2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5 軌跡問題教案

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5 軌跡問題教案知識梳理本節(jié)主要內(nèi)容是軌跡的概念及軌跡方程的求法.求軌跡方程常用的方法：（1）結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義，從定義出發(fā)尋找解決問題的方法；（2）利用幾何性質(zhì)，若所求的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān)，往往利用三角形或圓的性質(zhì)來解問題；（3）如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在曲線已知，又點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的坐標(biāo)可以建立某種關(guān)系，則借助點(diǎn)P的軌跡可以得到點(diǎn)Q的軌跡；（4）參數(shù)法.點(diǎn)擊雙基1.動點(diǎn)P到直線x=1的距離與它到點(diǎn)A（4，0）的距離之比為2，則P點(diǎn)的軌跡是A.中心在原點(diǎn)的橢圓B.中心在（5，0）的橢圓C.中心在原點(diǎn)的雙曲線D.中心在（5，0）的雙曲線解析：直接法.答案：B2.（xx年春季北京，6）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1（，0）、F2（，0），P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1PF2，|PF1|·|PF2|=2，則該雙曲線的方程是A.=1 B.=1C.y2=1 D.x2=1解析：設(shè)雙曲線的方程為=1.由題意|PF1|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2.又|PF1|·|PF2|=2，a=2，b=1.故雙曲線方程為y2=1.答案：C3.已知A（0，7）、B（0，7）、C（12，2），以C為一個焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是A.y21（y1） B.y21C.y21 D.x21解析：由題意AC13，BC15，AB14，又AFACBFBC，AFBFBCAC2.故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線下支.又c=7，a=1，b248，所以軌跡方程為y21（y1）.答案：A4.F1、F2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1向F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是_.解析：延長F1D與F2A交于B，連結(jié)DO，可知DO=F2B=2，動點(diǎn)D的軌跡方程為x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知ABC中，B（1，0）、C（5，0），點(diǎn)A在x軸上方移動，且tanB+tanC=3，則 ABC的重心G的軌跡方程為_.解析：設(shè)A（x0，y0），tanB+tanC=3，=3，點(diǎn)A的軌跡方程為y0=（x026x0+5）（x01且x05）.若 G（x，y）為ABC的重心，則由重心坐標(biāo)公式：x=，y=，x0=3x6，且y0=3y.代入A點(diǎn)軌跡方程得G的軌跡方程為y1=（x3）2（x且x）.答案：y1=（x3）2（x且x）典例剖析【例1】 在PMN中，tanPMN=，tanMNP=2，且PMN的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓的方程.剖析：如上圖，以直線MN為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數(shù)，但a2、b2與已知條件沒有直接聯(lián)系，因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或改造已知條件.解法一：如上圖，過P作PQMN，垂足為Q，令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cotPMQ=2m，|QN|=|PQ|cotPNQ=m.|MN|=|MQ|NQ|=2mm=m.于是SPMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=.|MP|=，|NP|=.以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+=1（ab0）.則2a=|MP|+|NP|=，2c=|MN|=，故所求橢圓方程為+=1.解法二：設(shè)M（c，0）、N（c，0），P（x，y），y0， =，則=2，y·c=1，解之，得x=，y=，c=.設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2，則b2·（）2+a2（）2=a2b2，a2b2=， 解之，得a2=，b2=3.（以下略）評述：解法一選擇了與a較接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知條件，以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法.深化拓展 若把PMN的面積為1改為·=，求橢圓方程.提示：由tanPMN=，tanMNP=2，易得sinMPN=，cosMPN=.由·=，得|=.易求得|PM|=，|PN|=.進(jìn)而求得橢圓方程為+=1.【例2】 （xx年福建，22）如下圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.剖析：欲求PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，需知P、Q的坐標(biāo).思路一，P、Q是直線l與拋物線C的交點(diǎn)，故需求直線l的方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M的軌跡方程；思路二，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，利用P、Q的坐標(biāo)滿足拋物線C的方程，代入拋物線C的方程相減得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的軌跡方程.解：設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依題意知x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.過點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1，直線l的斜率kl=，直線l的方程為yx12=（xx1）. 方法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx122=0.M為PQ的中點(diǎn)，x0=，y0=x12（x0x1）. 消去x1，得y0=x02+1（x00），PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1（x0）.方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=（x1+x2）（x1x2）=x0（x1x2），則x0=kl=，x1=.將上式代入并整理，得y0=x02+1（x00），PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1（x0）.評述：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法.本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題.深化拓展 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動時，求點(diǎn)M到x軸的最短距離.提示：x0，x2>0，y=x2+12+1=+1，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，x=±時等號成立，即點(diǎn)M到x軸的最短距離為+1.【例3】 （xx年春季全國）已知拋物線y24px（p0），O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線上的兩動點(diǎn)，且滿足OAOB，如果OMAB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.剖析：點(diǎn)M是OM與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)M隨著A、B兩點(diǎn)的變化而變化，而A、B為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M與A、B的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù).解法一：設(shè)M（x0，y0），則kOM=，kAB=，直線AB方程是y=（xx0）+y0.由y2=4px可得x=，將其代入上式，整理，得x0y2（4py0）y4py024px02=0. 此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，A（，y1）、B（，y2）.OAOB，kOA·kOB=1.·=1.y1y2=16p2.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由可得y1·y2=，=16p2.化簡，得x02+y024px0=0，即x2+y24px=0（除去原點(diǎn)）為所求.點(diǎn)M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.kOA=，kOB=，kAB=.OAOB，t1·t2=4.AB方程是y2pt1=（xpt12）， 直線OM的方程是y=x. ×，得（px）t12+2pyt1（x2+y2）=0. 直線AB的方程還可寫為y2pt2=（xpt22）. 由×，得（px）t22+（2py）t2（x2+y2）=0. 由可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2（x2+y2）=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1t2=.又t1·t2=4，x2+y24px=0（原點(diǎn)除外）為所求點(diǎn)M的軌跡方程.故M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法三：設(shè)M（x，y），直線AB方程為y=kx+b，由OMAB得k=.由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb4p）+b2=0.所以x1x2=.消去x，得ky24py+4pb=0.所以y1y2=.由OAOB，得y1y2=x1x2，所以=，b=4kp.故y=kx+b=k（x4p）.用k=代入，得x2+y24px=0（x0）.解法四：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），直線OA的方程為y=kx，解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），顯然k0，則直線OB的方程為y=x.由 y=kx，y2=4px， 類似地可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4pk2，4pk），從而知當(dāng)k±1時，kAB=.故得直線AB的方程為y+4pk=（x4pk2），即（k）y+4p=x， 直線OM的方程為y=（k）x. 可知M點(diǎn)的坐標(biāo)同時滿足，由及消去k便得4px=x2+y2，即（x2p）2+y2=4p2，但x0，當(dāng)k=±1時，容易驗(yàn)證M點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為（x2p）2+y2=4p2（x0），它表示以點(diǎn)（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓.評述：本題考查了交軌法、參數(shù)法求軌跡方程，涉及了類比、分類討論等數(shù)學(xué)方法，消參時又用到了整體思想法，對含字母的式子的運(yùn)算能力有較高的要求，同時還需要注意軌跡的“完備性和純粹性”.此題是綜合考查學(xué)生能力的一道好題.深化拓展 本題中直線AB恒過定點(diǎn)（4p，0），讀者不妨探究一番.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知M（2，0）、N（2，0），PMPN4，則動點(diǎn)P的軌跡是A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支C.一條射線 D.雙曲線右邊一支解析：利用幾何性質(zhì).答案：C2.（xx年河南）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為F（，0），直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析：設(shè)雙曲線方程為=1.將y=x1代入=1，整理得（b2a2）x2+2a2xa2a2b2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=，=.由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.答案：D3.曲線x24y24關(guān)于點(diǎn)M（3，5）對稱的曲線方程為_.解析：代入法（或相關(guān)點(diǎn)法）.答案：（x6）2+4（y10）2=44.與圓x2+y24x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是_.解析：若動圓在y軸右側(cè)，則動圓圓心到定點(diǎn)（2，0）與到定直線x=2的距離相等，其軌跡是拋物線；若動圓在y軸左側(cè)，則動圓圓心軌跡是x負(fù)半軸.答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0）5.自拋物線y22x上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連結(jié)頂點(diǎn)O與P的直線和連結(jié)焦點(diǎn)F與Q的直線交于R點(diǎn)，求R點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)P（x1，y1）、R（x，y），則Q（，y1）、F（，0），OP的方程為y=x， FQ的方程為y=y1（x）. 由得x1，y1，代入y22x，可得y22x2+x.6.求經(jīng)過定點(diǎn)A（1，2），以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)F（x0，y0），由定義=，|AF|=1，即點(diǎn)F的軌跡方程為（x01）2+（y02）2=1.又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為P（x，y），則x0=x，y0=y，點(diǎn)P的軌跡方程是（x1）2+（y2）2=1.培養(yǎng)能力7.AB是圓O的直徑，且AB2a，M為圓上一動點(diǎn)，作MNAB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)P，使OPMN，求點(diǎn)P的軌跡.解：以圓心O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則O的方程為x2y2a2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），并設(shè)圓與y軸交于C、D兩點(diǎn)，作PQAB于Q，則有.OPMN，OP2OM·PQ.x2+y2ay，即 x2（y±）2（）2.軌跡是分別以CO、OD為直徑的兩個圓.8.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求AOB的重心G的軌跡C的方程.解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k（x1），代入y2=4x，得k2x2x（2k2+4）+k2=0.設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，k0.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=，從而y1+y2=k（x1+x22）=.設(shè)AOB的重心為G（x，y），消去k，得x=+（y）2，則 x=+，y=， y2=x.當(dāng)l垂直于x軸時，A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）和（1，2），AOB的重心G（，0），也適合y2=x，因此所求軌跡C的方程為y2=x.探究創(chuàng)新9.（xx年春季安徽）已知k0，直線l1：y=kx，l2：y=kx.（1）證明：到l1、l2的距離的平方和為定值a（a0）的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓；（2）求到l1、l2的距離之和為定值c（c0）的點(diǎn)的軌跡.（1）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為動點(diǎn)，則+=a，整理得+=1.因此，當(dāng)k=1時，動點(diǎn)的軌跡為圓；當(dāng)k1時，動點(diǎn)的軌跡為橢圓.（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為動點(diǎn)，則|ykx|+|y+kx|=c.當(dāng)yk|x|時，ykx+y+kx=c，即y=c；當(dāng)yk|x|時，kxyykx=c，即y=c；當(dāng)k|x|yk|x|，x0時，kxy+y+kx=c，即x=c；當(dāng)k|x|yk|x|，x0時，ykxykx=c，即x=c.綜上，動點(diǎn)的軌跡為矩形.思悟小結(jié)1.求軌跡方程的一般步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡、檢驗(yàn).檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)點(diǎn)的軌跡的純粹性和完備性.2.如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，求方程時可用直接法.3.如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法.4.如果軌跡動點(diǎn)P（x，y）依賴于另一動點(diǎn)Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x、y、a、b的方程組，利用x、y表示出a、b，把a(bǔ)、b代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程.此法稱為代入法.5.如果軌跡動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時，可先考慮將x、y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).6.注意參數(shù)的取值范圍對方程的影響.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.已知曲線求方程或已知方程畫曲線是解析幾何中的兩個基本問題.如何探求動點(diǎn)的軌跡方程呢？從定義出發(fā)，還本索源.在探求動點(diǎn)的軌跡方程時，如能結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義，也就能尋找到解決問題的鑰匙；利用平面幾何的性質(zhì).動點(diǎn)的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān)，若某些軌跡與直線或圓有關(guān)，則可以利用三角形或圓的性質(zhì)來幫助分析；伴隨曲線的思想和方法.如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立起某種關(guān)系，則借助于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，我們便可以得到點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡，這便是伴隨曲線的思想方法.2.在探求軌跡的過程中，需要注意的是軌跡的“完備性”和“純粹性”，也就是說既不能多，也不能少，因此，在求得軌跡方程之后，要深入地再思考一下：是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？在所求得的軌跡方程中，x、y的取值范圍是否有什么限制?拓展題例【例1】 是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由（1）準(zhǔn)線是y軸；（2）頂點(diǎn)在x軸上；（3）點(diǎn)A（3，0）到此拋物線上動點(diǎn)P的距離最小值是2.解：假設(shè)存在這樣的拋物線，頂點(diǎn)為（a，0），則方程為y24a（xa）（a0），設(shè)P（x0，y0），則y024a（x0a），AP2（x03）2y02x0（32a）212a8a2，令f（a）AP2，當(dāng)a0時，有x0a，當(dāng)32aa即a（0，1時，AP2f（32a），a1或a；拋物線方程為y24（x1）或y22（x）.當(dāng)32aa即a1時，AP2f（a）.a5或a1（舍），拋物線方程為y220（x5）.當(dāng)a0時，顯然與已知矛盾，所求拋物線方程為y24（x1）或y22（x）或y220（x5）【例2】 （xx年太原市模擬題）已知橢圓的焦點(diǎn)為F1（1，0）、F2（1，0），直線x=4是它的一條準(zhǔn)線.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A1、A2分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上滿足|PA1|PA2|=2的一點(diǎn)，求tanA1PA2的值；（3）若過點(diǎn)（1，0）的直線與以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、A2為焦點(diǎn)的拋物線相交于點(diǎn)M、N，求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.解：（1）設(shè)橢圓方程為+=1（ab0）.由題設(shè)有 c=1，=4，b2=3.解得 c=1，a=2，所求橢圓方程為+=1.（2）由題設(shè)知，點(diǎn)P在以A1、A2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支上.由（1）知A1（2，0），A2（2，0），設(shè)雙曲線方程為=1（m0，n0）.則解得 2m=2， m=1，m2+n2=4， n=.雙曲線方程為x2=1.由+=1，x2=1，解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）.當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時，tanA1PA2=4.同理當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時，tanA1PA2=4.故tanA1PA2=4.（3）由題設(shè)知，拋物線方程為y2=8x.設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中點(diǎn)Q（x，y），當(dāng)x1x2時，有y12=8x1， y22=8x2， x=， y=， =. ，得（y1+y2）=8，將代入上式，有·2y=8，即y2=4（x1）（x1）.當(dāng)x1=x2時，MN的中點(diǎn)為（1，0），仍滿足上式.故所求點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=4（x1）.