2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 高考大題專(zhuān)項(xiàng)練4 文

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 高考大題專(zhuān)項(xiàng)練4 文1.(xx福建質(zhì)檢)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,AA1底面ABC,M為A1B1的中點(diǎn).(1)求證:B1C平面AMC1;(2)若BB1=5,且沿側(cè)棱BB1展開(kāi)三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)為13,求三棱錐B1-AMC1的體積.2.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,BAD=60°.(1)證明:AA1BD;(2)證明:CC1平面A1BD.3.(xx江西,文19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1.(1)求證:A1CCC1;(2)若AB=2,AC=,BC=,問(wèn)AA1為何值時(shí),三棱柱ABC-A1B1C1體積最大,并求此最大值.4.如圖所示,在RtABC中,AC=6,BC=3,ABC=90°,CD為ACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,CE=4.如圖所示,將BCD沿CD折起,使得平面BCD平面ACD,連接AB,BE,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).圖圖(1)求證:DE平面BCD;(2)若EF平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn),求三棱錐B-DEG的體積.5.如圖,在三棱錐P-ABC中,PB底面ABC,BCA=90°,PB=BC=CA=4,E為PC的中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在PA上,且AF=2FP.(1)求證:CM平面BEF;(2)求證:BE平面PAC;(3)求三棱錐B-PAE的體積.6.(xx重慶,文20)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面是以O(shè)為中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=,M為BC上一點(diǎn),且BM=.(1)證明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱錐P-ABMO的體積.答案：1.(1)證明:如圖,連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OM.三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面是矩形,O為A1C的中點(diǎn).又M為A1B1的中點(diǎn),OMB1C.又OM平面AMC1,B1C平面AMC1,B1C平面AMC1.(2)解:三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,且對(duì)角線長(zhǎng)為13,側(cè)棱BB1=5,三棱柱底面周長(zhǎng)為=12.又三棱柱的底面是正三角形,A1C1=4,B1M=2,C1M=2.B1M·C1M=×2×2=2,·AA1=×2×5=,即三棱錐B1-AMC1的體積為.2.證明:(1)方法一:因?yàn)镈1D平面ABCD,且BD平面ABCD,所以D1DBD.又因?yàn)锳B=2AD,BAD=60°,在ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos 60°=3AD2,所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.又ADD1D=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,故AA1BD.方法二:因?yàn)镈1D平面ABCD,且BD平面ABCD,所以BDD1D.如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG,在ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又BAD=60°,所以ADG為等邊三角形.因此GD=GB,故DBG=GDB.因?yàn)锳GD=60°,所以GDB=30°.故ADB=ADG+GDB=60°+30°=90°,所以BDAD.又ADD1D=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,故AA1BD.(2)如圖,連接AC,A1C1,設(shè)ACBD=E,連接EA1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以EC=AC.由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC且A1C1=EC,所以四邊形A1ECC1為平行四邊形,所以CC1A1E.又EA1平面A1BD,CC1平面A1BD,所以CC1平面A1BD.3.(1)證明:由AA1BC知BB1BC,又BB1A1B,故BB1平面BCA1,即BB1A1C,又BB1CC1,所以A1CCC1.(2)解法一:設(shè)AA1=x,在RtA1BB1中,A1B=,同理,A1C=.在A1BC中,cosBA1C=-,sinBA1C=,所以A1B·A1C·sinBA1C=.從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=·AA1=.因x=,故當(dāng)x=時(shí),即AA1=時(shí),體積V取到最大值.解法二:過(guò)A1作BC的垂線,垂足為D,連接AD.由AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD.又BAC=90°,所以SABC=AD·BC=AB·AC得AD=.設(shè)AA1=x,在RtAA1D中,A1D=,A1D·BC=.從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=·AA1=.因x=,故當(dāng)x=時(shí),即AA1=時(shí),體積V取到最大值.4.(1)證明:AC=6,BC=3,ABC=90°,ACB=60°.CD為ACB的平分線,BCD=ACD=30°.CD=2.CE=4,DCE=30°,DE2=CE2+CD2-2CE·CD·cos 30°=4.DE=2,則CD2+DE2=EC2.CDE=90°,DEDC.又平面BCD平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,DE平面ACD,DE平面BCD.(2)解:EF平面BDG,EF平面ABC,平面ABC平面BDG=BG,EFBG.點(diǎn)E在線段AC上,CE=4,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),AE=EG=CG=2.如圖,作BHCD于H.平面BCD平面ACD,BH平面ACD.由條件得BH=,SDEG=SACD=AC·CD·sin 30°=,三棱錐B-DEG的體積V=SDEG·BH=.5.(1)證明:取AF的中點(diǎn)G,連接CG,GM,因?yàn)镋為PC中點(diǎn),FA=2FP,所以EFCG.又CG平面BEF,EF平面BEF,所以CG平面BEF.同理可證:GM平面BEF.又CGGM=G,所以平面CMG平面BEF.因?yàn)镃M平面CMG,所以CM平面BEF.(2)證明:因?yàn)镻B底面ABC,且AC底面ABC,所以PBAC.由BCA=90°,得ACCB.又因?yàn)镻BCB=B,所以AC平面PBC.因?yàn)锽E平面PBC,所以ACBE.因?yàn)镻B=BC,E為PC中點(diǎn),所以BEPC.因?yàn)镻CAC=C,所以BE平面PAC.(3)解:由(2)可知BE平面PAC,AC平面PBC,PC=4.又由已知可得BE=2.因?yàn)镻E=PC=2,所以SAPE=SPAC=AC·PC=4.所以VB-PAE=SPAE·BE=.故三棱錐B-PAE的體積為.6.(1)證明:如圖,因ABCD為菱形,O為菱形中心,連接OB,則AOOB.因BAD=,故OB=AB·sinOAB=2sin=1,又因BM=,且OBM=,在OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cosOBM=12+-2·1··cos.所以O(shè)B2=OM 2+BM 2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.從而B(niǎo)C與平面POM內(nèi)兩條相交直線OM,PO都垂直,所以BC平面POM.(2)解:由(1)可得,OA=AB·cosOAB=2·cos.設(shè)PO=a,由PO底面ABCD知,POA為直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2= a2+.連接AM,在ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cosABM=22+-2·2··cos.由已知MPAP,故APM為直角三角形,則PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+,得a=,a=-(舍去),即PO=.此時(shí)SABMO=SAOB+SOMB=·AO·OB+·BM·OM=×1+.所以四棱錐P-ABMO的體積VP-ABMO=·SABMO·PO=.