2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（講）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（講）【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.xx浙江文科21，理科8，22；xx浙江文科21，理科22；xx浙江卷7，20. 1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問(wèn)題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2.單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；3.適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問(wèn)題.3.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ)；(2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問(wèn)題解決問(wèn)題.【知識(shí)清單】1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識(shí)別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)等.解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)先觀(guān)察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【xx浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D2與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題1方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)2求極值的步驟：先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過(guò)判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過(guò)解方程得零點(diǎn)，或者通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【xx新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.【答案】【解析】（）（i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿(mǎn)足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn) （）不妨設(shè),由（）知,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即由于,而,所以設(shè),則所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),從而,故3與不等式恒成立、有解、無(wú)解等問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀(guān)察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理 ：對(duì)點(diǎn)練習(xí)：設(shè)，函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則的取值范圍為 【答案】4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問(wèn)題無(wú)論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問(wèn)題，是解題的法寶.對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略?！窘馕觥浚?）由（1）知 ，。設(shè)，則。當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增?！究键c(diǎn)深度剖析】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢(shì)【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】【xx河南開(kāi)封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是 A B C D【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除B、D，若時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，選A.【1-2】【xx·全國(guó)卷】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D【領(lǐng)悟技法】導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx江西新余二?！繉⒑瘮?shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到的圖象，設(shè)，則的圖象大致為（ ）【答案】A【變式二】【xx·麗水模擬】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D【解析】由題圖，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)2x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值考點(diǎn)2 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題【2-1】【xx浙江杭州二?！吭O(shè)方程（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ）A. 當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B. 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根C. 當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 【答案】D【2-2】【xx課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ，【領(lǐng)悟技法】1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.3. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx湖南長(zhǎng)沙二模】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則對(duì)任意，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有（ ）A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè)【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， , 且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)， ，而時(shí)， ,所以的圖象如圖，令,則，由圖可知，當(dāng)時(shí)方程至多3個(gè)根，當(dāng)時(shí)方程沒(méi)有根，而對(duì)任意， 至多有一個(gè)根，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè).【變式二】【xx安徽阜陽(yáng)二?！恳阎瘮?shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ）.（1）當(dāng)是，求證： ； （2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（）見(jiàn)解析;（）試題解析：（） ，.得： 且在上單增，在上單減（）故等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn)得： 故令，則又在上單增，由，得綜上， 考點(diǎn)3 與不等式恒成立、有解、無(wú)解等問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題【3-1】若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】 所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以，所以.(2)令，則，因?yàn)椋?，所以易知，所以在上是增函?shù).易知當(dāng)時(shí)，故在上無(wú)最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【3-2】已知函數(shù)（1）求在上的最小值； （2）若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍 【答案】（1） ；（2）.【解析】若，的最小值為，4分若，的最小值為，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)，的最小值為（2）由（1）知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，且在上，又，則又時(shí)，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得，解集為，整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得或，解集為無(wú)整數(shù)解，若不等式有兩整數(shù)解，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【領(lǐng)悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無(wú)解的處理方法：的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為的最值處理；參變分離法，將不等式等價(jià)變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 【觸類(lèi)旁通】【變式一】已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A BC D【答案】C【解析】【變式二】【xx福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， （）當(dāng)時(shí)，求證：過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；（）當(dāng)時(shí)， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）.【解析】解法一：（）當(dāng)時(shí)， ， 設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，其切點(diǎn)為，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為： ，因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即 ，設(shè)， ， ， ， 在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻€(gè)根，所以方程恰有三個(gè)根，故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切（1）當(dāng)時(shí)，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)， ，從而當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)， ，即于是當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，令，得，故當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)， ，從而當(dāng)時(shí)， ，解法二：（）當(dāng)時(shí)， ， ，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，其切點(diǎn)為，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即 ，設(shè)，則，令得當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：+0-0+極大值極小值考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問(wèn)題【4-1】若的定義域?yàn)?，恒成立，則解集為（ ） A B C D【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，所以解集為. 【4-2】【xx浙江溫州二模】.證明：（1）當(dāng)，；（2）對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】試題解析：證明：（1）考慮函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)，從而，故在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，因此對(duì)任意，都有，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以當(dāng)時(shí)，即；（2）由可知當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令函數(shù)，注意到，故要證與，只需證明在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增. 【領(lǐng)悟技法】1.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.2.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性 ，從而解不等式的方法.【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx廣東佛山二?！吭O(shè)函數(shù)，其中， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（）若，證明： .【答案】（）;（）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成兩類(lèi)，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.試題解析：令， ， 是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)， 當(dāng)， ， ， 遞增；當(dāng)， ， ， 遞減；故當(dāng)時(shí)， 取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.（） .令（），以下證明當(dāng)時(shí)， 的最小值大于0.求導(dǎo)得 .當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ，令，則 ，又 ，取且使，即，則 ，因?yàn)椋蚀嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又， 【變式二】【xx課標(biāo)3，理21】已知函數(shù) .（1）若 ，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍易錯(cuò)分析：（）忽視定義域致誤；（）對(duì)全稱(chēng)量詞和特稱(chēng)量詞理解不深刻致誤正確解析：.（）. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，, 溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問(wèn)題應(yīng)豎立定義域優(yōu)先原則；(2) 任意，指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)自變量；存在，指的是區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)自變量，故本題是恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題的組合.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. ,在解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，主要存在兩類(lèi)問(wèn)題，一是“有圖考圖”，二是 “無(wú)圖考圖”，如：【典例1】已知是常數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）【答案】D【解析】【典例2】已知函數(shù)（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e,1）處的切線(xiàn)與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】 【解析】