2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題探究課二習(xí)題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題探究課二習(xí)題 理 新人教A版(I)1.已知函數(shù)f(x)ln xx2ax(aR).若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍.解法一函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)0，即2xa0對(duì)x(0，)都成立.a2x對(duì)x(0，)都成立.當(dāng)x0時(shí)，2x22，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)取等號(hào).a2，即a2.a的取值范圍為2，).法二函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.方程2x2ax10的判別式a28.當(dāng)0，即2a2時(shí)，2x2ax10，此時(shí)，f(x)0對(duì)x(0，)都成立，故函數(shù)f(x)在定義域(0，)上是增函數(shù).當(dāng)0，即a2或a2時(shí)，要使函數(shù)f(x)在定義域(0，)上為增函數(shù)，只需2x2ax10對(duì)x(0，)都成立.設(shè)h(x)2x2ax1，則解得a0.故a2.綜合得a的取值范圍為2，).2.(xx·蘇北四市調(diào)研)設(shè)f(x)ax3bxc(a0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x6y70垂直，導(dǎo)函數(shù)f(x)的最小值為12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在1，3上的最大值和最小值.解(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc所以c0，又f(x)3ax2b的最小值為12，所以b12.由題設(shè)知f(1)3ab6.所以a2，故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況表如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值因?yàn)閒(1)10，f(3)18，f()8，f()8，當(dāng)x時(shí)，f(x)min8；當(dāng)x3時(shí)，f(x)max18.3.(xx·萊州一中模擬)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；(2)對(duì)任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)g(x)3x22ax1由題意3x22ax10的解集是，即3x22ax10的兩根分別是，1.將x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由題意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，設(shè)h(x)ln xx，則h(x)，令h(x)0，得x1或(舍)，當(dāng)0x1時(shí)，h(x)0，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)取得最大值，h(x)max2，所以a2，所以a的取值范圍是2，).4.(xx·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2aaln .(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x0).當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閥e2x在(0，)上單調(diào)遞增，y在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)單調(diào)遞增.又f(a)0，當(dāng)b滿(mǎn)足0b且b時(shí)，f(b)0，故當(dāng)a0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于2e2x00，所以f(x0)e2x0aln x0aln aln 2ax02ax0aln 2aaln .故當(dāng)a0時(shí)，f(x)2aaln .5.(xx·廣東卷)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m 1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a>1，f(0)<0，f(a)>2aeaa>2aaa>0，f(0)·f(a)<0，f(x)在(0，a)上有一零點(diǎn)，又f(x)在(，)上遞增，f(x)在(0，a)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn).(3)證明f(x)(x1)2ex，設(shè)P(x0，y0)，則f(x0)ex0(x01)20，x01，把x01，代入yf(x)得y0a，kOPa.f(m)em(m1)2a，令g(m)em(m1)，g(m)em1.令g(x)>0，則m>0，g(m)在(0，)上增.令g(x)<0，則m<0，g(m)在(，0)上減.g(m)ming(0)0.em(m1)0，即emm1.em(m1)2(m1)3，即a(m1)3.m1 ，即m 1.6.(xx·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)f(x)x3xk在(b，f(b)處的切線(xiàn)方程為4xy10(b0).m(x)f(x)x31aln x，g(x)，(aR).(1)求k，b的值；(2)設(shè)函數(shù)h(x)m(x)g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若在1，e(e2.718)上存在一點(diǎn)x0，使得m(x0)g(x0)成立，求a的取值范圍.解(1)由題意知：f(x)3x21，因?yàn)閒(x)x3xk在(b，f(b)處的切線(xiàn)方程為4xy10，其中b0.所以解得(2)h(x)xaln x.h(x)1.當(dāng)a10時(shí)，即a1時(shí)，當(dāng)x(0，1a)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(1a，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)在(0，1a)上單調(diào)遞減，在(1a，)上單調(diào)遞增.當(dāng)a10，即a1時(shí)，當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增.(3)在1，e上存在一點(diǎn)x0，使得m(x0)g(x0)成立，即在1，e上存在一點(diǎn)x0，使得h(x)0.即函數(shù)h(x)xaln x在1，e上的最小值小于零.由(2)可知當(dāng)a1e，即ae1時(shí)，h(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以h(x)的最小值為h(e)，由h(e)ea0可得a，因?yàn)閑1，所以a；當(dāng)a11，即a0時(shí)，h(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以h(x)最小值為h(1)，由h(1)11a0可得a2；當(dāng)1a1e，即0ae1時(shí)，可得h(x)最小值為h(1a)，因?yàn)?ln(a1)1，所以0aln(a1)a，所以h(1a)2aaln(1a)2，此時(shí)h(1a)0不成立.綜上可得所求a的范圍是(，2)