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2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十二 圓錐曲線與方程(含解析)

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2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十二 圓錐曲線與方程(含解析)

2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十二 圓錐曲線與方程(含解析)抓住3個高考重點重點1 橢圓及其性質(zhì)1橢圓的定義:橢圓的第一定義:對橢圓上任意一點都有橢圓的第二定義:對橢圓上任意一點都有2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定的值,再結(jié)合焦點位置,直接寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法:根據(jù)橢圓焦點是在軸還是在軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要注意以下幾點?(1)如果橢圓的焦點位置不能確定,可設(shè)方程為或(2)與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為(3)與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為(,焦點在軸上)或(,焦點在軸上)4橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略(1)與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析,即使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形:若涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量,則要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的聯(lián)系,求解自然就不難了(2)橢圓的離心率是刻畫橢圓性質(zhì)的不變量,當(dāng)越接近于1時,橢圓越扁,當(dāng)越接近于時,橢圓越接近于圓,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件,而求橢圓的離心率只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程,再結(jié)合即可求出橢圓的離心率高考常考角度角度1若橢圓的焦點在軸上,過點作圓的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓方程是 .解析:方法一:設(shè)過點的直線方程為:當(dāng)斜率存在時,即由題意,由,切點為,又當(dāng)斜率不存在時,直線方程為,切點為,故直線,則與軸的交點即為上頂點坐標(biāo),與軸的交點即為焦點,即橢圓方程為 (說明:如果設(shè)切點,則過切點的切線方程為,與比較,也可求出切點)方法二:(數(shù)形結(jié)合)設(shè)點,則有直線,作圖分析可得,又切點故直線,即,則與軸的交點即為上頂點坐標(biāo),與軸的交點即為右焦點,故 橢圓方程為 角度2在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心為原點,焦點在軸上,離心率為.過的直線交C于兩點,且的周長為,那么的方程為 .解析:可設(shè)橢圓方程為,的周長為, 故橢圓的方程為角度3 已知橢圓,直線為圓的一條切線,記橢圓E的離心率為若直線的傾斜角為,且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點,則的大小為_.解析:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,橢圓的離心率等知識如圖所示,設(shè)直線與圓相切于C點,橢圓的右頂點為D,則由題意,知OCD為直角三角形,且重點2 雙曲線及其性質(zhì)1雙曲線的定義:雙曲線的第一定義:對雙曲線上任意一點都有雙曲線的第二定義:對雙曲線上任意一點都有2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法(2)待定系數(shù)法3求雙曲線方程需要注意以下幾點:(1)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程均可記為,其中,且,且時表示橢圓;時表示雙曲線,合理使用這種形式可避免討論(2)常見雙曲線設(shè)法:已知的雙曲線設(shè)為;已知過兩點的雙曲線可設(shè)為;已知漸近線的雙曲線方程可設(shè)為4.雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略(1)關(guān)于雙曲緝的漸近線 求法:求雙曲線的漸近線的方法是令,即得兩漸近線方程兩條漸近線的傾斜角互補,斜率互為相反數(shù),且關(guān)于軸、軸對稱.與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為.(2)求雙曲線的離心率雙曲線的離心率,求雙曲線的離心率只需根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程,再結(jié)合即可求出.高考??冀嵌冉嵌?已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切,且雙曲線的右焦點為圓的圓心,則該雙曲線的方程為( )A. B. C. D. 解析:由已知得,圓,雙曲線的漸近線為,由已知得,則,故選A.角度2 已知雙曲線的左、右焦點分別是、,為右支上一動點,點,則的最小值為_.解析:由雙曲線的定義得,又,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,故的最小值為角度3設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點.若雙曲線右支上存在點,滿足,且到直線的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為( )A. B. C. D. 解析:如圖,過作于,由題意知則而 則 雙曲線的漸近線方程為,即,故選C重點3 拋物線及其性質(zhì)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定參數(shù)p的值,這里要注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式從簡單化角度出發(fā),焦點在軸上的,設(shè)為,焦點在軸上的,設(shè)為2拋物線定義的應(yīng)用策略拋物線是到定點和定直線(定點不在定直線上)距離相等的點的軌跡,利用該定義,可有效地實現(xiàn)拋物線上的點到焦點和到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化,將有利于問題的解決3拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略(1)焦半徑:拋物線一點到焦點的距離.(2)通徑:過焦點且與軸垂直的弦叫做通徑,且(3)設(shè)過拋物線的焦點的弦為,則有弦長:為弦的傾斜角)以弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.直線的方程為(不存在時弦為通徑)高考??冀嵌冉嵌?已知是拋物線的焦點,是該拋物線上的兩點,則線段的中點到y(tǒng)軸的距離為( )A B1 C D解析:設(shè),由拋物線定義,得,故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.故選C角度2設(shè)拋物線的頂點在原點,準(zhǔn)線方程為,則拋物線的方程是( )A. B. C. D. 點評:由準(zhǔn)線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵解析:由題意可知,拋物線的方程為,由準(zhǔn)線方程得,所以故選B 角度3設(shè)拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,為拋物線上一點,為垂足如果直線的斜率為,那么( B )A. B. 8 C. D. 16解析:方法一:拋物線的焦點,直線AF的方程為,所以得點、,從而,故選B方法二: 如圖,軸,又, 又由拋物線定義得為等邊三角形,令與軸的交點為,則在中,故選B突破10個高考難點難點1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 2.直線與圓錐曲線相交的弦長公式典例 如圖,設(shè)是圓上的動點,點是在軸上投影,為上一點,且()當(dāng)在圓上運動時,求點的軌跡的方程;()求過點且斜率為的直線被所截線段的長度點評:()動點通過點與已知圓相聯(lián)系,所以把點的坐標(biāo)用點的坐標(biāo)表示,然后代入已知圓的方程即可;()直線方程和橢圓方程組成方程組,可以求解,也可以利用根與系數(shù)關(guān)系;結(jié)合兩點的距離公式計算解析:()設(shè)點的坐標(biāo)是,的坐標(biāo)是,因為點是在軸上投影,為上一點,且,所以,且,在圓上,整理得,即的方程是()過點且斜率為的直線方程是,設(shè)此直線與的交點為,由得 ,則,直線被所截線段的長度為點評:如果直接解方程,形式復(fù)雜,增加運算難度所以線段AB的長度是 )難點2 中點弦問題的處理1. 解決圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的問題的常規(guī)思路有三種:(1)通過方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式進行求解;(2)點差法,設(shè)出弦的兩端點,利用中點坐標(biāo)公式求解;(3)中點轉(zhuǎn)移法,先得出一個端點的坐標(biāo),再借助于中點坐標(biāo)公式得出另一個端點的坐標(biāo),而后消二次項2對于中點弦問題,常用的解題方法是點差法,其解題步驟為: (1)設(shè)點:設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo); (2)代入:代入圓錐曲線方程; (3)作差:兩式相減,再用平方差公式把式子展開;(4)整理:轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式,最后求解.典例已知橢圓的離心率為,右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點,以為底邊作等腰三角形,頂點為。()求橢圓的方程;()求的面積。解析:()由已知得 解得 又所以橢圓G的方程為()設(shè)直線l的方程為由 得 設(shè)、的坐標(biāo)分別為中點為,則 因為是等腰的底邊,所以. 所以的斜率解得,此時方程為 解得 所以 所以.此時,點到直線的距離所以難點3 圓錐曲線中的分點弦典例 已知橢圓的離心率為,過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點若,則( )A. 1 B. C. D. 2解析:設(shè)為橢圓的右準(zhǔn)線,為離心率,過分別作垂直于,為垂足,過作于,由橢圓的第二定義得,由,令,則, 即,故選B.難點4 圓錐曲線上點的對稱問題典例1 已知橢圓:在橢圓上是否存在兩點關(guān)于直線對稱,若存在,求出實數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.解析:方法一:(方程組法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱,由題意,設(shè)由,設(shè),的中點為,則 , ,又點在直線上,代入解得 ,為所求方法二:(點差法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱,的中點為,則 又 又點在直線上, 解得在橢圓內(nèi),為所求難點5 求軌跡(曲線)方程典例 已知雙曲線的左、右焦點分別為、,過點的動直線與雙曲線相交于兩點若動點滿足(其中為坐標(biāo)原點),求點的軌跡方程.解析:由條件知,設(shè),方法一:設(shè),則,由得 即,于是的中點坐標(biāo)為 當(dāng)不與軸垂直時,即,即又因為兩點在雙曲線上,所以,兩式相減得(點差法),即將代入上式,化簡得當(dāng)與軸垂直時,求得,也滿足上述方程所以點的軌跡方程是方法二:同解法一,有當(dāng)不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根,所以 從而 相除得,將其代入得整理得當(dāng)與軸垂直時,求得,也滿足上述方程故點的軌跡方程是難點6 圓錐曲線中的定點問題典例 已知橢圓若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo)解析:設(shè),由 得 , (1) 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點,, 即 ,即,解得,且滿足.當(dāng)時,有,直線過定點與已知矛盾;當(dāng)時,有,直線過定點綜上可知,直線過定點,定點坐標(biāo)為難點7 圓錐曲線中的定值問題典例 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,焦點在軸上,斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點,與共線.()求橢圓的離心率;()設(shè)為橢圓上任意一點,且,證明為定值.解析:()設(shè)橢圓方程為則右焦點為,直線的方程為,由 整理得 ,設(shè),則 由共線,得 ()由()可知,故橢圓可化為,設(shè) 由 在橢圓上, 即 由()知,又,代入得 難點8 圓錐曲線中的最值問題和范圍問題典例 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.()若是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值;()設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且為銳角(其中為坐標(biāo)原點),求直線的斜率的取值范圍.解析:()方法一:由已知得,所以,設(shè),則因為,故當(dāng),即點為橢圓短軸端點時,有最小值當(dāng),即點為橢圓長軸端點時,有最大值方法二:由已知得,所以,設(shè),則(以下同方法一)()顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,由,消去,整理得,由 得 或 又,又,即 綜合 、得或故直線的斜率的取值范圍為難點9 圓錐曲線中的探索問題典例 已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點()求實數(shù)的取值范圍()是否存在實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解:()由 得 依題意,直線與雙曲線的右支交于不同的兩點,故 解得 ()設(shè)則由可得 , 假設(shè)存在實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點,則 將及代入,得 解得 或(舍去)因此存在,使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點.規(guī)避5個易失分點易失分點1 焦點位置考慮不全典例 已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上,點到兩焦點的距離分別為和,過點作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點,則該橢圓的方程為_.易失分提示:焦點沒有確定,所以有兩種情況。解析: ,由橢圓的定義得,又當(dāng)焦點在軸上時,橢圓的方程為,當(dāng)焦點在軸上時,橢圓的方程為易失分點2 忽視圓錐曲線定義的條件典例1 動點與定點和直線的距離相等,則動點的軌跡是( D )A橢圓 B雙曲線 C拋物線 D直線 易失分提示:容易忽視點F在直線上,而誤選C解析:點在直線,所以到點和直線的距離相等的點一定在過點,且與直線垂直的直線上故選D典例2 已知圓和圓,動圓同時與圓及圓相外切,則動圓圓心的軌跡方程為( )A B C D易失分提示:容易因錯誤運用雙曲線定義而出錯,與雙曲線定義相比,左邊少了外層絕對值,因此只能是雙曲線的一支如果不注意,就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果,即點的軌跡方程為 解析:如圖所示,設(shè)動圓半徑為動圓同時與圓及圓分別外切于A和B 根據(jù)兩圓外切的條件,得,所以動點M的軌跡為雙曲線的左支, 其中故點M的軌跡方程為, 故選 D易失分點3 離心率范圍求解錯誤典例 已知橢圓的左、右焦點分別為,若橢圓上存在點(異于長軸的端點),使得,則該橢圓離心率的取值范圍是_.易失分提示: 求離心率的范圍關(guān)鍵是構(gòu)建關(guān)于(或)的不等式本題容易出現(xiàn)的錯誤:一是不會利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化;二是不會利用橢圓的定義或性質(zhì)建立不等關(guān)系,根據(jù)題意利用正弦定理,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式,進而求出其取值范圍解析:由已知由橢圓的幾何性質(zhì)知,所以,即結(jié)合,可解得本題容易出錯的地方是忽略“點異于長軸端點”這一隱含條件,導(dǎo)致在建立不等式時誤帶等號而出錯在平時的訓(xùn)練中應(yīng)該加強對解題過程的監(jiān)控,多注意所要解決問題的特殊情況,仔細(xì)閱讀,深入挖掘隱含條件,形成全面思考,周密解答的良好習(xí)慣,這對考生來說是非常重要的易失分點4 弦長公式使用不合理典例 已知橢圓設(shè)直線與橢圓交于兩點,坐標(biāo)原點到直線的距離為,求面積的最大值易失分提示:本題的實質(zhì)就是求直線被橢圓所截得的弦長的最大值,易錯之處在于對弦長公式的使用不合理,致使運算繁雜,導(dǎo)致最后結(jié)果錯誤或是解題半途而廢解析:設(shè) (1)當(dāng)軸時,(2)當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為由已知由,整理得當(dāng)時,上式當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立當(dāng)時,綜上所述,此時,易失分點5 焦點三角形問題忽視細(xì)節(jié)典例 已知雙曲線的左、右焦點分別為若雙曲線上存在點使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是_易失分提示:本題容易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“,都不能等于',這樣會導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于解答數(shù)學(xué)題要注意對隱含條件的挖掘,確保答案準(zhǔn)確無誤.解析:由已知點不會是雙曲線的頂點,否則無意義.因為在中,由正弦定理,得則由已知得,且知點在雙曲線的右支上,由雙曲錢的定義知則由雙曲線的幾何性質(zhì),知,則,又,所以離心率的取值范圍是

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