2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版導(dǎo)入新課思路1.復(fù)習(xí)初中常見的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的點(diǎn)P和它對(duì)應(yīng).2.對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)A,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)和它對(duì)應(yīng).3.對(duì)于任意一個(gè)三角形,都有唯一確定的面積和它對(duì)應(yīng).4.某影院的某場(chǎng)電影的每一張電影票有唯一確定的坐位與它對(duì)應(yīng).5.函數(shù)的概念.我們已經(jīng)知道,函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)就叫映射(板書課題).思路2.前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念是:一般地,設(shè)A,B是兩個(gè)非空數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每個(gè)元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng).(1)對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù),在數(shù)軸上都有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).(2)班級(jí)里的每一位同學(xué)在教室都有唯一的坐位與之對(duì)應(yīng).(3)對(duì)于任意的三角形,都有唯一確定的面積與之對(duì)應(yīng).那么這些對(duì)應(yīng)又有什么特點(diǎn)呢？這種對(duì)應(yīng)稱為映射.引出課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題給出以下對(duì)應(yīng)關(guān)系:圖1-2-2-20這三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么共同特點(diǎn)？像問題中的對(duì)應(yīng)我們稱為映射,請(qǐng)給出映射的定義？“都有唯一”是什么意思？函數(shù)與映射有什么關(guān)系？討論結(jié)果：集合A、B均為非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射.記作“f:AB”.如果集合A中的元素x對(duì)應(yīng)集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.包含兩層意思:一是必有一個(gè);二是只有一個(gè),也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思,即是一對(duì)一或多對(duì)一.函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣.應(yīng)用示例思路11.下列哪些對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射？(1)A=P|P是數(shù)軸上的點(diǎn),B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng);(2)A=P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),B=(x,y)|xR,yR,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng);(3)A=三角形,B=x|x是圓,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它的內(nèi)切圓;(4)A=x|x是新華中學(xué)的班級(jí),B=x|x是新華中學(xué)的學(xué)生,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每一個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的學(xué)生.活動(dòng)：學(xué)生思考映射的定義.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射,要緊扣映射的定義.(1)中數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著唯一的實(shí)數(shù);(2)中平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì);(3)中每一個(gè)三角形都有唯一的內(nèi)切圓;(4)中新華中學(xué)的每個(gè)班級(jí)對(duì)應(yīng)其班內(nèi)的多個(gè)學(xué)生.解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新華中學(xué)的每個(gè)班級(jí)對(duì)應(yīng)其班內(nèi)的多個(gè)學(xué)生,是一對(duì)多,不符合映射的定義.變式訓(xùn)練1.圖1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭頭所標(biāo)明的A中元素與B中元素的對(duì)應(yīng)法則,是不是映射？圖1-2-2-21答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.2.在圖1-2-2-22中的映射中,A中元素60°的對(duì)應(yīng)的元素是什么？在A中的什么元素與B中元素對(duì)應(yīng)？圖1-2-2-22答案：A中元素60°的對(duì)應(yīng)的元素是,在A中的元素45°與B中元素對(duì)應(yīng).思路21.下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射,為什么？(1)A=R,B=xR|x0,對(duì)應(yīng)法則是“求平方”;(2)A=R,B=xR|x>0,對(duì)應(yīng)法則是“求平方”;(3)A=xR|x>0,B=R,對(duì)應(yīng)法則是“求平方根”;(4)A=平面內(nèi)的圓,B=平面內(nèi)的矩形,對(duì)應(yīng)法則是“作圓的內(nèi)接矩形”.活動(dòng)：學(xué)生回顧映射的對(duì)應(yīng),教師適時(shí)點(diǎn)撥或提示.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射,關(guān)鍵是確定是否是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng),即集合A中的任意一個(gè)元素,在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).解：(1)是映射,因?yàn)锳中的任何一個(gè)元素,在B中都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng).(2)不是從集合A到集合B的映射,因?yàn)锳中的元素0,在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的元素.(3)不是從集合A到集合B的映射,因?yàn)槿魏握龜?shù)的平方根都有兩個(gè)值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).(4)不是從集合A到集合B的映射.因?yàn)橐粋€(gè)圓有無(wú)窮多個(gè)內(nèi)接矩形,即集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有無(wú)窮多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查映射的概念.給定兩集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,主要利用映射的定義.用通俗的語(yǔ)言講:AB的對(duì)應(yīng)有“多對(duì)一”,“一對(duì)一”,“一對(duì)多”,前兩種對(duì)應(yīng)是A到B的映射,而后一種不是A到B的映射.變式訓(xùn)練1.設(shè)集合A=a,b,c,集合B=R,以下對(duì)應(yīng)關(guān)系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )A.對(duì)集合A中的數(shù)開平方B.對(duì)集合A中的數(shù)取倒數(shù)C.對(duì)集合A中的數(shù)取算術(shù)平方根D.對(duì)集合A中的數(shù)立方分析:當(dāng)a<0時(shí),對(duì)a開平方或取算術(shù)平方根均無(wú)意義,則A、C錯(cuò);當(dāng)a=0時(shí),對(duì)a取倒數(shù)無(wú)意義,則B錯(cuò);由于對(duì)任何實(shí)數(shù)都能立方,并且其立方僅有一個(gè),所以對(duì)集合A中的數(shù)立方能建立映射,故選D.答案：D2.設(shè)f:AB是A到B的一個(gè)映射,其中A=B=(x,y)|x,yR,f:(x,y)(x-y,x+y),求:(1)A中元素(-1,2)在B中對(duì)應(yīng)的元素;(2)在A中什么元素與B中元素(-1,2)對(duì)應(yīng)？分析:這是一個(gè)映射的問題,由于A中元素(x,y)對(duì)應(yīng)B中元素為(x-y,x+y),確定了對(duì)應(yīng)法則,轉(zhuǎn)化為解方程組.解：(1)A中元素(-1,2)在B中對(duì)應(yīng)的元素為(-1-2,-1+2),即(-3,1).(2)設(shè)A中元素(x,y)與B中元素(-1,2)對(duì)應(yīng),則解得所以A中元素(,)與B中元素(-1,2)對(duì)應(yīng).2.xx山東德州二模,理5設(shè)映射f:x-x2+2x是實(shí)數(shù)集R=M到實(shí)數(shù)集R=N的映射,若對(duì)于實(shí)數(shù)pN,在M中不存在原象,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( )A.(1,+) B.1,+) C.(-,1) D.(-,1活動(dòng)：讓學(xué)生思考:若對(duì)于實(shí)數(shù)pN,在M中不存在原象,與函數(shù)f(x)=-x2+2x有什么關(guān)系?若對(duì)于實(shí)數(shù)pN,在M中不存在原象是指實(shí)數(shù)p表示函數(shù)f(x)=-x2+2x值域中的元素,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=-x2+2x,xR的值域.集合M是函數(shù)f(x)=-x2+2x的定義域,集合N是函數(shù)f(x)=-x2+2x的值域.解：(方法一)由于集合M,N都是數(shù)集,則映射f:x-x2+2x就是函數(shù)f(x)=-x2+2x,其定義域是M=R,則有值域Q=y|y1N=R.對(duì)于實(shí)數(shù)pN,在M中不存在原象,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是Q=Q=y|y>1,即p的取值范圍是(1,+);(方法二)當(dāng)p=0時(shí),方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,則p=0不合題意,排除C,D;當(dāng)p=1時(shí),方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,則p=1不合題意,排除B.答案：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查映射的概念和函數(shù)的值域,以及綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.把映射問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域在實(shí)數(shù)集中的補(bǔ)集.其轉(zhuǎn)化的依據(jù)是對(duì)映射概念的理解以及對(duì)函數(shù)與映射關(guān)系的把握程度.變式訓(xùn)練設(shè)f,g都是由A到A的映射,其對(duì)應(yīng)法則如下表(從上到下):表1 映射f的對(duì)應(yīng)法則原象1234象3421表2 映射g的對(duì)應(yīng)法則原象1234象4312則與fg(1)相同的是( )A.gf(1) B.gf(2) C.gf(3) D.gf(4)分析:f(a)表示在對(duì)應(yīng)法則f下a對(duì)應(yīng)的象,g(a)表示在對(duì)應(yīng)法則g下a對(duì)應(yīng)的象.由表1和表2,得fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4,則有fg(1)=gf(1)=1,故選A.答案：A知能訓(xùn)練1.下列對(duì)應(yīng)是從集合S到T的映射的是( )A.S=N,T=-1,1,對(duì)應(yīng)法則是(-1)n,nSB.S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3,對(duì)應(yīng)法則是開平方C.S=0,1,2,5,T=,對(duì)應(yīng)法則是取倒數(shù)D.S=x|xR,T=y|yR,對(duì)應(yīng)法則是xy=分析:判斷映射方法簡(jiǎn)單地說(shuō)應(yīng)考慮A中的元素是否都可以受f作用,作用的結(jié)果是否一定在B中,作用的結(jié)果是否唯一這三個(gè)方面.很明顯A符合定義;B是一對(duì)多的對(duì)應(yīng);C命題中的元素0沒有象;D命題集合S中的元素1也無(wú)象.答案：A2.已知集合M=x|0x6,P=y|0y3,則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中不能看作從M到P的映射的是( )A.f:xy=x B.f:xy=x C.f:xy=x D.f:xy=x分析:選項(xiàng)C中,集合M中元素6沒有象,其他均是映射.答案：C3.已知集合A=N*,B=a|a=2n-1,nZ,映射f:AB,使A中任一元素a與B中元素2a-1對(duì)應(yīng),則與B中元素17對(duì)應(yīng)的A中元素是( )A.3 B.5 C.17 D.9分析:利用對(duì)應(yīng)法則轉(zhuǎn)化為解方程.由題意得2a-1=17,解得a=9.答案：D4.若映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,則X與A的關(guān)系是;Y與B的關(guān)系是.分析:根據(jù)映射的定義,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB.答案：X=A YB5.已知集合M=a,b,c,d,P=x,y,z,則從M到P能建立不同映射的個(gè)數(shù)是.分析:集合M中有4個(gè)元素,集合P中有3個(gè)元素,則從M到P能建立34=81個(gè)不同的映射.答案：816.下列對(duì)應(yīng)哪個(gè)是集合M到集合N的映射？哪個(gè)不是映射？為什么？(1)設(shè)M=矩形,N=實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則f為矩形到它的面積的對(duì)應(yīng).(2)設(shè)M=實(shí)數(shù),N=正實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則f為x.(3)設(shè)M=x|0x100,N=x|0x100,對(duì)應(yīng)法則f為開方再乘10.解：(1)是M到N的映射,因?yàn)樗且粚?duì)一的對(duì)應(yīng).(2)不是映射,因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),集合M中沒有元素與之對(duì)應(yīng).(3)是映射,因?yàn)樗且粚?duì)一的對(duì)應(yīng).7.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集,映射f:AB把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,則在映射f下,A中的元素_對(duì)應(yīng)B中的元素3.( )A.1 B.3 C.9 D.11分析:對(duì)應(yīng)法則為f:n2n+n,根據(jù)選項(xiàng)驗(yàn)證2n+n=3,可得n=1.答案：A8.已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,且aN,kN,xA,yB,映射f:AB,使B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng),求a及k的值.分析:先從集合A和對(duì)應(yīng)法則f入手,同時(shí)考慮集合中元素的互異性.可以分析出此映射必為一一映射,再由310,求得a值,進(jìn)而求得k值.解：B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng),A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.aN,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.a=2,k=5.9.A=(x,y)|x+y<3,xN,yN,B=0,1,2,f:(x,y)x+y,這個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映射？是否為函數(shù)？說(shuō)明理由.解：是映射,不是函數(shù).由題意得A=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),顯然對(duì)于A中的每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì),它們的和是0或1或2,則在B中都有唯一一個(gè)數(shù)與它對(duì)應(yīng),所以是映射,因?yàn)榧螦不是數(shù)集而是點(diǎn)集,所以不是函數(shù).拓展提升問題:集合M中有m個(gè)元素,集合N中有n個(gè)元素,則從M到N能建立多少個(gè)不同的映射？探究:當(dāng)m=1,n=1時(shí),從M到N能建立1=11個(gè)不同的映射;當(dāng)m=2,n=1時(shí),從M到N能建立1=12個(gè)不同的映射;當(dāng)m=3,n=1時(shí),從M到N能建立1=13個(gè)不同的映射;當(dāng)m=2,n=2時(shí),從M到N能建立4=22個(gè)不同的映射;當(dāng)m=2,n=3時(shí),從M到N能建立9=32個(gè)不同的映射.集合M中有m個(gè)元素,集合N中有n個(gè)元素,則從M到N能建立nm個(gè)不同的映射.課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了:(1)映射的對(duì)應(yīng)是一種特殊的對(duì)應(yīng),元素之間的對(duì)應(yīng)必須滿足“一對(duì)一或多對(duì)一”.(2)映射由三個(gè)部分組成:集合A,集合B及對(duì)應(yīng)法則f,稱為映射的三要素.(3)映射中集合A,B中的元素可以為任意的.作業(yè)課本P23練習(xí)4.補(bǔ)充作業(yè):已知下列集合A到B的對(duì)應(yīng),請(qǐng)判斷哪些是A到B的映射,并說(shuō)明理由.(1)A=N,B=Z,對(duì)應(yīng)法則f為“取相反數(shù)”;(2)A=-1,0,2,B=-1,0,對(duì)應(yīng)法則:“取倒數(shù)”;(3)A=1,2,3,4,5,B=R,對(duì)應(yīng)法則:“求平方根”;(4)A=0,1,2,4,B=0,1,4,9,64,對(duì)應(yīng)法則f:ab=(a-1)2;(5)A=N+,B=0,1,對(duì)應(yīng)法則:除以2所得的余數(shù).答案：(1)、(2)不是映射,(3)、(4)、(5)是映射.設(shè)計(jì)感想本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容拓展較深,在實(shí)際教學(xué)中根據(jù)學(xué)生實(shí)際選取例題和練習(xí).本節(jié)重點(diǎn)設(shè)計(jì)了映射的概念,對(duì)于映射來(lái)說(shuō),只需要掌握概念即可,不要求拓展其內(nèi)容,以免加重學(xué)生的負(fù)擔(dān),也偏離了課標(biāo)要求和高考的方向.習(xí)題詳解(課本P19練習(xí))1.(1)要使分式有意義,需4x+70,即x.所以這個(gè)函數(shù)的定義域是(-,)(,+);(2)要使根式有意義,需1-x0,且x+30,即-3x1.所以這個(gè)函數(shù)的定義域是-3,1.2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a3+2a,f(-a)=-3a3-2a,f(a)+f(-a)=0.3.(1)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同,而表示導(dǎo)彈飛行高度與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)y=500x-5x2是有實(shí)際背景的,這里x0;函數(shù)y=500x-5x2,xR,這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,故這兩個(gè)函數(shù)不相等.(2)函數(shù)g(x)=x0=1(x0)與函數(shù)f(x)=1,xR的對(duì)應(yīng)法則相同,但定義域不同,所以不是相等的函數(shù).已知函數(shù)解析式求函數(shù)值及不同變量的函數(shù)值的關(guān)系.(課本P23練習(xí))1.設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為xcm,則另一邊長(zhǎng)為=.由題意,得y=x,x(0,50).2.圖(A)與事件(2)、圖(B)與事件(3)、圖(D)與事件(1)吻合得最好.圖(C)可敘述為:我出發(fā)后,為了趕時(shí)間,加速行駛,走了一段后,發(fā)現(xiàn)時(shí)間還早,于是放慢了速度.3.解析:由絕對(duì)值的知識(shí),有f(x)=所以,f(x)=|x-2|的圖象如下圖所示.圖1-2-2-234.與A中元素60°對(duì)應(yīng)的B中的元素是;與B中元素相對(duì)應(yīng)的A中的元素是45°.(課本P24習(xí)題1.2)A組1.(1)(-,4)(4,+).(2)R.(3)要使分式有意義,只需x2-3x+20,即x1,且x2,所以這個(gè)函數(shù)的定義域是(-,1)(1,2)(2,+).(4)要使函數(shù)有意義,只需即x4,且x1.所以這個(gè)函數(shù)的定義域是(-,1)(1,4.2.(1)g(x)=-1=x-1,x0,該函數(shù)雖然與f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但是定義域不同,所以f(x)與g(x)不相等.(2)g(x)=()4=x2,x0,該函數(shù)雖然與f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但是定義域不同,所以f(x)與g(x)不相等.(3)g(x)=x2,xR,該函數(shù)與f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,定義域相同,所以f(x)與g(x)相等.3.(1) (2) xR,yR. x(-,0)(0,+), y(-,0)(0,+). 圖1-2-2-24 圖1-2-2-25(3) (4) xR,yR. xR,y-2,+).圖1-2-2-26 圖1-2-2-274.f()=8+5,f(-a)=3a2+5a+2,f(a+3)=3a2+13a+14;f(a)+f(3)=3a2-5a+16.5.(1)點(diǎn)(3,14)不在f(x)的圖象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.6.解析:由韋達(dá)定理知1+3=-b,1×3=c,b=-4,c=3.f(x)=x2-4x+3.f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8.答案：f(-1)=8.7.(1) (2) 圖1-2-2-28 圖1-2-2-298.y= x(0,+),y=l-x x(0,l),y= x(0,d),l=2x+(x>0),l=2.9.由題意,可知容器內(nèi)溶液高度為x的體積等于注入的溶液的體積,即()2·x=vt,整理得x=·t.當(dāng)容器注滿時(shí)有()2h=vt,得t=.所以該函數(shù)的定義域是t0,值域是x0,h.10.共8個(gè)映射.圖1-2-2-30B組1.(1)-5,02,6);(2)0,+);(3)0,2)(5,+).2.圖1-2-2-31(1)點(diǎn)(x,0)和(5,y),即縱坐標(biāo)為0或橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)不能在圖象上.(2)略.3.略.4.(1)t=,x0,12;(2)t=3小時(shí).