C2:y21(n0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21答案A解析由題意可得m21n21,即m2n22,m0,n0,故mn.又e·e··11,e1·e21.5.過拋物線y22px(p0)的焦點作直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PQ中點的橫坐標為3,|PQ|10,則拋物線的方程是()A.y24x B.y22xC.y28x D.y26x答案C解析設拋物線y22px(p0)的焦點為F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由拋物線的定義可知,|PQ|PF|QF|x1x2(x1x2)p,線段PQ中點的橫坐標為3,又|PQ|10,106p,可得p4,拋物線的方程為y28x.6.已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線過點(2,),且雙曲線的一個焦點在拋物線y24x的準線上,則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析雙曲線1的漸近線方程為y±x,又漸近線過點(2,),所以,即2ba,拋物線y24x的準線方程為x,由已知,得,即a2b27,聯(lián)立,解得a24,b23,所以雙曲線的方程為1.7.(xx·全國)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:1的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1,則E的離心率為()A. B. C. D.2答案A解析如圖,因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|.又sinMF2F1,所以,即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|,所以b2a2,所以c2b2a22a2,所以離心率e.8.(xx·全國)已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C:1(ab0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析設M(c,m),則E,OE的中點為D,則D,又B,D,M三點共線,所以,a3c,e.9.設F1,F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標為(6,4),則|PM|PF1|的最大值為_.答案15解析因為橢圓1中,a5,b4,所以c3,得焦點為F1(3,0),F(xiàn)2(3,0).根據(jù)橢圓的定義,得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|).因為|PM|PF2|MF2|,當且僅當P在MF2的延長線上時等號成立,此時|PM|PF1|的最大值為10515.10.已知A(1,2),B(1,2),動點P滿足.若雙曲線1(a>0,b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1,2)解析設P(x,y),由題設條件,得動點P的軌跡為(x1)(x1)(y2)(y2)0,即x2(y2)21,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓.又雙曲線1(a>0,b>0)的漸近線方程為y±x,即bx±ay0,由題意,可得>1,即>1,所以e<2,又e>1,故1<e<2.11.已知拋物線C1:yax2(a0)的焦點F也是橢圓C2:1(b0)的一個焦點,點M,P分別為曲線C1,C2上的點,則|MP|MF|的最小值為_.答案2解析P代入橢圓C2:1,可得1,b,焦點F(0,1),拋物線C1:x24y,準線方程為y1.設點M在準線上的射影為D,則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|MD|,要求|MP|MF|取得最小值,即求|MP|MD|取得最小值,當D,M,P三點共線時,|MP|MD|最小,為1(1)2.12.已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點,若M是線段PF1上一點,且滿足2,·0,則橢圓C的離心率的取值范圍為_.答案解析設P(x,y)(y0),取MF1的中點N,由2知,解得點N,又·0,所以,連接ON,由三角形的中位線可知,即(x,y)·0,整理得(xc)2y2c2(y0),所以點P的軌跡為以(c,0)為圓心,c為半徑的圓(去除兩點(0,0),(2c,0),要使得圓與橢圓有公共點,則acc,所以橢圓的離心率為.

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